Материал: Васильева ИА ТЕРМОДИНАМИКА характеристические функции

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Аналогичные преобразования допускает и выражение для изобарной

∂S

теплоемкости

Cp =T

∂T p

∂S

∂p

∂S

∂p

∂V

Имеем

= −

∂T p

∂T S

∂p T

∂T S

∂T p

Таким образом, искомое выражение для Сp принимает вид

∂V

∂p

Cp =T

(1-94)

∂T p

∂T S

Соотношения подтверждают существование универсальных связей между калориметрическими свойствами (изохорная и изобарная теплоемкости) и термическими свойствами (частные производные от термических параметров p, V, T)

Полученные соотношения существенно отличается от уравнений Максвелла, т.к. в них неявно входят производные между однородными

параметрами	∂S	(здесь х отражает факт фиксации термодинамического

∂T x

процесса).

1.14. Основные производные теплоёмкости

Термодинамический метод анализа позволяет найти также ряд важных соотношений для некоторых частных производных Сp и СV, в частности, изучить зависимость Сp, СV (T) без прямого их измерения, связать частные производные от Сp и СV с частными производными от термических параметров.

Зависит ли СV (V)?

∂C

Рассмотрим вначале производную

V .

∂V T

∂C

∂

∂S

Имеем

∂V

∂V T

dT V T

∂V

∂T V T

Здесь V и Т выступают независимыми параметрами.

К сожалению,

производная

∂S

не удобна для последующих

∂T V

преобразований, поэтому поменяем порядок дифференцирования функций

S(V, T).

	∂CV			∂	∂S
Получаем			=T

	∂V	T		∂T	∂V T V

	∂C		∂2 p
Иначе	V	=T		.
	∂V T		∂T 2	V

	∂	∂p
=T			.
	∂T
		∂T V V

1.15. Теплоёмкость идеального газа

Полученные в предыдущих параграфах выражения, касающиеся теплоемкости и её частных производных, являются универсальными. Их можно применить к любой термодеформационной системе. Однако, если мы хотим обнаружить индивидуальные свойства этой системы (вещества) следует привлечь к анализу её уравнение состояния.

Рассмотрим в качестве примера теплоёмкость идеального газа, уравнение состояния которого является одним из простейших и хорошо известно

p∙V = R∙T

Воспользуемся этим уравнением, чтобы отыскать все интересующие нас частные производные от термических параметров. Имеем

∂V	=	R	=			V	≠ f (T ),
		p				T
∂T p
∂p	=	R	=			p	≠ f (T ),
		V
					T
∂T V
∂p	= −			p		.

			V
∂V T

(1-95)

(1-96)

(1-97)

В соответствии с законом Джоуля удельная внутренняя энергия идеального газа является однозначной функцией температуры U=U(T). Следовательно, входящая в основное выражение для теплоемкости (3-77)

				∂U	в случае идеального газа превращается в нуль.
частная производная
				∂V T
Проверим это обстоятельство. Согласно (1-59) и (1-96)
	∂U		∂p		=T	p	− p = 0,
		=T		− p
						T
	∂V T		∂T V

что и утверждалось.

Значит, у идеального газа U действительно функция только от Т

U=U(T) (1-98)

Определим эту зависимость через теплоёмкость. Воспользуемся соотношением (1-84)

	∂U
CV =	.
	∂T V

	∂U	=	dU	, так что у идеального газа
С учетом (1-98) выражение		=	dT	, так что у идеального газа
	∂T V		dT
dU=CV∙dT, где CV=CV(T).				(1-99)

В интегральной форме

U (T )= T∫CV (T ) dT +U0 .

В соответствии с определением идеального газа его внутренняя энергия складывается только из энергии движения (нет потенциального взаимодействия) микрочастиц, поэтому U0=0 при T=0 и аналитическое выражение для внутренней энергии идеального газа имеет вид

U (T )= T∫CV (T ) dT .

(1-100)

Имеющиеся в нашем распоряжении сведения дают возможность найти аналитическое выражение для энтальпии идеального газа.

Действительно, согласно уравнению p∙V = R∙T имеем

I=U+p∙V=U(T)+R∙T, так что

I=I(T). (1-101)

Воспользуемся универсальным выражением (1-85)

C			∂I
	p	=

			∂T p

и учтем (1-101).
Имеем
dI=Cp∙dT,	(1-102)
где Cp=Cp(T).
Следовательно, искомое выражение для энтальпии идеального газа
I = T∫Cp (T ) dT .	(1-103)

При отыскании функций U(T) и I(T) мы параллельно об наруживали, что изохорная и изобарная теплоёмкости идеального газа являются однопараметрическими функциями температуры

CV=CV(T) и Cp=Cp(T).

Следовательно, изобарная и изохорная теплоемкости идеального газа не зависят ни от объема, ни от давления, а могут з ависеть только от температуры.

1.16. Энтропия системы и её изменения в различных процессах

Только термодинамический метод исследований не позволяет рассчитать температурную зависимость теплоёмкости вещества. Для этого нужно знать хотя бы одну из его характеристических функций, например, энтропию. Энтропия определяет направленность и ход всех естественных процессов.

Ясно, что при исследовании многих термодинамических процессов, особенно если мы хотим предусмотреть их направленность, возникает задача

оценки энтропии. Следовательно, нам нужны соответствующие расчётные соотношения, позволяющие определять энтропию через другие параметры системы.

Наша задача заключается в том, чтобы найти выражение для энтропии в определенном диапазоне температур от T0≠0 до T через другие термодинамические параметры и их производные.

1.17. Уравнение адиабаты. Адиабатная сжимаемость системы

Адиабатные процессы занимают среди всех других процессов особое место, т.к. часто являются более доступными в смысле их реализации и широко используются как для охлаждения, так и для нагрева веществ, в том числе и сконденсированных.

Рассмотрим для общности рассуждений произвольную термодинамическую систему и с n степенями свободы. Уравнение состояния такой системы имеет соответственно вид

F(T, S, z2, …, zn) =0.

(1-104)

Обычно мы разрешаем это уравнение стремясь избавиться от S. Сейчас мы сделаем то же самое (в конечном счёте), но другим путём. Разрешим вначале это уравнение относительно S:

S=S(T, z2, …, zn)

(1-105)

и попробуем обработать его для разных вариантов сопряжения.

Полный дифференциал функции (1-105)

∂S

Czinv

∂S

dS =

dT +∑

dzk

dT +∑

dzk

. (1-106)

∂T zinv

k=2

∂zk T ,z

inv

k=2

∂zk T ,z

inv

В произвольной системе с n степенями свободы в качестве общего уравнения адиабаты может рассматриваться соотношение (1-106)

Для этого достаточно воспользоваться условием адиабаты dS=0, последнее означает, что рассматриваются только обратимые равновесные процессы

Czinv	n	∂S
	dTS +∑		dzk	= 0 = dS /	(1-107)
T	dTS +∑		dzk	= 0 = dS /	(1-107)
T	k=2	∂zk T ,z
			inv

Если система сопряжена со средой по зарядам (S, l2, …, ln), уравнение адиабаты в соответствии с дифференциальным соотношением III рода принимает более конкретный вид

	T	n	∂P
dTS =		∑	k	d k .	(1-108)
dTS =	C inv	∑	k	d k .	(1-108)
	C inv	k =2	∂T	inv

В свою очередь при сопряжении системы по потенциалам Р2, …, Рn уравнение адиабаты записывается в виде

	T	n	∂	k
dTS = −		∑		k		dPk .	(1-109)
dTS = −	CP	∑				dPk .	(1-109)
	CP	k =2	∂T P
	inv				inv

Каждое из уравнений (1-108) и (1-109) содержит по (n-1) независимому параметру Pk, lk, поэтому описывает не одну адиабату, а целое их семейство (в зависимости от выбранных Pk, lk).

В более частном случае термодеформационной системы уравнения (1-108) и (1-109), упрощается к виду

dTS				T	∂p		dVS ,	(1-110)
	= −
			CV
					∂T	V
dTS	=	T			∂V	dpS .		(1-111)

		Cp
					∂T p

Здесь в уравнениях адиабаты в качестве независимых параметров выступают либо удельный объем, либо давление системы, так что каждое из них отражает соответственно кривую ТS(V) или ТS(p), причем обе они описывают один и тот же адиабатный процесс, только с различными независимыми параметрами.

Уравнения (1-110) и (1-111) позволяют исключить из них комплекс

dTS и получить уравнение адиабаты через р и V

dVS = −	C	∂V	∂T	dpS .	(1-112)
dVS = −	V			dpS .	(1-112)
	Cp	∂T p	∂p V

Найденное уравнение целесообразно преобразовать. Для этого вспомним уравнение состояния в частных производных через р, V, T

∂V	∂T	∂p	= −1


∂T p	∂p V	∂V T

заменим в (3-112) обе частные производные правой части на одну и перепишем все уравнение в форме частных производных. Получаем каноническое уравнение адиабаты:

∂V	=	C	∂V	(1-113)
	=	V	.	(1-113)
∂p S		Cp	∂p T

Видно, что в уравнении адиабаты для термодеформационной системы

оказались	функционально связанными			адиабатная и		изотермическая
сжимаемости вещества. Напомним, что			∂V		у всех веществ, а CV > 0 ,
сжимаемости вещества. Напомним, что			∂V	< 0	у всех веществ, а CV > 0 ,
			∂p			Cp
			∂p	T		Cp
	∂V
поэтому	∂V	< 0.
	∂p
	∂p	S

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11