Материал: Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Установление закона распределения времени безотказной работы системы по известным законам распределения элементов

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Техническая система S состоит из трех элементов схемы, соединения которых приведены в вариантах заданий на курсовую работу. Времена безотказной работы Х₁, Х₂, Х₃ элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределения вероятностей. Внешняя среда Е оказывает воздействие на работу систем виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Требуется оценить надежность системы S методом статистического моделирования на ЭВМ с последующей обработкой результатов эксперимента.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Разработка алгоритма статистического моделирования

. Статистическая обработка данных

.1 Вычисление основных характеристик выборки

.2 Формирование статистического ряда и графическое представление данных

.3 Подбор подходящего закона распределения вероятностей

. Определение характеристик надежности системы

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Разработка математических моделей и методов, позволяющих определить время безотказной работы системы аналитически, является сложной, а подчас и неразрешимой задачей. С этой целью часто используется метод статистического моделирования с последующей обработкой результатов эксперимента. Предметом статистического моделирования является изучение сложных процессов и систем, подверженных, как правило, воздействию случайных факторов, путем проведения экспериментов с их моделями.

Суть метода проста - имитируется “жизнь” системы при многократном повторении испытаний. При этом моделируются и регистрируются случайно меняющиеся внешние воздействия на систему. Для каждой ситуации по сравнениям модели просчитываются системные показатели. Существующие современные методы математической статистики позволяют ответить на вопрос, можно ли и с каким доверием использовать данные моделирования. Если эти показатели доверия для нас достаточны, мы можем использовать модель для изучения данной системы.

Можно говорить об универсальности статистического моделирования, поскольку оно является одним из наиболее эффективных средств исследования и проектирования сложных систем по критериям надежности и часто единственным практически реализуемым методом исследования процесса их функционирования.

.       
РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Проведем имитацию работы системы, структурная схема которой изображена на рисунке 1.1. Согласно схеме, сначала работают элементы 1 и 3, а элемент 2 находится в резерве. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2.

Законы распределения времени безотказной работы элементов и воздействия внешней среды сведены в таблицу 1.

Таблица 1.1 - Законы распределения времени безотказной работы элементов и V

В таблице 1 приняты следующие обозначения законов распределения:

N - нормальное распределение;

U - равномерное распределение;

П - распределение Пуассона;

В скобках указаны параметры распределений.

На листе Excel (таблица 2) предусмотрим место для значений случайных величин. Колонки А и В - вспомогательные, в них заносятся равномерно распределенные случайные числа (РРСЧ) из промежутка [0; 1]. В колонки С, D, Е и F заносятся значения заданных случайных величин Х₁, Х₂, Х₃ и V соответственно, полученные путем преобразования РРСЧ. Колонка G служит для значений случайной величины Y, а колонка Н- для значений случайной величины Z.

Таблица 1.2 - Получение случайных чисел

В ячейки первой строки A1, B1,..,H1 помещаются заголовки таблицы. В ячейки A2 и В2 помещаются РРСЧ в соответствии с формулами А2=СЛЧИС(), В2=СЛЧИС().

В ячейки C2, D2, E2 помещаются значения случайных величин X₁, X₂, X₃, первые две которые имеют равномерное распределение, а третья - нормальное распределение в соответствии с формулами разыгрывания:

=15+(22-15)*A2,=15+(22-15)*B2,=19+2.2*КОРЕНЬ(-2*LN(C3))*COS(2*ПИ()).

В ячейку F2 помещается значение дискретной случайной величины V, подчиненной распределению Пуассона.

Рассмотрим структурную схему, изображенную на рисунке 1. При отказе элемента X3 наступает отказ системы. При отказе элемента X1 в работу включается элемент X2, но это событие не является отказом системы. Система откажет, если после этого произойдет отказ элемента X3 или X2. Время до отказа этой системы равно наименьшему из времени совместной работы элементов X1 и X2 или X3, т.е Y=МИН(X1+X2;X3).

По этому в ячейку G2 помещается формула, расчет по которой даст значение случайной величины Y:

=МИН(С2+D2;E2),

В ячейку Н2 помещается формула для расчета случайной величины Z:

= =G2/1+0.1*F2.

В результате этих действий будут заполнены ячейки второй строки А2, В2,..,H2. По заданию необходимо получить 100 значений данных случайных величин. Поэтому содержимое ячеек А2, В2,..,H2 копируется в следующие строки, вплоть до 101 строки (таблица 1.2)

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ

.1 ВЫЧЕСЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ

Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.

Для расчета указанных характеристик в Excel необходимо поставить курсор в ячейку, в которую будет записано значение характеристики, вызвать соответствующую функцию и в качестве ее аргумента указать блок ячеек со статистическими данными.

Для удобства следующих операций значения случайной величины Z (статистические данные) перепишем на другой лист в прямоугольный блок ячеек, например в ячейки Al: J10.

Значения вычисляемых характеристик будем располагать в ячейках с G12 по G19, как показано в таблице 4.3.

Вычисление выборочных характеристик осуществляется по формулам:

выборочное среднее: G12 = СРЗНАЧ (А1: J10),

выборочная дисперсия: G13 = ДИСП (Al: J10),

выборочное среднее квадратическое отклонение:= СТАНДОТКЛОН(Al: J10) ИЛИ G14 = КОРЕНЬ(G13),

наименьшее значение: G15 = МИН(А1: J10),

наибольшее значение: G16 = МАКС (Al: J10),

размах выборки: G17 = G16 - G15,

асимметрия: G18 = СКОС (Al: J10),

эксцесс: G19 = ЭКСЦЕСС(Al: J10).

Таблица 2.1 - Расчет выборочных характеристик

.2 ФОРМИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО РЯДА И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ

Для наглядного представления статистических данных используется группировка. Числовая ось разбивается на интервалы, и для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, которые в него попали. Группировка данных производится в следующей последовательности:

наименьшее значение округляется в меньшую сторону, а наибольшее - в большую сторону до "хороших" чисел х_min и х_max;

- выбирается количество групп k, удовлетворяющее неравенству 6 < k < 20; иногда оно определяется по формуле . Например, если объем выборки п=100, то к = 10;

находится шаг по формуле

,

где R = х_тах - х_min - длина промежутка, в котором содержатся статистические данные;

определяются границы частичных интервалов:

, , ,... ; (1)

в каждом интервале вычисляются средние значения ;

для каждого интервала , i = 1, 2,...,k находятся:

а) частоты п_i, т. е. число выборочных значений, попавших в интервал;

б) относительные частоты ;

в) накопленные частоты ;

г) накопленные относительные частоты .

Для выборочной совокупности (таблица 3.3) результаты группировки в Excel представлены в таблице 3.4.

Сначала следует указать объем выборки, максимальное и минимальное значения, размах выборки, количество групп и шаг:

А23 = 100, В23 = 100, С23 = 0, D23 = В23 - С23, Е23 = 10, F23 = D23 / Е23.

В ячейках А25: Н25 указываются заголовки таблицы. В этой таблице колонки В и С можно заполнить в соответствии с формулами (1) или заполнить две строки и скопировать их в последующие так, чтобы всего получилось k = 10 строк. Колонку D можно заполнить, используя формулу:

D26 = (В26 + С26) / 2

надежность система статистический моделирование

с последующим копированием в ячейки D27: D35.

Таблица 2.2 - Группировка статистических данных

Для заполнения колонки Е следует выделить ячейки Е26: Е35 и обратиться к функции ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов:

{= ЧАСТОТА (А1:J10; С26:С35)}.

Одновременное нажатие клавиш <Ctrl>+<Shift>+<Enter> приведет к заполнению выделенных ячеек.

Заполнение колонки F производится по формуле:= Е26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки F27: F35.

Далее заполняются две ячейки колонки G по формулам: = Е26, G27 = G26 + Е27

с последующим копированием G27 в ячейки G28: G35.

Колонка Н заполняется по формуле: Н26 = G26 / $А$23

с последующим копированием в ячейки Н27: Н35.

Середины

Рисунок 1 - Полигон частот

середины

Рисунок 2 - Кумулята частот

Данные, собранные в таблице 2.2, нуждаются в наглядном представлении. Формами такого наглядного представления являются:

полигоны частот - графическая зависимость частот (относительных частот) от середин интервалов (рисунок 1);

кумуляты частот - графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середин интервалов (рисунок 2).

.3 ПОДБОР ПОДХОДЯЩЕГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При достаточно большом объеме выборки статистические данные позволяют подобрать подходящее распределение вероятностей. С этой целью можно рассмотреть некоторые известные распределения, например равномерное, нормальное и гамма-распределение.

Предположим, что случайная величина X имеет функцию распределения F(x). Будем называть это предположение гипотезой о виде распределения случайной величины X. Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения или их некоторые оценки. Как правило, параметры распределений берутся такими, чтобы математическое ожидание случайной величины X было равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины X - выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные выборочные характеристики находятся в ячейках G12 и G14 соответственно.

Откроем новый лист Excel и поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 3.5). Определим параметры равномерного, нормального и гамма-распределений в соответствии с формулами:

, , ,

и запишем их в ячейки:= А2 - В2·КОРЕНЬ(3),= А2 + В2·КОРЕНЬ(3),= А2,= В2,= (А2/В2)^{^}2,= В2^{^}2/А2.

Далее построим таблицу, шапка которой располагается в ячейках А14: Е14.

В ячейках А15: А24 содержатся середины частичных интервалов, взятые из ячеек D26: D35 предыдущего листа. В ячейках В15: В24 вычислены плотности относительных частот как частное от деления относительных частот предыдущего листа (ячейки F26: F35) на шаг (ячейка $F$23).