Материал: Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

Таблица 2.3 - Значения плотностей распределения

Плотности равномерного, нормального и гамма-распределения рассчитываются в соответствии с формулами:

,

,

,

затем они копируются в блок ячеек С16:Е24.

Построим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Гистограмма частот- это графическое изображение зависимости плотности относительных частот n_i / nh от соответствующего интервала группировки. В этом случае площадь гистограммы равна единице, и гистограмма может служить аналогом плотности распределения вероятностей случайной величины X. Графическое изображение гистограммы и кривых различных распределений приведено на рисунках 3 - 5. При этом используется нестандартная диаграмма типа "График | гистограмма".

t,час

Рисунок 3 - Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения

t,час

Рисунок 4 - Сглаживание гистограммы плотностью нормаьного распределения

По внешнему виду этих графиков вполне можно судить о соответствии кривой распределения данной гистограмме, т. е. о том, какая кривая ближе к полученной гистограмме.

Используя критерий , надо установить, верна ли принятая нами гипотеза о распределении случайной величины X, т. е. о соответствии функции распределения F(x) экспериментальным данным, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).

t,час

Рисунок 5 - Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения

Для применения критерия  необходимо, чтобы частоты п_i, соответствующие каждому интервалу, были не меньше 5. Если это не так, рядом стоящие интервалы объединяются, а их частоты суммируются. В результате общее количество интервалов может уменьшиться до значения . Далее вычисляется следующая сумма:

,                                        (2)

где р_i - теоретическая вероятность того, что случайная величина X примет значение из интервала [a_i-1, а_i]. Мы предположили, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x), поэтому p_t =F(a_i)-F(a_i-1). Образец расчетов по формуле (2) в Excel для трех распределений показан в таблице 6.

В колонке А содержатся левые, а в колонке В - правые границы интервалов. В колонке С находятся соответствующие частоты. Заметим, что интервалы с 5-го по 10-й объединены в один, чтобы все частоты были не менее пяти. Количество интервалов вместо k = 10 стало равным k' = 5. В колонке D рассчитываются теоретические вероятности в зависимости от вида распределения. Как обычно, вычисляется одно значение, которое копируется в другие ячейки:

для равномерного распределения:

= ЕСЛИ(В45 < $В$5; 0; ЕСЛИ(В45 <= $В$6,

(В45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)) - ЕСЛИ(А45 < $В$5; 0,

ЕСЛИ(А45 <= $В$6; (А45 - $В$5)/($В$6 - $В$5); 1)).

для нормального распределения:

D52 = НОРМРАСП(В53; $В$8; $В$9; ИСТИНА) - НОРМРАСП(А53; $В$8; $В$9; ИСТИНА).

для гамма-распределения:=ГАММАРАСП(В61; $В$11; $В$12; ИСТИНА)- ГАММАРАСП(А61; $В$11; $В$12; ИСТИНА).

Таблица 2.4 - Подбор распределения на основе критерия χ²

В колонке Е рассчитываются слагаемые соотношения (2) по формуле:

Е45 = (С45 - 100·D45)^{^}2/(100·D45), которая копируется в другие ячейки колонки Е.

Согласно (2) для каждого рассмотренного распределения определяются итоговые суммы:

Е51 = СУММ(Е45:Е50),

Е59 = СУММ(Е53:Е58),

Е67 = СУММ(Е61:Е66),

которые равны соответственно 11,095, 10,945и 2,576.

Гипотеза о виде закона распределения должна быть принята, если вычисленное значение  достаточно мало, а именно не превосходит критического значения  которое определяется по распределению  в зависимости от заданного уровня значимости  и числа степеней свободы . Здесь s - число неизвестных параметров распределения, которые были определены по выборке (для равномерного, нормального и гамма-распределения s = 2). В данном примере r = k'-s-1 = 5-3 = 2. Полагая  = 0,05, критическое значение критерия  в Excel рассчитывается по формуле:

Е66 = ХИ2ОБР(0,05;2)

Поскольку 2.77< 5,991, то принимается гипотеза о том, что статистические данные имеют нормальное распределение с параметрам m=21.936 и σ =1.402 соответственно.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ

В разделе 2.3 было установлено, что случайная величина Z принадлежит множеству Г(244.64;0.089) с плотностью распределения вероятностей:

 (3)

Основными характеристиками надежности невосстанавливаемой системы являются среднее время безотказной работы и вероятность безотказной работы в течение времени t.

Среднее время безотказной работы системы T₁ равно математическому ожиданию m, т. е. T₁ = 26,38 час.

Вероятность безотказной работы вычисляется по формуле:

.                                         (4)

Построим график функции , используя Excel. В ячейках А71: А91 запишем значения аргумента t, изменяющегося от 0 до 27 часов с шагом 1 час.

Так как случайная величина Z имеет нормальное распределение, то в ячейку В71 записывается формула:

В71 = 1 - НОРМРАСП(А71; $В$8; $В$9; ИСТИНА),

которая затем копируется в ячейки В72: В98 (таблица 3.7). При этом используется аргумент истина, который, согласно равенству (3), соответствует интегральной функции распределения (а не плотности распределения). В результате будет получена таблица значений вероятности безотказной работы , график которой представлен на рисунке 6.

Таблица 3 - Значения вероятности безотказной работы системы

По таблице 3 и графику функции  (рисунок 6) можно определить вероятность того, что система безотказно проработает в течение заданного времени.

t,час

Рисунок 6 - График вероятности безотказной работы системы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной курсовой работе изучили методы статистического моделирования применительно к задачам нахождения законов распределения времени безотказной работы и показателей надежности технических систем с использованием прикладных программных средств.

Оценили надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ.

Разработали алгоритмы разыгрывания случайных величин Х1,Х2,Х3 и V с использованием генераторов случайных чисел, содержащихся в Microsoft Excel.

Определили время безотказной работы системы Y в зависимости от времени безотказной работы Х1,Х2,Х3 элементов на основе структурной схемы расчета надежности.