Материал: Устойчивость нелинейной системы автоматического управления

По формуле (32) определим:

Определим :

Поскольку , то в соответствии с уравнением (31) .

Для класса нелинейных систем, к которому принадлежит рассматриваемая система, достаточные условия устойчивости имеют вид:

Условие (37) приводит к следующему достаточному условию устойчивости рассматриваемой системы:

Вывод: Данная система по критерию Ляпунова неустойчивая.

3.3 Исследование устойчивости САУ частотным методом Попова

В режиме стабилизации температуры можно принять: .

Коэффициент усиления линейной части системы равен:

Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен:

.

Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена  условно отнесем к нелинейному звену.

Необходимо определить, при каких значениях k система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (0, k)

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

Введем некоторые функции  следующим образом:

По данным выражениям построим характеристику  и через точку (-1/k, j0) проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.

Уравнение прямой Попова, коэффициенты которого получены путем подбора, приведено ниже:

1(ω) = 1∙U(ω) + 0,115

Таблица 2

Рис. 4. Характеристика V*(ω) = f [U*(ω)] (сплошная линия) и прямая Попова (пунктирная линия)

Расчетное значение разомкнутой системы равно:

Система абсолютно устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе 0<k<8,7 и, в частности, для характеристики релейного типа.

3.4 Исследование устойчивости САУ алгебраическим методом

Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний алгебраическим методом. По структурно-математической схеме (см. рис. 1) определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

Для нелинейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение:

где для нелинейности (см. рис. 2):

Подставляя значение u из уравнения (43) в уравнение (42), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы:

где  - коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение:

Условие существования в уравнении (45) периодического решения:

будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином:

подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

Из второго уравнения системы (49) найдем искомую частоту периодического решения .

Подставим это решение в первое уравнение (49) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения  с параметрами системы:

Отсюда получим

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство:

Из выражений (49) находим:

Подставим выражение для частных производных в (49) и одновременно произведем замену .

Получим условие устойчивости периодического решения в виде:

Получаем

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид: . Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия устойчиво.

Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний методом гармонической линеаризации (см. рис. 1) при отключенной местной обратной связи и .

Структурно-математическая схема САУ температуры представлена на рис. 8. Статическая характеристика нелинейного звена изображена на рис. 2.

Введем следующие обозначения:

 - коэффициент усиления линейной части системы.

Рис. 5. Структурно-математическая схема САУ температуры

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы  и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена . Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:

ее модуль:

и фаза:

Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:

Задаваясь значениями от 0 до , по формулам (56) и (57) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы (см. рис. 9) :

Таблица 3

Рис. 6. АФЧХ линейной части системы

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:

После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:

.

Задаемся значениями a от a = b = 0,7 до ∞ и строим годограф нелинейного звена  (см. рис. 10):

Таблица 4

В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви:

Рис. 7. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена

Минимальное значение модуля функции :

достигается при . Годографы  и  не пересекаются. Это означает, что состояние равновесие системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.

3.6 Исследование устойчивости САУ частотным методом

Исследуем переходный процесс в САУ температуры частотным методом.

Коэффициент затухания ξ и частоту колебаний ω переходного процесса в САУ температуры будем отыскивать путем решения гармонически линеаризованного уравнения:

где  получается из передаточной функции линейной части системы  подстановкой , а гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена  - подстановкой  в выражение:

в результате получаем:

Уравнение (60) будем решать графически. Для этого в передаточной функции линейной части системы:

произведем подстановку . Получим:

Модуль этой функции:

и фаза:

Подставив в выражение (66) и (67) приведенные в исходных данных значения параметров и, задаваясь различными постоянными значениями показателя затухания ξ, построим серию кривых  как функции от частоты колебаний ω при ξ = const (см. рис. 10).

На этом же графике нанесем обратную амплитудно-фазовую характеристику нелинейного звена  при заданных параметрах b и c. Для нелинейной характеристики релейного типа с зоной нечувствительности имеем:

Отсюда:

Рис. 8. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена САУ температуры

Как видно из графиков, точка пересечения годографов линейной части системы и нелинейного звена отсутствует. Следовательно, САУ температуры находится в устойчивом равновесном состоянии.

3.7 Исследование САУ температуры сушильной камеры в среде Simulink

Согласно рисунку 3, в программном продукте MATLAB в среде Simulink составляется блок-схема математической модели САУ температуры сушильной камеры. После чего проводится анализ САУ: строятся переходная характеристика, ЛАХ и ЛФХ, АФЧХ; определяются характеристики переходного процесса, запасы по фазе и амплитуде.

Рис. 9. Структурно-математическая схема системы автоматического регулирования температуры в среде Simulink

Рис. 10. Переходная (временная) характеристика системы автоматического регулирования температуры

Рис. 11. ЛАХ и ЛФХ нелинейной САУ

Рис. 12. АФЧХ нелинейной САУ

автоматический управление температура сушильный

Заключение

В данном курсовом проекте я исследовал устойчивость нелинейной САУ. Объектом регулирования (ОР) в рассматриваемой САУ является сушильная камера. Регулируемый параметр - температура греющего агента θ, которая устанавливается поворачивающейся заслонкой (РО), приводимой в движение исполнительным механизмом (электродвигателем Д с редуктором Р). Регулирующий орган - заслонка - изменяет соотношение между количеством холодного воздуха и горячего газа.

В процессе выполнения курсовой работы произвел исследование устойчивости и режима автоколебаний нелинейной САУ температуры в сушильной камере с использованием следующих методов:

фазовых траекторий;

прямым методом А.М. Ляпунова;

частотным методом В.М.Попова;

алгебраическим методом;

гармонической реализации;

частотным методом;

с помощью Simulink.

Получили следующие характеристики:

) Время переходного процесса - 25,9 сек;

) Запас по фазе - 143 рад.

) Запас по амплитуде - 49,8 с.

) Частота - 0,05 рад/с.

И сделали вывод, что САУ температуры находится в устойчивом равновесном состоянии, автоколебания отсутствуют.

По разработанной структурно-функционально-математической схеме определил устойчивость нелинейной САУ температуры в сушильной камере при помощи программного пакета Simulink.

Список использованной литературы

1. Щербаков В.С. Конспект лекций по ТАУ

. Щербаков В.С., Сухарев Р.Ю. «Методические указания по выполнению курсовых работ» - 2012г.

. Александров Ю.В. «Основы автоматики и автоматизация производственных процессов в дорожном строительстве». - 1974 г.