. (20)
В формуле Чебышева , а в формуле Лагранжа (уточненное нами значение =0.0755). Если потребовать от функции стремления к нулю при достаточно больших значениях , то не будет противоречия, о котором упоминал Чебышев. Однако подобрать хорошую зависимость с упомянутым свойством непросто.
Вычисления показали, что при формула (19) дает завышенные значения при , а при - заниженные; в районе появляются как завышенные, так и заниженные значения. Этот анализ подсказал уменьшить при малых и слегка увеличить при больших . Вычислительный эксперимент со значениями
при ,
при
уменьшил среднеквадратичное отклонение на 18%. При этом максимальные отклонения (не относительные) укладываются в интервал от -22.85 до 37.56 (среднее отклонение по модулю менее 7.04); при постоянном значении этот интервал шире (от -43.91 до 43.91 при среднем отклонении по модулю 12.23).
В предложенной формуле (21) величина увеличивалась с ростом номера простого числа. Казалось бы, это противоречит требованию согласования с замечанием Чебышева. Противоречия нет. Просто значения, при которых, по-видимому, следует требовать асимптотического стремления
, (22)
велики. Сам Чебышев указывал [13], что отличия формулы Лагранжа от его формулы будут значимыми лишь при значениях (примерное равенство при ). Указанным значениям соответствуют номера 90 000. Отметим, что способ получения оценок [13] требует проверки, так как простой анализ показывает, что разность между аппроксимацией Лагранжа и Чебышева () монотонно убывает, достигая относительной разности менее 1% при .
Подведем итоги выполненных оценок функций, полагая, что - реальная зависимость для номера простого числа, которой соответствует в таблице. Полученные оценки трех функций сверху и снизу имеют вид
, (23)
, (24)
. (25)
Эти функции ближе к табличным значениям по величине относительной ошибки при следующих "оптимальных" значениях коэффициентовУ
(26)
Функции указаны в порядке возрастания относительной среднеквадратичной погрешности со значениями
соответственно.
Указанные коэффициенты ждут своего уточнения за счет расширения таблицы простых чисел. При этом следует определиться с начальным значением интервала (в данной статье ) и с критериями погрешности (относительными или абсолютными).
6. Расстояние между простыми числами
Расстояние между простыми числами
ведет себя не монотонно, но в целом расстояние , усредненное по большому интервалу , и максимальное имеют тенденцию к увеличению. Известно несколько формул оценки сверху максимального расстояния:
(27)
(28)
(29)
Первая оценка (27) получена в работе [6] с использованием гипотезы Римана. Вторая оценка (28) получена посредством эвристических (вероятностных) рассуждений. Третья оценка (29) получена Huxley M.N. в 1973 г.
Эти формулы были проверены на интервале по номеру простого числа от 6 до 30 000. Оказалось, что все формулы дают завышенные значения (правые части неравенств могут быть уменьшены). В результате анализа определены поправочные коэффициенты для первой и второй формул и величина для третьей формулы. Кроме того, указаны значения номеров , в которых производилась последняя поправка для выполнения неравенств.
На рассмотренном интервале . В формуле (27) правая часть может быть умножена на , а в формуле (28) - на
. С учетом указанного в работе [4] значения для и коэффициент для второй формулы следует увеличить примерно на 1.5% до значения . Третья формула остается справедливой при . Кроме того, для третьей формулы был найден меньший показатель У вместо (последняя поправка была выполнена для ).
После корректировок было выяснено, что эти ограничения при удовлетворяют неравенству
(30)
Отсюда следует, что наиболее жесткие ограничения для максимального расстояния между простыми числами дает вторая формула, а не третья, как утверждалось в [6]. При , например, , а
Гаусс обнаружил [1], что 26 379-я сотня не содержит простых чисел. Понятно, что появление такой сотни требует выполнения неравенства (в худшем случае 200). Расчет показывает, что такая сотня обязательно найдется в интервале от 212 000 до 31 247 000. Сотня, найденная Гауссом (2 637 801-2 637 899), попадает в указанный интервал.
Простая заниженная оценка для следует из известного и легко доказываемого факта [6] об отсутствии простых чисел на интервале . Отсюда следует, что . Уже при реальное , а по оценке .
7. Распределение близнецов
Близнецами (twins) называют соседние простые числа, отличающиеся на 2. Обобщением близнецов являются соседние простые числа, отличающиеся на число, кратное двум:
(31)
Расстояние между близнецами с ростом номера простого числа в целом увеличивается, но с нарушением монотонности.
Например, между близнецами (71, 73) и ближайшими к ним (101, 103) находится 4 простых числа (расстояние между этими близнецами = 101-73 =28).
В то же время между близнецами (101, 103) и следующими (107, 109) нет ни одного простого числа. В 1959 г. была опубликована таблица близнецов в пределах 1.1 млн [2]. В работе [6] есть пример для близнецовУ 8 004 119, , а в [1] - для еще более далекихУ . Есть основание предполагать, что близнецов бесчисленное множество, но это до сих пор не удалось доказать. На интервале до доля близнецов составляет , с ростом интервала эта доля убывает.
Программа, вычисляющая число обобщенных близнецов (31), на выбранном интервале от i1 до i2 имела простой видУ
for k:=1 to km do nn[k]:=0;
for i:=i1 to i2 do for k:=1 to km do
if (N[i+1]-N[i])=2*k then nn[k]:=nn[k]+1;
for k:=1 to km begin s:=100*nn[k]/(i2-i1); writel n(k:8,s:9:6); end;
В табл. 4 указан процент чисел с разницей равной на первой тысяче простых чисел (i1=1, i2=1000).
Таблица 4
|
2k |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
|
17.417 |
16.917 |
24.424 |
8.408 |
10.010 |
7.507 |
4.294 |
Таблица 5
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
14.538 |
12.337 |
11.437 |
11.637 |
11.337 |
10.837 |
Любопытно, что оказалось очень много пар для . Распределение близнецов () на последовательных интервалах с длиной представлено в табл. 5 ( - номер интервала).
Заметно нарушение монотонного убывания числа близнецов. Возникает вопросУ какой выбрать интервал по номерам чисел
, при котором число близнецов будет монотонной функцией от номера интервала?
В табл. 6 для интервала представлены доли для и (значение выбрано по причине повышенного числа таких пар в табл. 4.
Таблица 6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
||
|
13.602 |
11.802 |
11.302 |
10.722 |
10.582 |
10.462 |
||
|
21.504 |
18.743 |
18.083 |
17.843 |
17.283 |
17.283 |
Как следует из табл. 6, число близнецов монотонно убывает с ростом номера интервала ; однако при значения пар на 5 и 6 интервалах совпали.
В табл. 7 приведено среднее число пар в процентном отношении к полному интервалу простых чисел до =300 000У
Таблица 7
|
11.410 |
11.323 |
18.453 |
7.530 |
9.366 |
10.240 |
Доля следующих пар () менее 6%, но при расширении интервала их доля будет естественно возрастать.
Перейдем к исследованию расстояния между ближайшими (соседними) близнецами. Дадим пояснения к соответствующей программе. Пусть () - номера простых чисел для близнецов (). Начальные значения первых номеров близнецов равнялись (это соответствовало паре 11,13). Далее программа в цикле отыскивала номера простых чисел для ближайших близнецов () и вычисляла расстояние между ними по формуле
. (32)
При этом в элементах массива суммировались случаи с соответствующим значением в формуле (31). Значения всех элементов этого массива позволяло вычислить и среднее расстояние между близнецами:
(33)
Верхняя граница суммирования в (33) определялась экспериментально. Признаком правильной верхней границы служила неизменность суммы при существенном расширении верхней границы. В нашем случае достаточно было выбрать . Этому значению соответствовало наибольшее зафиксированное расстояние между близнецами:
Анализ массива позволил выяснить, что для проанализированного числа простых чисел () найдено 3417 близнецов (без учета тех, для которых ). Любопытно, что чаще всего встречались расстояния, соответствующие . При этом наименьшее расстояние, равное , встретилось лишь 76 раз. На втором и третьем месте по численности оказались значения и для и соответственно.
Число близнецов на интервалах с шагом простых чисел монотонно уменьшалось от 679 на первом интервале до 523 на последнем, шестом интервале. При этом среднее значение расстояния между близнецами монотонно возрасталоУ на первом интервале () оно равнялось 69.6, а на полном интервале () 99.7.
Наиболее интересный результат заключается в том, что многие расстояния между близнецами отсутствуют. Ненулевыми элементами массива оказались лишь те, для которых и соответственно . Формула
была справедлива до . Затем стали появляться значения с . Таким образом, для определения расстояния между близнецами применяется формула с целочисленными значениями .
8. Бинарная проблема Гольдбаха-Эйлера
После создания таблицы простых чисел анализировалось выполнение бинарной проблемы
(34)
для всех четных чисел . Известно, что это равенство может выполняться разными способами. Например, 8=1+7=3+5, 10=3+7=5+5=7+3. Для однозначности представления полагалось, что N[i2] < N[i3] (или, что то же, i2 < i3). Это означает, что первое простое число меньше второго. Во всех проверенных случаях алгоритм обнаруживал выполнимость строгого неравенства N[i2] < N[i3]. Это не означает, что не было случаев равенства N[i2] = N[i3]. Просто алгоритм начинал проверку равенства с постепенным увеличением первого простого числа и прекращал работу при нахождении подходящей пары чисел. Число вариантов с равенством подсчитывалось суммированием ситуаций, для которых выполнено неравенство 2.
Отметим, что равенство Гольдбаха (34) для некоторых может выполняться тремя и более способами даже при условии . Например, 22=3+19=5+7=11+11,
24=1+23=5+19= 7+17=11+13. Эти случаи заслуживают особого внимания. Они обеспечивают некоторый "запас" выполнимости гипотезы (34).
Программа нахождения номеров простых чисел i2, i3, удовлетворяющих равенству (34), имела вид
MM:=400000; {maxM} jm:= MM shr 1-10;
for j:=1 to jm do begin M:=20+2*j;
for i:=0 to im do begin dm:=M-N[i];
i0:=i+Round(dm/sqr(ln(M))); if i0 > im then goto 20;
for i1:=i0 to im do begin
if N[i1] > dm then goto 20;
if dm=N[i1] then begin i2:=I; i3:=i1;
for k:=0 to km do if i2=k then nn[k]:=nn[k]+1;
goto 30; end;
end; {for i1}
20: end; {for i} writeln(` impssible for M=',M:9); goto 40;
30: end; {for j} writeln(` all was found');
writeln(` jm,M=',jm:9,M:9);
40: {end program}
Дадим пояснения к программе. Задание величины MM определяет наибольшее значение числа M, для которого подбираются простые числа, удовлетворяющие гипотезе Гольдбаха (34). Верхняя граница цикла jm по j вычисляется по формуле исходя из условия, что образование числа M идет по формуле M:=20+2j. В цикле по i вычисляется величина разности dm=M-N[i]. Далее организуется цикл по i1 с начального значения i0 (эта величина сокращает перебор). Если выполняется одно из неравенствУ i0 > im, N[i1] > dm происходит выход из поиска программы на печать информации о том, что для равенства (34) не найдена соответствующая пара простых чисел. При выполнении равенства dm=N[i1] (а следовательно (34)) и нахождения номеров i2, i3 может быть вставлена программа обработки полученных значений. При завершении цикла по j печатается информация об удачном завершении прог-раммы и выдаются параметры, для которых выполнена проверка равенства (34).
В качестве верхней границы проверяемых чисел ММ можно брать значение почти вдвое большее N[im]. Так, при N[30001] = 350381 программа находит пары чисел до значения ММ=699890 N[30001] (для меньших соответствующий коэффициент при - меньше). Программа работает быстро при и резко замедляется при .
Заметим, что если задано завышенное число ММ, программа укажет то число, для которого не хватает нужной пары чисел из полученной таблицы простых чисел. После этого следует задать число ММ, меньшее на 2, и повторить счет. Время счета растет при увеличении ММ быстрее, чем ММ, и при ММ=500000 составляет примерно 54 сек. Алгоритм поиска чисел в равенстве (34) может быть оптимизирован. Можно, например, использовать информацию о предыдущей паре простых чисел.
Для анализа выполнимости гипотезы суммировались числа случаев с i2 =k для k, меняющегося от 0 до назначаемого номера km. Соответствующие суммы накапливались в массиве nn[k]. Значение nn[0] указывает число случаев, когда первое число в гипотезе равно 1. Значение nn[1] естественно оказалось равным нулю, так как N[1]=2 - единственное четное простое число. Представление о распределении nn[k] при различных значения ММ дает табл. 8.