Разработанная модель была применена на выбранных данных. Результат можно наблюдать на рисунке 14: на точечной диаграмме изображена зависимость значений углов от значений доходности индекса. а изображении видно, что модель работает «корректно» - около нулевых доходностей углы составляют примерно 90є.
Отметим, что на изображении «проглядываются» определенные паттерны: правый хвост более «пушистый», тогда как в левом просматривается некое асимптотическое приближение. Интерпретируя точечную диаграмму, можно сказать, что индекс рос более диверсифицировано, тогда как падал более синхронно.
Рис. 14. Зависимость значений углов от значений доходности индекса
Для того, чтобы убедиться в этом выводе, необходимо протестировать статистическую гипотезу, сформированную выше.
Таблица 2. Зависимость средних значений косинусов углов от значений индекса
|
Порог отсечения значения доходности индекса |
Без отсечения |
> 1% |
>1.5% |
> 2% |
|
|
Количество наблюдений |
365 |
99 |
35 |
17 |
|
|
Рост индекса |
0.48 |
0.72 |
0.75 |
0.72 |
|
|
Падение индекса |
0.48 |
0.76 |
0.87 |
0.89 |
Перед тем, как перейти к формированию и тестированию гипотезы представим к вниманию таблицу 2, в которой указаны «отсеченные» значения доходностей и соответствующие им значения углов. Несмотря на относительно небольшое количество данных, отчетливо видна зависимость среднего значения косинуса угла от значения доходности.
В качестве критерия для тестирования гипотезы примем случайную величину:
гдеn,m - размеры выборок значений роста и падения соответственно
- выборочная дисперсия
Найдем и - правую границу двусторонней критической области, используя функцию Лапласа Ф(z).
Уровень значимости: 0.01.
Значения средних:
Значения дисперсий:,.
Мы видим, что , а следовательно, нулевая гипотеза не может быть отвергнута.
Учитывая данные из таблицы 1,можно сказать, что на «боковике» средние, действительно, не отличаются, тогда как на сильных движениях рынка, различие, скорее всего будет значимым. Протестируем ту же гипотезу, но при условии, что среднее значение косинуса углов было рассчитано на «отсеченной» на 1.5% значении выборке.
Найдем и - правую границу двусторонней критической области, используя функцию Лапласа Ф(z).
Отсеченное значение доходности: 1.5%.
Уровень значимости: 0.01.
Значения средних:
Значения дисперсий:,.
Дисперсия значений косинусов углов в правом хвосте распределения ожидаемо больше дисперсии в левом хвосте.В то же время среднее значение в левом хвосте значимо больше, чем в правом.
, а следовательно, нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей: средние значения косинусов углов в правом и левом хвосте распределения различаются статистически значимо.
В этой главе была применена разработанная модель для выявления зависимостей в хвостах распределений. Протестировав статистическую гипотезу о равенстве средних, удалось получить интересный результат: тогда как средние значения косинусов углов не различались на полной выборке, средние, оцененные на «отсеченной» выборке, различались статистически значимо.
Исходя из полученных результатов можно заключить, что данный эффект присутствует на российском рынке: акции компаний склонны к более диверсифицированному росту и более синхронному падению. Стоит отметить, что синхронное падение скорее связано с психологией инвестора: как известно, во время падений рынка люди склонны к продаже активов в связи с общей паникой. Как пример можно привести широко известный эффект «Flight-to-Safety», когда инвесторы «уходят» из акций в менее волатильные активы, такие как, например, государственные облигации США. Однако, интересно, что в правой стороне распределения такого эффекта не наблюдается, хотя справедливо было бы думать, что и расти цены активов должны также синхронно. Стоит также отметить, что полученные результаты не конфликтуют с результатами, полученными в работах, приведенных в первой главе.
Заключение
Вопрос диверсификации инвестиционного портфеля всегда стоял остро. Желание инвестора преумножить свой капитал стоит наравне с желанием не понести убытки при падениях рынка. Последнее зависит от степени диверсифицированности портфеля: падение в одном секторе может быть компенсировано ростом в другом.
Одним из самых распространенных способов диверсифицирования инвестиционного портфеля является его оптимизация при помощи модели Марковица. Для формирования портфеля в рамках этой конструкции, инвестору требуется ковариационная матрица - оценка того, как активы коррелируют между собой. Оценка ковариации, как сложной функции от доходностей, не является простой и однозначной задачей. Более того, как было указано в первой главе настоящей диссертации, исследователи ежегодно выявляют эффект усиления корреляций при падениях рынка. Таким образом, инвестору крайне важно понимать, что корреляция не является надежным инструментом при конструировании инвестиционного портфеля и, если допускается падение рынка, то использовать модель Марковица, не делая дополнительных корректировок, крайне нежелательно. Также, инвестору, в своей инвестиционной деятельности, необходимо тем или иным образом учитывать явление усиления корреляций в левом хвосте распределения.
Начиная с конца 80-х годов прошлого столетия с определенной частотой появляются новые публикации, в которых авторы оптимизируют методы, используемые в предыдущих статьях, или создают новые техники, постоянно улучшая и усложняя модели для оценки и учета эффекта усиления корреляций при формировании инвестиционного портфеля. Наличие таких работ говорит об актуальности данного вопроса.
В попытке уйти от корреляции, и связанных с этой мерой сложностей, и, при этом сохранив связь с широко используемыми техниками оптимизации портфеля, а, в частности, моделью Марковица, в рамках данной диссертации был разработан новый метод количественного выявления эффекта усиления корреляций в хвостах распределения. В качестве меры синхронности диверсифицированности изменений цен на рынке был взят косинус угла между вектором изменения капитализаций бумаг на очередном временном промежутке и вектором, соответствующим долям бумаг в индексе. Данный метод является абсолютно оригинальным. Основным его преимуществом перед другими является то, что он не требует выбора гиперпараметров, таких как размер скользящего окна для оценки корреляций и др. Введённый показатель наблюдается «здесь и сейчас».Стоит отметить, что модель свободна от систематических ошибок, которые возникают при оценке ковариаций. Также одним из немаловажных фактов, является то, что область значений функции косинус совпадает с областью значений коэффициента корреляции Пирсона. При дальнейшей разработке созданной модели это может являться связью между новым методом и существующими моделями, где так или иначе фигурирует понятие корреляции.
Разработанная модель была применена на данных российского рынка акций. Для исследования были использованы значения доходностей акций компаний, входящих в состав индекса голубых фишек Московской биржи MOEXBC. Результаты, полученные в рамках исследования, согласуются с результатами большинства работ, приведенных в первой главе: рынки склонны расти более диверсифицированно и падать более синхронно.
К сожалению, расширить данную модель и разработать приложение, которое связывало бы ее с конструкцией Марковица пока не удалось. В виду большого объема работ, разработка такого приложения выходит за рамки настоящего исследования. Стоит заметить, такое приложение, было бы очень полезно инвестору и позволило бы лучше защитить портфель инвертора от потерь при падениях рынка.
Отмечая важность учета выявленного эффекта, хотелось бы обратить внимание инвестора на то, что оценка ковариационной матрицы на полной выборке может вводить в заблуждение. Корреляции должны оцениваться более тонко, учитывая их возможное усиление во время «турбулентности» на рынках. Более того, необходимо брать во внимание и тот факт, что корреляции не являются статичными. Например, отрицательные сегодня корреляции между акциями и казначейскими бумагами, завтра вполне могут стать положительными в связи с шоками процентных ставок или инфляции.
Также стоит отметить, что на рынке доступно достаточно большое количество инструментов и стратегий для хеджирования, способных помочь инвестору защитить свой инвестиционный портфель во время падений рынка гораздо лучше, чем традиционная диверсификация.
Литература
1. Ait-Sahalia, Cacho-DiazY., J., Laeven R. J., 2015, «Modeling financial contagion using mutually exciting jump processes», Journal of Financial Economics 117, 585-606.
2. Ang, A., Bekaert, G., 2000, «International asset allocation with time-varying correlations», Review of Financial studies 15, 1137-1187.
3. Ang, A., Chen, J., 2002, Asymmetric correlations of equity portfolios, Journal of Financial Economics 63,443-494.
4. AngA., Chen J.,Xing, Y., 2002,«Downside Correlation and Expected Stock Returns», Working Paper, Colombia University.
5. Asness C.S., IsraelovR., Liew J.M., 2011, «International Diversification Works (Eventually)», Financial Analysts Journal, Vol. 67, No. 3, 24-38.
6. Bae K.H., Karolyi G.A., Stulz, R.M., 2001, «A new approach to measuring financial contagion», Unpublishedworking paper, National Bureau of Economic Research, Cambridge, MA.
7. Ball R., Kothari S.P., 1989, «Nonstationary expected returns: implications for tests of market efficiency and serial correlation in returns», Journal of Financial Economics 25, 51-74.
8. Bekaert, G., Wu G., 2000, «Asymmetric volatility and risk in equity markets», Review of Financial Studies 13, 1-42.
9. Black F., Litterman R., 1991, «Asset allocation: combining investor views with market equilibrium», The Journal of Fixed Income, Vol. 1, No. 2, 7-1
10. Cho Y.H., Engle R.F., 2000, «Time-varying betas and asymmetric effects of news: empirical analysis of blue-chip stocks», working paper, National Bureau of Economic Research, Cambridge, MA.
11. Chua D.B., Kritzman M., Page S., 2009, «The Myth of Diversification», The Journal of Portfolio Management, Vol. 36, No. 1, 26-35.
12. Conrad J., Gultekin M., Kaul G., 1991, «Asymmetric predictability of conditional variances», Review of Financial Studies 4, 597-622.
13. DasS., Uppal R., 2004, «Systemic risk and international portfolio choice», Journal of Finance 59, 2809- 2834.
14. Durante F., Enrico F., Roberta P., Hao W., 2015, «A portfolio diversification strategy via tail dependence measures», Research Paper Series No 3.
15. Embrechts P.,Mcneil A., Straumann D., 2002, «Correlation and dependency in risk management: properties and pitfalls», Review of Economics and Statistics, vol. 86, No 1, 176-223.
16. Forbes K., Rigobon R., 2002, «No contagion, only interdependence: measuring stock market co-movements», Journal of Finance 57, 2223-2261.
17. Gibbons M.R., Ross S.A., Shanken J., 1989, «A test of the efficiency of a given portfolio», Econometrica 57, 1121-1152.
18. IlmanenA., Kizer J., 2012, «The Death of Diversification Has Been Greatly Exaggerated», Journal of portfolio management, Vol. 38, No. 3, 15-27.
19. Jorion P., 1988, «On jump processes in the foreign exchange and stock markets», Review of Financial Studies 1, 427-445.
20. Karolyi A., Stulz R.,1996, «Why do markets move together? An investigation of US-Japan stock return comovements», Journal of Finance 51,951-986.
21. Leibowitz M.L., Bova A., 2009, «Diversification Performance and Stress-Betas», The Journal of Portfolio Management, Vol. 35, No. 3, 41-47.
22. Longin F. и Solnik B., 2001, «Extreme Correlation of International Equity Markets», The Journal of Finance, Vol. 56, No. 2, 649-676.
23. Mainik G. and Rьschendorf L., 2010, «On optimal portfolio diversification with respect to extreme risks», Finance and Stochastics, Vol. 14, 593-623.
24. Markowitz H., 1952, «Portfolio Selection», The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1, 77-91.
25. NataleF.P., 2006, «Optimization with tail-dependence and tail risk: a copula-based approach for strategic asset allocation», SSRN Electronic Journal.
26. Page S.,Panariello R.A.,2018, «When Diversification Fails», Financial Analysts Journal, vol. 74, No 3, 19-32.
27. Solnik B., Watewai T., 2016, «International Correlation Asymmetries: Frequent-but-Small and Infrequent-but-Large Equity Returns», PIER Discussion Papers 31., PueyUngphakorn Institute for Economic Research.
28. Schwert W.G., 1989,«Why does stock market volatility change over time? », Journal of Finance 44,1115-1153.
Приложение 1
Методика расчета условных корреляций в статье «When Diversification Fails»
Авторы статьи использовали методику схожую с той, которая была применена F. Longin и B. Solnik в их работе «Extreme Correlation of International Equity Markets». Отличие заключается в том, что последние использовали так называемое «double conditioning», то есть отсекая значения доходностей по обоим осям, они, тем самым, накладывали два условия. S. Page, R.A. Panariello, в отличие от коллег, применили «single conditioning», то есть отсекали определённое значение доходности лишь по одному из активов.
, (1)
гдеx,y - активы или классы активов;
и - порог отсечения значения доходности;
с(и) - функция условной корреляции.
Это дало им возможность выявить эффект диверсификации портфеля разными классами активов. Так, например, если портфель состоит из акций и облигаций, то облигации при падении оставляют портфель не диверсифицированным, тогда как при падении акций, облигации растут в цене, и, соответственно, диверсифицируют портфель.
Приложение 2
Экспоненциально взвешенный подход для оценки корреляции
Данный подход, также использовался авторами статьи «When Diversification Fails» S. Page и R.A. Panariello. Идея заключается в том, чтобы, рассчитывая корреляции между активами, дать больший вес тем наблюдениям, которые уходят «дальше в хвост» распределения. Преимуществом, такой методики по мнению авторов является то, что оценки получаются менее «зашумленные» и, в целом, более устойчивые к выбросам. Ниже приводится техническое описание данного метода.
Определим i-е наблюдение j-й случайной величины как:
Таким образом, имеется N случайных величин (активов), каждая из которых принимает одно из M значений (наблюдении доходностей). Допустим, что наблюдения расположены в возрастающем порядке:
Для перцентиля p определим «экспоненциальную весовую функцию».
Где подбирается из условия:
Новая «взвешенная» ковариация рассчитывается следующим образом:
Где выборочное среднее
Тогда определим взвешенную меру корреляции для левого хвоста как:
.
Тоже может быть сделано и для правого хвоста. При этом значения должны быть расположены в обратном порядке.
На рисунке 15 приведен пример экспоненциальной весовой функции для 10го перцентиля.
Рис. 15. Экспоненциальная весовая функция. Пример с 10-м перцентилем
Значение, соответствующее 10-му перцентилю, получает половину веса минимального наблюдения. На изображении видно, что практически весь вес уходит на значения доходностей в хвосте.