(2)
здесь и - неотрицательные коэффициенты,
(3)
Процесс расчета бессилового поля с помощью оптимизационного (и любого альтернативного) метода не вполне корректно характеризовать как экстраполяцию, т.к. на каждой итерации уже существует некое пространственное распределение поля, в большей или меньшей степени удовлетворяющее критерию бессилового поля. Более подходящим термином, отражающим суть оптимизационного метода, является «восстановление».
Существующие реализации оптимизационного метода предполагают фиксацию поля на границах расчетной области (). Часть граничных условий доступна из измерений, остальные граничные условия (как и начальное распределение поля во внутренней части расчетной области) восполняется с помощью потенциальной экстраполяции. Это обстоятельство может негативно повлиять на результаты расчетов, если реальное магнитное поле существенно непотенциально. Для минимизации такого влияния одна из существующих реализаций оптимизационного метода предполагает некоторое усложнение функционала (1):
(4)
путем включения в него скалярной весовой функции со следующими свойствами: функция тождественно равна единице во внутренней части расчетной области; вблизи той части границы, на которой начальное поле недоступно из измерений, выделяется переходный слой, в котором функция убывает по направлению к границе до 0 по некоторому закону.
Однако, наиболее естественным способом решения проблем, связанных с неоднозначностью граничных условий, представляется полный учет эволюционных уравнений (2), в соответствии с которыми происходит преобразование исходного магнитного поля. В этом случае поле во внутренней части и на границе расчетной области будет стремиться приобрести единую самосогласованную структуру. Исходя из специфики постановки задачи, поле должно оставаться неизменным только на той части границы, которая отождествлена с фотосферой, т.к. является данными наблюдений.
В Разделе 1.3 содержится подробное математическое описание предложенной в работе [27] модели осесимметричного нелинейного бессилового поля, на котором проводится тестирование оптимизационного метода. Произвольное задание положения источника поля и наклона оси симметрии, а также варьирование ряда других параметров позволяет получать различные модели магнитного поля активных областей, а информация о трехмерной структуре поля, его энергии, распределении бессилового параметра и т.д. может быть использована для контроля точности расчетов, производимых с помощью оптимизационного метода.
В Главе 2 представлены результаты тестирования метода на модельном поле, сравнительный анализ различных реализаций метода и влияние шума на качество экстраполяции. Приводится краткое описание применяемой схемы учета сферического характера распределения реальных магнитографических данных и способа решения проблемы р-неопределенности, а также результаты расчетов магнитного поля реальных активных областей.
В Разделе 2.1 приводится схематичное описание алгоритма преобразования поля, указываются конкретные параметры модельного поля и расчетных областей для тестирования оптимизационного метода. Сформулированы рассматриваемые реализации оптимизационного метода:
– Фиксированные граничные условия (, ). В процессе работы алгоритма, преобразование поля проводится только для внутренней части исследуемой области пространства, поле на границе области остается неизменным.
– Фиксированные граничные условия () с применением весовой функции. Единственное отличие от предыдущей реализации заключается в формуле преобразования поля в переходном слое.
– Варьируемые граничные условия (, ). В этом случае учитывается полный набор эволюционных уравнений. Поле подвержено изменению как во внутренней части, так и на границе исследуемой области пространства, исключение делается только для той части границы, которая отождествляется с фотосферой, где поле определяется из измерений и должно оставаться неизменным.
В Разделе 2.2 вводится ряд числовых характеристик для объективного сравнения расчетного и модельного поля.
В Разделе 2.3 в табличной форме представлены числовые характеристики результатов расчетов, полученных с помощью различных реализаций оптимизационного метода, в графическом виде представлено сопоставление расчетных силовых линий тех же примеров с силовыми линиями модельного поля. Наибольшая степень соответствия по всем параметрам получена при варьировании граничных значений. Применение весовой функции, по сути, не дало преимущества в сравнении с простой фиксацией граничных значений. Исходя из всей совокупности приведенных в этом разделе данных следует что, выбор в пользу того или иного предположения о характере поведения граничных значений обусловливает качество последующего восстановления поля во всей расчетной области в целом. Результаты проведенных численных экспериментов подтверждают целесообразность использования в расчетах полной системы эволюционных уравнений.
В Разделе 2.4 представлены результаты исследования влияния шума на качество восстановления поля. Рассмотрен ряд примеров с различным распределением шумовой составляющей и пространственным разрешением. Основным выводом является то, что влияние шума может быть эффективно уменьшено с помощью сглаживания и последующей интерполяции данных на менее плотную сетку. Несмотря на частичную потерю информации, такая предварительная обработка позволяет проводить восстановление поля с более высоким качеством, по сравнению с расчетами, сделанными на основе данных с шумовой составляющей, распределенных по более плотной сетке. К положительным моментам также следует отнести существенное уменьшение времени расчета.
В Разделе 2.5 содержится описание геометрии, используемой при работе с реальными данными магнитографических измерений, распределенными по фотосфере. В рамках декартовой геометрии используется представление гелиографической плоскости [28], на которую проецируются данные фотосферных измерений. Гелиографическая плоскость касается фотосферы в одной точке, для прочих узлов гелиографической сетки расстояние до фотосферы будет увеличиваться по мере удаления от этой точки. Для магнитограмм, измеренных вблизи центра диска, этот эффект малосуществен, но он будет усиливаться по мере приближения к лимбу.
Несомненно, самым естественным приемом при работе с реальными данными было бы использование сферической геометрии. Такой подход неизбежен, если ставить целью восстановление глобального магнитного поля. Отдельные активные области занимают сравнительно небольшую часть поверхности Солнца. В этом случае для учета сферичности, вместо переформулирования уравнений оптимизационного метода в рамках сферической геометрии, расчеты производятся в квазисферической геометрии, суть которой состоит в том, что работа со сферическими координатами узлов расчетной области и компонентами магнитного поля проводится по правилам декартовой геометрии. При этом достигается полное геометрическое соответствие входных данных алгоритма восстановления поля и данных фотосферных измерений, однако, в то же время, такое упрощение снижает точность вычисления пространственных производных.
Тестирование на модельном поле показало, что качество восстановления поля в рамках квазисферической геометрии достаточно высоко и по всем параметрам сопоставимо с результатами, полученными в рамках чисто декартовой геометрии. Без переформулирования уравнений оптимизационного метода в рамках чисто сферической геометрии, такой способ учета сферичности представляется хорошей альтернативой проецированию данных измерений на гелиографическую плоскость.
В Разделе 2.6 содержится описание метода устранения р-неопределенности в направлении поперечной компоненты магнитного поля векторных магнитографических измерений. Устранение р-неопределенности является важной самостоятельной задачей, успешное решение которой очевидным образом обуславливает возможность последующего достоверного восстановления пространственной структуры магнитного поля.
Произвольность изменения исходного распределения данных имеет большое прикладное значение и предполагает применение сглаживания и интерполяции. Однако, непосредственное использование этих процедур невозможно до устранения р-неопределенности в исходных данных. Для преодоления этого обстоятельства проводится предварительное преобразование компонент магнитного поля в однозначно определяемые искусственные «параметры Стокса», к которым применимы процедуры сглаживания и интерполяции, и затем обратно в форму векторного поля с сохраняющейся р-неопределенностью поперечной компоненты.
Собственно устранение р-неопределенности проводится с помощью метода минимизации «энергии» [29], адаптированного для работы в сферической геометрии. Суть данного метода заключается в поиске распределения поперечной компоненты магнитного поля, соответствующего минимуму дивергенции магнитного поля и нормальной составляющей электрического тока. Основное отличие применяемой модификации метода от оригинала заключается в использовании при расчетах интегральных соотношений.
В Разделе 2.7 представлены результаты восстановления пространственной структуры магнитного поля активных областей. Активная область 10930 имела биполярную структуру с близкорасположенными пятнами противоположной полярности, образующими общую полутень. Сложный характер фотосферного движения вещества приводил к тому, что магнитное поле активной области существенно отличалось от потенциального, в пользу чего свидетельствовала наблюдаемая в рентгеновском диапазоне сигмоидная структура магнитных петель, протянувшаяся параллельно нейтральной линии фотосферного магнитного поля. В процессе развития активной области были зафиксированы две вспышки X класса, для каждой из которых было проведено восстановление магнитного поля на пред- и поствспышечной стадии.
Аналогичная ситуация рассматривалась в работе [26], посвященной сравнительному анализу результатов расчетов различных методов восстановления бессловых полей. Магнитное поле, восстановленное при помощи оптимизационного метода с варьируемыми граничными значениями, по всем параметрам качественно соответствует лучшему результату из указанной работы, полученному с помощью метода типа Града-Рубина в реализации [14]. Информация о пространственном распределении магнитного поля позволяет вычислить его энергию. Разница между энергией бессилового и потенциального поля представляет собой свободную энергию магнитного поля, которая может перейти в другие формы, сопровождаясь вспышкой и эрупцией вещества. Оценки падения свободной энергии активной области в результате X-вспышек согласуются теоретическими представлениями, превышая порог эрг.
Силовые линии восстановленного поля с высокой степенью точности трассируют сигмоидную структуру, протянувшуюся вдоль нейтральной линии и видимую в рентгеновском диапазоне. С помощью потенциальной экстраполяции подобного соответствия между расчетными силовыми линиями и данными наблюдений достичь не удалось. Лучший результат из работы [26] также не в полной мере отражает сигмоидную структуру реальных петель. В этом отношении метод типа Града-Рубина уступает оптимизационному методу с варьируемыми граничными значениями.
В случае расположения активной области вблизи лимба пространственная неоднородность магнитографических измерений становится существенной, что оказывает влияние на процесс устранения р-неопределенности и последующее восстановление пространственной структуры магнитного поля. Силовые линии поля, восстановленного по данным магнитограммы, измеренной в период нахождения активной области 10930 вблизи западного края лимба, продемонстрировали хорошее согласие с реальной структурой как низких, так и высоко лежащих петель, видимых, в том числе, за краем лимба. Тот факт, что синтез двух различных методов работы с данными дает результат, согласующийся с реальностью, свидетельствует о том, что в рамках каждого из этих методов все значимые факторы учтены корректным образом и в достаточно полной мере.
В процессе развития активной области 10953, имевшей биполярную магнитную конфигурацию, была зафиксирована вспышка класса C8.5. В структуре поля, восстановленного на предвспышечной стадии, выявлены две группы силовых линий, отличные от результатов потенциальной экстраполяции. Первая группа представляет собой высоко лежащие силовые линии, хорошо согласующиеся с реальной петлей, видимой в рентгеновском диапазоне. Ко второй группе относятся расположенные ниже существенно непотенциальные силовые линии, протянувшиеся перпендикулярно первой группе. Такая конфигурация характерна для сценария развития вспышки, связанного со всплыванием из-под фотосферы магнитного потока.
Геометрия и параметры магнитного поля отдельной силовой линии, предположительно соответствующей вспышечной петле, использовались в качестве входных данных для численного моделирования гиросинхротронного излучения. В процессе фитирования был получен расчетный интегральный спектр радиоизлучения, хорошо согласующийся с реальным спектром, что свидетельствует о близости подобранных параметров состояния плазмы и ускоренных электронов к реальным значениям. Высокая степень совпадения положений реальных и расчетных радиоисточников подтверждает то, что восстановленное магнитное поле, использованное при моделировании радиоизлучения, позволяет достаточно хорошо представить реальную вспышечную петлю.
В заключении перечислены основные выводы:
1. Тестирование различных вариантов реализации оптимизационного метода на модели нелинейного бессилового поля со всей очевидностью показало, что наиболее высокой степени соответствия восстановленного и модельного поля удается достичь, если использовать в расчетах полную систему эволюционных уравнений и допустить возможность вариации части граничных условий. Такой подход является вполне обоснованным при учете того обстоятельства, что в реальности из измерений невозможно получить полный набор граничных условий.