Первые результаты теории узлов являются заслугой физика, Уильяма Томсона (лорда Кельвина). Точкой отсчета (1860) была его идея сделать узел моделью атома, моделью, которую окрестили "атомом-вихрем". Для построения теории материи с этой точки зрения необходимо было начинать с изучения узлов. Теория Кельвина не развилась и скоро была забыта, оставив, в наследство ряд проблем ("гипотезы Тейта"), которые физики тогда не смогли разрешить, но с которыми математики сумели разобраться спустя столетие.
Фундаментальную связь между узлами и косами, открыл американец Дж. Александер спустя полвека после неудачного старта Кельвина. Алгебраическая теория кос, разработанная в свое время совсем еще юным немецким математиком Эмилем Артином (Emil Artin), более алгебраична (и, следовательно, более проста и эффективна), чем геометрическая теория узлов. Эта связь (геометрическая суть которой по-детски проста: "замыкание косы") позволила получить - это результат Александера - все узлы, отталкиваясь от кос. И поскольку классификация кос была быстро получена Артином, была сделана, конечно же, попытка вывести из нее классификацию узлов. Усилия в этом направлении не привели к цели, но породили ряд красивых результатов.
Существует хитроумная и одновременно очень простая геометрическая конструкция, принадлежащую немецкому математику Курту Рейдемейстеру. Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их проекций (называемых "диаграммами узлов") на плоскости.
Сществует алгоритм, изобретенный соотечественником Рейдемейстера Вольфгангом Хакеном, который позволяет определить, можно или нельзя развязать данный узел, но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его еще больше запутать ( так, в переносном смысле, бывает и в реальной жизни).
В 1949 г. немцем Хорстом Шубертом была сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности разложения узла на простые множители. Подозрительное сходство между множеством узлов, наделенным операцией композиции (которая состоит просто-напросто в завязывании узлов последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с операцией умножения породила различные надежды. Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим кодированием чисел, не сведется ли классификация узлов к банальному пересчитыванию? Эти надежды были разбиты.
Существует одно изобретение, на первый взгляд тривиальное, англо- американца Джона Конвея, одного из наиболее оригинальных математиков 20 века. Речь идет о новых небольших геометрических операциях над диаграммами узлов. В отличие от операций Рейдемейстера, они позволяют изменять не только вид диаграммы узла, но также и тип узла, а иногда преобразовывают его в зацепление. С их помощью можно определять и вычислять вполне элементарным образом полином Александера-Конвея узла (или зацепления). Эти операции дают очень удобный и достаточно эффективный метод доказательства того, что два узла имеют разный тип и, в частности, что некоторые узлы не могут быть развязаны.
Таким образом, теория узлов, блестящий дебют которой состоялся почти сто пятьдесят лет тому назад, развивалась затем благодаря настойчивым усилиям математиков, которыми управляло чисто интеллектуальное любопытство. Чтобы продвигаться, нужны были новые конкретные идеи.
И они возникали в воображении лучших исследователей, порождая каждый раз надежды, часто, увы, чрезмерные. Но каждая неудача позволяла лучше сконцентрироваться на нерешенных проблемах, заманчиво высвечивая все еще не достигнутую цель.
Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы по- прежнему
открыты: узлы продолжают ускользать от попыток их ясно классифицировать, и
по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко вычислимой полной системой
инвариантов. И наконец, та фундаментальная роль, которую, как полагают, они
играют в физике, еще до конца не определилась.
1. Мантуров В.О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 304 с.
2. Сосинский А.Б. Косы и узлы //Квант.- 1989.-№ 2.-С. 7-14.
3. Сосинский А.Б. Узлы, зацепления и их полиномы // Квант.- 1989. &38470; 4.- С. 11 - 18.
4. Прасолов В.В. Наглядная топология
М.:МЦНМО, 1995 11-34