Таблица 8
|
MM |
N1=N2 |
nn[0]% |
nn[2]% |
nn[3]% |
nn[4]% |
nn[5]% |
|
|
1000 |
9.59% |
17.98 |
15.82 |
13.69 |
10.23 |
8.50 |
|
|
2000 |
8.99 |
15.00 |
13.29 |
11.59 |
8.82 |
7.39 |
|
|
3000 |
8.665 |
10.00 |
8.86 |
7.73 |
5.88 |
4.92 |
В первом столбце таблицы указано число рассмотренных чисел, во втором - процент случаев, когда простые числа в формуле (34) совпадают. Число таких случаев равно числу простых чисел, удовлетворяющих неравенству 2N[i] < MM. Заметим, что в программе всегда находились простые числа с номерами i2 < i3. Видно, что доля чисел с малыми значениями номеров простых чисел монотонно убывает.
Обнаружена интересная особенность для чисел nn[k] (k<14)У при значениях ММ > N[im] эти числа практически не изменялись, так как равенства (34) удовлетворялись при бо'льших номерах первого числа. Это свидетельствует о том, что для выполнения равенства (34) имеется большой запас, не говоря уже о выполнимости его при одинаковых значениях простых чисел. Проиллюстрируем разницу в выполнении равенства (34) для двух случаев: М > N[im] и М < N[im]. Выберем одно и то же значение М=200 000 для N[15001]=163847 и N[30001]=350381. В первом случае выполняется первое неравенство, а во втором - второе. В первом случае для М найдено представление
M=N[3845]+N[14995]=36229+163771,
а во втором случае
M=N[0]+N[17984]=1+199999
с наименьшим номером i2=0.
Видоизменение программы позволит выяснить число случаев, когда равенство (34) может быть выполнено более чем двумя способами.
Выводы
1. Приведены алгоритмы вычисления таблицы простых чисел и проверки бинарной проблемы Гольдбаха.
2. Скорректированы оценки функций распределения простых чисел (логарифмический интеграл, функции Чебышева и Лагранжа) сверху и снизу.
3. Найдены приближенные значения коэффициентов, обеспечивающих минимум среднеквадратичного отклонения.
4. Предложена аппроксимация, согласующая формулу Лагранжа с асимптотикой Чебышева.
5. Уточнены формулы для оценки максимального расстояния между простыми числами, указана их относительная точность.
6. Проанализирована зависимость расстояния между близнецами и найдена формула, исключающая появление "запрещенных" расстояний.
7. Проверена справедливость гипотезы Гольдбаха до 700 тысяч и указаны возможности для анализа неоднозначного выполнения этой гипотезы.
Напомним, что все оценки получены для сравнительно малого (по современным меркам) числа простых чисел im=30 001. Предложенные алгоритмы могут быть использованы при параллельных вычислениях на современной технике. А для начала можно обойтись и без распараллеливания алгоритма. Для этого следует лишь воспользоваться возможностями динамического массива для хранения расширенной таблицы простых чисел. Следует считать результаты существенными при числе простых чисел более 10 миллионов.
Список литературы
1. Сушкевич А.К. Теория чисел (Элементарный курс). МУ Вузовская книга, 2007. 240 с.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел: уч. пос. СПб.; М.; КраснодарУ Лань, 2008. 384 с.
3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.У Лань, 2004 (десятое издание). 176 с.
4. Трост Э. Простые числа. М.У ИЛ, 1959. 136 с.
5. Прахар К. Распределение простых чисел. М.У Мир, 1967. 512 с.
6. Математическая энциклопедия (Распределение простых чисел). М.У Советская энциклопедия, 1984. Т.4
7. Интернет, Википедия, Проблема Гольдбаха, 19.11.2009.
8. Weisstein, EricW. Goldbach Conjecture (на сайте Wolfram MathWorld).
9. Доксиадис А. Дядя Петрос и проблема Гольдбаха. М.У АСТ. 2002.
10. Петров С. Абсолютное программирование. Рекурсия - пример типичной псевдоматематической попытки доказательства проблемы Гольдбаха методом просеивания.
11.Интернет, http://news.bbc.co.uk/hi/russian/sci/tech/newsid_3687000/3687852.stm
12. Интернет (доказательство гипотезы Римана на 23 листах)
http://riemann.narod.ru/index.html
13. Чебышев П.Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины // Изб. тр. М.У Изд-во АН. 1955. С.9-32.
14. Математический энциклопедический словарь. М.У Советская энциклопедия, 1988.