Материал: tsukanova_oa_modeli_i_metody_upravleniia_informatsionnymi_re

96

различных начальных условиях). Очевидна сходимость траекторий к равновесной точке, в данном случае к точке . Асимптотически устойчивый узел является одним из видов аттракторов (траектории притягиваются к равновесной точке)

[106].

Рисунок 13. Асимптотически устойчивый узел

действительные числа разных знаков. Следовательно, по теореме Ляпунова об устойчивости в первом приближении ненулевая равновесная точка не является устойчивой. Ненулевая равновесная точка является седлом. На рис. 14

представлена фазовая диаграмма, изображающая седловую точку (седло) [106].

Рисунок 14. Неустойчивое седло

Таким образом, не существует положительных значений параметров, при которых система (1) имеет устойчивую ненулевую равновесную точку.

97

Следовательно, модель (1) является неадекватной. Причиной этому является отсутствие ограничений на динамические переменные.

Учтем фактор насыщения получателей заметок. Динамическая система (1)

при этом принимает следующий вид:

при котором «рацион» получателей составляет половину максимального. Под максимальным рационом получателей заметок понимается максимальное число полученных заметок до «насыщения» получателей; максимальный рацион отправителей заметок – максимальное число ответов, полученных от получателей.

получателей коротких сообщений, соответственно, координаты ненулевой точки ограничены следующей системой неравенств:

отрицательные числа. В первом приближении нулевая равновесная точка является

98

положение равновесия является асимптотически устойчивым дикритическим узлом. Характер нулевой точки системы (2) аналогичен системе (1): в обоих случаях число отправителей и получателей асимптотически стремится к нулю

(«вымирание» сети).

Наиболее важный вопрос: существует ли асимптотически устойчивая ненулевая равновесная точка системы (2)? Собственные значения якобиана в ненулевой равновесной точке:

Учитывая (3), данные собственные значения – действительные числа разных

знаков. Следовательно, ненулевая равновесная точка – седло (рис. 2).

Таким образом, учет насыщения отправителей и получателей не меняет характера устойчивости системы. В обеих моделях число отправителей и получателей либо асимптотически стремится к нулю при любых начальных

Для упрощения анализа системы (4) введем следующие обозначения:

С учетом этих обозначений систему (3) можно представить в следующем

виде:

99

неустойчивым седлом (рис. 2). Таким образом, учет взаимодействий между отправителями и взаимодействий между получателями, по крайней мере,

исключает возможность уничтожения сети.

Осталось выяснить факт существования и устойчивость ненулевой равновесной точки системы (4). Ненулевая равновесная точка является решением однородного алгебраического уравнения

Имеем две ненулевые равновесные точки – точка координатами

и точка с координатами

100

ненулевые равновесные количества отправителей и получателей твитов при смене знака с отрицательного на положительный).

Вид системы (6) определяет необходимое условие существования ненулевых равновесных точек с положительными координатами:

В качестве примера приведем результаты вычислительного эксперимента по

Вэтом случае система имеет две ненулевые равновесные точки с

Необходимым и достаточным условием устойчивости равновесных точек является выполнение системы неравенств:

.

Это следует из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Для системы (5):