Так, B. Solnik и T.Watewai, продолжая исследования в данной области, в 2016 году публикуют статью под названием «International Correlation Asymmetries: Frequent-but-Small and Infrequent-but-Large Equity Returns».В этой работе, учтя недостатки всех моделей, включая использованных в собственных статьях, авторы разрабатывают новую модель «с переключениями» для изучения асимметрии в корреляциях на международных рынках акций. Их модель, как указывают авторы, дает лучшее описание изучаемого объекта, нежели любые другие, указанные в предыдущем абзаце.
Рис. 4. Среднее значение условных корреляций между 45 парами стран
На рисунке 4 красными кружками обозначены эмпирические значения. Как видно, модель с двумя режимами и учетом «скачков» корреляций описывает реальные данные достаточно хорошо.
Рис. 5
диверсификация доходность волатильность
Авторы также сконструировали инвестиционный портфель используя разработанную модель и получили результаты, значительно превышающие портфель 1/N. За шесть лет портфель исследователей вырос на 85%, тогда как портфель, состоящий из равных долей акций, лишь на 18%. Разница возникает, в основном, из способности модели «определить» кризис раньше, распознавая «плохой режим» и «рекомендуя» переходить в безрисковые активы. На рисунке 5 хорошо видна эта разница: портфель, сформированный при помощи модели авторов значительно «обходит» другие портфели. Данное исследование наглядно показывает важность учета хвостовых ковариации при создании инвестиционных портфелей.
Остановимся более подробно на одной их последних статей на данную тему. В конце 2018 года появилась статья «When Diversification Fails», в которой исследователи S. Page и R. A. Panariello обнаружили рост корреляций в левых хвостах практически по всем классам активов.
Рис. 6. Профиль корреляций между американскими и неамериканскими акциями за период с января 1970 по июнь 2017.
Здесь, в отличие от, например, работы [18] (методика расчета условных корреляций которой приводилась выше), корреляции считались путем отсечения доходностей лишь по одной из осей. Это дало возможность исследователям выявить эффект диверсификации одного класса активов другим.
На рисунке 6 указан профиль корреляций между американскими и неамериканскими акциями за период с января 1970 по июнь 2017. По оси абсцисс расположены перцентили доходностей. Видно, что диверсификация работает лишь в правой стороне распределения, чего инвесторы хотели бы меньше всего.
Рис. 7. Корреляции левого и правого хвостов между ключевыми активами, июнь 2017 г.
Также приводим изображение корреляций между ключевыми активами в 2017 году, взятое из той же статьи. На рисунке 7 видно, что при падениях корреляции между основными классами активов стремятся, если можно так выразиться, к единице. При росте же, мы видим, что портфель ведет себя достаточно диверсифицировано. Так, например, корреляция между акциями и ипотечными облигациями составляет -0.4.
Авторы также отмечают, что одним из немногих классов активов, которые действительно диверсифицировали инвестиционный портфель во время рыночных спадов являются ценные бумаги казначейства США. На рисунке 8 показан профиль корреляций между американскими акциями и казначейскими бумагами.
Профиль, в отличие от профиля изображенного на рисунке 2, достаточно желателен: при падении рынка ковариации между активами уменьшаются и, при этом, усиливаются при росте.
Рис. 8. Профиль корреляций между американскими акциями и ценными бумагами казначейства США за период с января 1970 по июнь 2017.
1.2 Наблюдается ли данный эффект на российском рынке?
Не найдя подобных работ, выполненных с использованием российских данных, было решено провести собственное исследование, используя показатели акций, входящих в индекс голубых фишек московской биржи, за период с 29сентября 2018 года по 6 марта 2020 года.
Всего в выборку попало 365 значений доходности индекса. Методика подсчета условных корреляций была взята из статьи «When diversification fails», о которой упоминалось выше.
Рис. 9. Корреляционные тепловые карты при падениях и росте индекса MOEXBC на более чем 1% (дневные значения доходностей)
В базу для расчета корреляций были взяты только те дни, когда индекс падал либо рос более чем на 1%: это 43 значения падения рынка на и 56 значений роста.
На рисунке 9 достаточно хорошо просматривается разница между двумя изображениями: при падениях индекса корреляции между бумагами значительно увеличивались. Стоит заметить, что один процент скорее не является критическим отклонением. Однако, в силу небольшого количества дневных наблюдений при падениях и росте рынка свыше заданного порога, невозможно отсекать большие значения. Ниже, на рисунке 10, были взяты недельные значения доходностей акций. Отчетливо видно различие между изображениями: при падениях индекса на более чем 2% корреляция бумаг значительно усиливается.
Рис. 10. Корреляционные тепловые карты при падениях и росте индекса MOEXBCна более чем 2% (недельные значения доходностей)
Однако, производя расчеты, используя методику авторов статьи, возник вопрос о корректности таких вычислений. Дело в том, что, отсекая определенное значение доходности, как указано на рисунке 11, и рассчитывая корреляцию в отсеченной области, мы используем «плохое» среднее. Инвестору хотелось бы знать как коррелированы активы еще до отсечения.
Рис. 11. Метод расчета условных корреляций, используемых авторами статьи «When Diversification Fails».
В связи с этим было бы интересно создать новую модель расчета корреляций, которая бы не учитывала средние значения как таковые. Такая модель позволила бы выявить эффект усиления корреляций в хвостах распределения иным, более корректным способом. Во второй главе как раз и будет произведена попытка создать такую модель.
2. Новый метод для выявления эффекта усиления корреляций в хвостах распределения
Для того, чтобы уйти от значений средних при расчете хвостовых зависимостей, необходимо изобрести совершенно новый подход, который бы отличался от известных и повсеместно используемых статистических методов. Однако, при создании такого подхода, хотелось бы не сильно отдаляться от широко используемых техник, в частности от модели оптимизации инвестиционного портфеля, разработанной Г. Марковицем. Последнее связано с желанием создать метод, который бы вписывался в существующие фреймворки решения задачи оптимизации портфеля и мог бы применяться инвесторами на практике.
Для выполнения данного условия, при разработке метода было принято решение использовать в качестве меры синхронности/диверсифицированности изменений цен на рынке угол (и его косинус) между вектором изменения капитализаций бумаг на очередном временном промежутке, например, за торговый день, и вектором, соответствующим долям бумаг в индексе. Дополнительным удобством, облегчающим интерпретацию, является тот факт, что область значений функции косинус совпадает с областью значений коэффициента корреляции Пирсона.
Для аккуратной математической реализации этой конструкции требуется ввести новую систему координат, в которой вектор с координатами, равным долям бумаг в индексе, был бы ортогонален аффинной гиперплоскости, соответствующей текущему (и также любому другому фиксированному) уровню значений индекса. Это сделано введением нового скалярного произведения, отличающегося от стандартного евклидова коэффициентами (весами) при попарных произведениях координат.
В следующем параграфе приведена иллюстрация этой конструкции для случая двух бумаг, когда она может быть представлена на рисунке.
Также стоит отметить, что сложность работы с корреляциями заключается в том, что оценивается очень большое количество параметров. Например, даже при использовании в исследовании индекса голубых фишек Московской биржи MOEXBC, в который входит 15 компаний, для оценки корреляционной матрицы потребуется значений. А, например, для индекса Мос Биржи IMOEX уже . Настоящий же метод позволяет оценивать лишь несколько параметров.
Предположим, для удобства наглядного представления, что некий индекс рассчитывается как сумма капитализаций двух компаний. Расположим данные в декартовой системе координат. Значение индекса меняется, вместе с этим меняется и положение точки, которой соответствуют определенные значения координат. Проведя луч из начала координат, проходящий через данную точку, мы зададим некую «нормаль», относительно которой мы можем измерять углы векторов, отложенных от одного значения индекса к другому. При синхронном росте или падении косинусы углов будут лежать ближе к 0є и 180є, тогда как при диверсифицированном росте или падении - ближе к 90є.
Рис. 12. Графическое изображение метода.
Тем самым, мы сможем выдвинуть и проверить статистическую гипотезу о том, что среднее значение косинусов в правой стороне распределения меньше среднего значения косинусов в левом углу распределения и, таким образом, выявить вышеупомянутый эффект, не прибегая к значениям корреляций и средних.
Обратимся к рисунку 12. Допустим, что индекс находится в точке «1». Здесь рыночная капитализация компании «А» составляет 400 у.е., а капитализация компании «Б» 200 у.е. Так, например, откладывая вектор от точки «1» к точке «2», мы видим, что угол между вектором капитализаций и «нормалью» равен 0є. Такое будет происходить в двух случаях - либо при абсолютно пропорциональном росте, либо при абсолютно пропорциональном падении. Здесь, в частности, обе компании выросли на 40%. В остальных случаях углы будут находится в пределах от 0є до 180є градусов. К примеру, в точке «3» капитализация компании «А» упала на 48%, капитализация компании Б выросла на 91%, но значение индекса не изменилось. Это будет соответствовать углу в 90є (в новой, специальным образом введённой системе координат, см. далее), то есть движению вдоль линии постоянства индекса. Точкой «4» обозначено произвольное изменение значения индекса.
Рис. 13. Графическое изображение метода
Однако, на рисунках 12 и 13 видно, что угол б на самом деле больше 90є. Здесь приходится работать с аффинной, или косоугольной, системой координат. Чтобы «исправить кривизну» и привести систему координат к прямоугольной, каждый раз при расчете угла длина вектора и «нормали» будут умножаться на определенный «вес», в данном случае на обратную величину капитализации компании.
Здесь будет формально записана модель, описанная в предыдущем параграфе. Вместо линии постоянства значения индекса, как в примере с двумерным пространством, в общем случае это будет (n?1)-мерная гиперплоскость, относительно которой будет измеряться угол.
Для каждой компании рассчитывается значение, входящее в индекс по следующей формуле:
где- капитализация i-ой Акции, у.е.;
- цена акции, у.е.;
- количество выпущенных акций, которые входят в расчет индекса, шт.;
- коэффициент Free-float, или доля акций компании, находящихся в свободном обращении;
-Restricting coefficient, или весовой коэффициент, ограничивающий долю капитализации i-ой Акции.
Далее находится суммарная стоимость (капитализация) всех Акций на k-ый момент времени. Таким образом будет рассчитываться значение индекса для данного исследования.
где - общее количество Акций;
Определяются координаты вектора «приращения»g. Каждая координата рассчитывается, как разница значений капитализации i-ой компании.
Рассчитываем длину вектора «приращения»g.Здесь, для привода системы координат к прямоугольной, каждая координата умножается на обратную величину капитализации компании.
Далее находится длина «нормали» s.
Выражаем косинус угла между векторами ииз формулы скалярного произведения векторов. При этом, новое скалярное произведение будет взято с «весом».
Эмпирическое исследование с применением разработанной модели
Чтобы понять, действительно ли рынок растет более диверсифицированно, а падает более синхронно, используем гипотезу о равенстве генеральных средних двух распределений. Необходимо понять, значимо или незначимо различаются выборочные средние.
Выдвинем основную и конкурирующую гипотезы:
- -среднее значение косинусов углов при росте равно среднему значению косинусов углов при падении.
· -- среднее значение косинусов углов при росте не равно среднему значению косинусов углов при падении.
Для проведения эмпирического исследования были взяты данные индекса голубых фишек московской биржи MOEXBC с 21 сентября 2018 года по 6 марта 2020 года. Данный временной промежуток был выбран в связи с тем, что состав индекса за этот период был изменен лишь однажды: 20 сентября 2019 года, при очередном пересмотре состава индекса, ВТБ был исключен из состава индекса в пользу НЛМК. Всего в выборку попало 365 значений доходностей индекса. Ниже, в таблице 1 приведен состав индекса на 20 декабря 2019 года.
Таблица 1. Состав индекса MOEXBC на 20 декабря 2019 года
Индекс голубых фишек Московской биржи MOEXBCбыл выбран для исследования по нескольким причинам. Одной из главных причин является определенное постоянство состава индекса. Как упоминалось выше, за полтора года состав индекса был изменен всего один раз, при том, что он пересматривается раз в квартал. Кроме этого, в индекс входит относительно небольшое количество компаний - 15, тогда как, например, в индекс Мос Биржи IMOEXна данный момент входят акции 34 эмитентов. Для данного исследования, большее количество бумаг в индексе принесло бы определённые неудобства с точки зрения расчетов, не влияя при этом на итоговый результат. Можно сказать, что использование данного индекса в исследовании позволило уменьшить количество допущений.