Материал: Теория узлов

Пример.

Инвариант раскрасок от тривиального узла равен трем (все раскраски одноцветные), от трилистника (как правого, так и левого) - девяти (помимо одноцветных раскрасок существуют раскраски трех дуг в три разных цвета - всего 3! = 6). Следовательно, ни один из трилистников не является тривиальным узлом.

Однако мы видим, что этот инвариант не отличает правый трилистник от левого, а также то, что он не отличает восьмерку от тривиального узла (на восьмерке его значение также равно трем - любая правильная раскраска является одноцветной). Это побуждает нас искать более сильный инвариант.

.5 Полином Конвея

Наряду с обычными зацеплениями можно рассматривать ориентированные зацепления, то есть зацепления, на каждой компоненте которых задана ориентация - направление обхода. Для них точно так же определяются плоские диаграммы (с добавлением стрелочек, указывающих ориентацию компонент), а также движения Рейдемейстера (с согласованными ориентациями до и после движения).

Перейдем теперь к построению инвариантов ориентированных зацеплений. Рассмотрим  три диаграммы  ориентированных зацеплений, которые совпадают в некоторой малой окружности, а внутри нее отличаются так, как показано на рис. 4 сверху. Обозначим такие тройки диаграмм через L+ , L- , L0 .

Рис. 4 Вычисление полинома Конвея

Можно показать, что существует единственный инвариант узла C со значениями в полиномах от одной переменной x, равный единице на тривиальном узле, нулю на тривиальном зацеплении из двух или более компоненты для каждой тройки диаграмм соотношению L+ , L- , L0 удовлетворяющий C( L+ )−C( L- ) =C( L0 ), называемому соотношением типа Конвея. Такой инвариант называется полиномом Конвея.

Полином Конвея удобен для вычисления. Пусть дана диаграмма L зацепления с n перекрестками. Тогда, изменяя типы некоторых перекрестков (с прохода на переход и наоборот), можно превратить эту диаграмму в тривиальную. Это делается так. Рассмотрим проекцию одной из компонент зацепления и будем прокладывать веревку вдоль нее начиная с некоторой точки. В каждой вершине будем располагать второй виток веревки выше первого (то есть будем класть веревку каждый раз поверх себя). В итоге получим узел, который, очевидно, будет тривиальным. Далее расположим различные компоненты зацепления одна под другой. Получим диаграмму тривиального зацепления. Теперь у нас есть точный алгоритм вычисления полинома Конвея: мы выбираем диаграмму L' тривиального зацепления, получаемую из диаграммы L заменой некоторых типов перекрестков. Далее мы поочередно изменяем тип перекрестка в каждом из них и записываем соответствующее соотношение типа Конвея (в котором начальная и измененная диаграммы играют роль L₊, L_-, а роль диаграммы L0 играет диаграмма с n−1перекрестком). В итоге мы получаем, что значение полинома Конвея C(L) равно значению полинома C(L'), то есть нулю или единице в зависимости от числа компонент, плюс сумма значений (со знаками плюс или минус) полинома Конвея на диаграммах с n−1 перекрестком.Таким образом, мы свели вычисление значения полинома Конвея на диаграмме с n перекрестками к вычислению на диаграммах с n−1 перекрестком. Продолжая в этом направлении, мы сведем это вычисление к диаграммам с 0 перекрестков, которые являются тривиальными узлами или зацеплениями.

Проиллюстрируем приведенный алгоритм на зацеплении Хопфа, а затем на правом трилистнике (см.рис. 4 внизу).

К сожалению, на левом трилистнике значение полинома Конвея такжеравно 1+ õ2 , то трилистник. Между тем существует много других инвариантов I (гораздо более мощных, чем полином Конвея), равных единице на тривиальном узле и основанных на соотношениях (также называемых соотношениями типа Конвея) вида aI( L₊) +bI( L_-) =cI( L0 ), где a,b, c - некоторые функции от одной или двух переменных. В случае полинома Конвея a = 1, b = −1, c = x. В частности, такие инварианты позволяют отличить левый трилистник от правого. Приведем список наиболее известных из этих инвариантов:

•        полином Джонса от одной переменной

•        полином HOMFLY от двух переменных a = x, b = −t, c = 1. Наиболее сильный из этих инвариантов - полином Джонса от двух переменных λ, q, в котором

.6 D-диаграммы

Помимо способа задания узлов плоскими диаграммами с проходами и переходами есть еще один более наглядный и более удобный способ (например, для компьютерного задания).

В теории узлов важную роль играют хордовые диаграммы. Назовем хордовой диаграммой ориентированную окружность, на которой проведены несколько хорд, все концы которых различны. Хордовые диаграммы рассматриваются как комбинаторный объект, то есть на окружности важно лишь взаимное расположение точек, соединяемых хордами.

Назовем d-диаграммой хордовую диаграмму, хорды которой могут быть разбиты на два семейства таким образом, чтобы хорды из одного семейства не пересекались.

По d-диаграмме можно построить зацепление следующим образом. Вложим окружность данной диаграммы в плоскость так, чтобы ориентация окружности была против часовой стрелки. Выберем произвольное разбиение хорд на два семейства непересекающихся и расположим хорды первого семейства внутри окружности, а хорды второго семейства вне окружности (как криволинейные отрезки) так, чтобы никакие две хордыне пересекались/

Затем заменим каждую хорду вместе с парой дуг у ее концов на две кривые, расположенные одна под другой. Получим плоскую диаграмму некоторого зацепления.

Можно показать, что полученный изотопический класс зацепления не зависит от выбора разбиения хорд на два семейства непересекающихся, а также то, что все изотопические классы зацеплений задаются некоторыми d- диаграммами. Пусть теперь дана d-диаграмма D, хорды которой уже разбиты на два семейства непересекающихся хорд, и выбрана некоторая точка A на ее окружности, отличная от конца хорды. Начнем движение вдоль по ориентации окружности от точки A и будем записывать слово в алфавите из четырех скобок (, ), [, ] по следующему правилу: встречая конец хорды из первого семейства, будем писать круглую скобку, а встречая конец хорды из второго семейства - квадратную. Причем открывающиеся скобки соответствуют первому прохождению данной хорды (началу), а закрывающиеся - второму (концу). Получим слово, являющееся правильной двухскобочной структурой, то есть слово, в котором круглые скобки образуют между собой правильную структуру и квадратные скобки образуют также правильную структуру.

Легко видеть, что по каждой правильной двухскобочной структуре можно восстановить d-диаграмму. Действительно, в каждой правильной двухскобочной структуре понятно, какая скобка какой закрывается. Это значит, что можно распознать, какие пары скобок составляют хорды.

Таким образом, все изотопические классы зацеплений кодируются правильными двухскобочными структурами - словами в конечном алфавите.

Пример. Правый трилистник задается словом ( ( ( ( [) ) ) ) ], а левый - словом ( ( [ [ ) ) ] ]. Более того, для таких слов есть полный список соотношений, переводящий слово-зацепление в любое другое изотопное ему.

Приведем еще одну наглядную интерпретацию кодирования узлов с помощью d-диаграмм. Каждое зацепление может быть задано с помощью прямоугольной ломаной петли внутри первого квадранта плоскости Oxy. Петля выходит из точки (0, 0) и входит в (0, 0), все ее звенья являются единичными отрезками, горизонтальными или вертикальными. При этом каждая такая петля задает некоторое зацепление.

Действительно, каждую такую правильную двухскобочную структуру можно трактовать как ломаную такого вида, при этом скобка ( означает один шаг вправо, скобка ) - влево, скобка [ - вверх, a скобка ] - вниз. При этом правильность двухскобочной структуры означает то, что данная ломаная петля не выйдет за пределы первого квадранта плоскости и вернется в точку (0, 0). Пример. Правый трилистник, задаваемый словом ( ( ( ( [ ) ) ) ) ], может быть задан как прямоугольник 4´1 , левый ( ( [ [ ) ) ] ] - как квадрат 2´ 2. С незапамятных времён узлы использовались как в практических, так и в декоративных целях. Моряки для своих нужд использовали сложные узлы, иногда носящие не менее сложные названия. Математики впервые заинтересовались узлами лишь в XIX веке. Так, лорд Кельвин попытался составить периодическую таблицу элементов, исходя из предположения, что атомы в действительности являются завязанными в узлы вихрями "эфира". (Хотя эта попытка оказалась безуспешной, она тем не менее вдохновила Питера Дж. Тэйта на создание первых таблиц узлов, в которых узлы располагались в определённом порядке в зависимости от их сложности.)

С этого времени теория узлов обрела статус самостоятельного раздела математики. Одно из привлекательных достоинств этой науки заключается в доступности её основных предметов исследования: достаточно взять любую бечёвку и соединить её концы. Получится вполне подходящая модель того, что в математике называется "гладкой замкнутой кривой без самопересечения". Более общий случай узла, называемый зацеплением, может состоять из нескольких петель. Два узла или зацепления считаются тождественными, если их можно сделать в точности подобными друг другу, деформируя бечёвку, но не разрезая её.

Рассмотрим простую петлю из бечёвки, лежащую на плоской поверхности. Сразу очевидны две важные особенности теории узлов. Во- первых, узлы можно описать двумерными (планарными) диаграммами. Во- вторых, различить два узла очень трудно. В то же время совсем не очевидно, что какие-либо два узла различны, и даже не всегда ясно, завязана ли вообще данная петля из бечёвки в узел. Чтобы доказать любое такое утверждение, необходимо рассмотреть все возможные деформации узла в трёхмерном пространстве. Отыскание математических методов, позволяющих различать неодинаковые узлы, а также отличать узлы от простых (незаузленных) петель, стало одной из важнейших проблем теории узлов.

В 20-х годах К. Рейдемейстер существенно упростил изучение узлов, введя небольшой набор двумерных "ходов" (элементарных операций), применимых к диаграммам узлов. Эти операции не меняют узел, и любые две диаграммы одного узла можно перевести одна в другую, применив последовательность "ходов" Рейдемейстера. Хотя эти ходы делают эквивалентность узлов двумерной задачей, их можно применять бесконечным количеством способов, так что основную задачу ни в коей мере нельзя считать решённой.

Самые старые и наиболее результативные методы теории узлов не оперируют двумерными диаграммами и ходами Рейдемейстера, по крайней мере теоретически; вместо них используются топологические преобразования. В соответствии с этими методами анализ начинается с того, что узел удаляют из обычного трёхмерного пространства, чтобы получить то, что называют дополнением (или внешностью) узла. Затем это дополнение подвергают произвольной непрерывной деформации. Топологические свойства дополнения в результате дают то, что называют инвариантами узла, а именно математические выражения, зависящие только от самого узла, а не от какого-либо его изображения.

Самый известный инвариант - это многочлен Александера, открытый американским математиком Джеймсом Александером в 1928 году. Этот многочлен обозначается ΔK(t) и строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме данного узла. Например, простому узлу типа "трилистник" соответствует многочлен Александера ΔK(t) = t - 1 - 1 /t. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же многочлен Александера; узлы с разными многочленами различны. В то же время два узла с одним и тем же многочленом Александера необязательно эквивалентны. Для многочлена Александера неотличимы, например, прямой узел и "бабий" узел. За последние 60 лет специалисты по теории узлов разработали много других инвариантов, но многие задачи теории узлов до сих пор остаются нерешёнными.

Немецкий математик, Эмиль Артин, в 1936 году создал теорию кос. Можно указать (бесконечный) список кос (без повторений) и алгоритм, относящий любой косе ее номер в этом списке.

Как классифицировать узлы? Как указать (бесконечный) список узлов (без повторений) и алгоритм, относящий любому узлу его номер в этом списке.

Проблема систематизации всевозможных положений кривой в пространстве представляется чрезвычайно трудной. Аналитический подход (при котором узлы задаются уравнениями) ничего не дает; комбинаторный подход (при котором мы задаем узел как замкнутую ломаную линию, перечисляя последовательно координаты вершин) также безрезультатен. В этих двух случаях данные, задающие узел, не позволяют ни видеть его, ни манипулировать им. На практике, чтобы увидеть узел, его рисуют, т. е. проектируют на удобно выбранную плоскость, получая так называемую диаграмму узла. Когда манипулируют бечевкой, задающей положение узла в пространстве, его диаграмма претерпевает непрерывные изменения. Они позволяют отслеживать на плоскости эволюцию положений узла в пространстве. А можно ли обратить этот процесс? Можно ли осуществлять непрерывные модификации проекции таким образом, чтобы в результате получить все возможные положения бечевки в пространстве? Вот вопрос, который ставит Рейдемейстер. И он на него отвечает. "Для этого достаточно осуществлять над диаграммой конечное число операций, причем каждая из этих операций либо должна быть тривиальным плоским преобразованием (т. е. деформацией проекции, не меняющей перекрестки и их взаимное расположение), либо должна иметь вид одного из трех преобразований, изображенных на рис.

Теорема об узлах. Узлы образуют ассоциативную и коммутативную систему относительно умножения. В этой системе есть единичный элемент, но нет обратных элементов.

2. Применение узлов

.1 Применение

Узлы находят применение как в чистой математике, так и в реальных физических объектах. Часто, узлы способны предложить свежий взгляд на объект, прежде не понимаемый так хорошо. В других случаях, узлы подсказывают новые структуры. По мере понимания узла, он может быть использован для объяснения свойств трёх многообразий, исследуемых в топологии, которые иными способами визуализировать невозможно.

Узлы также интересны и сами по себе. Теория узлов также является популярным разделом современной математики из-за своей доступности для общей аудитории.

В биологии узлы проявляются в нитеподобной структуре ДНК. Это делает возможным для молекулы ДНК завязываться в узел. Молекулы ДНК очень велики; это позволяет им обладать свойствами сжатия и растяжения, необходимыми для формирования узлов. Используя теорию узлов, биологи способны предсказать на что будут похожи более комплексные структуры.

Исследователи опробовали такие предсказания и подтвердили их верность.

Химики также заинтересованы  в сплетённых узлами молекулах. Свойства сплетённых и расплетённых молекул могут сильно различаться, даже если они  состоят из тех же атомов. При переплетении атомов становится возможно создать узел и его зеркальное отражение. Основное препятствие заключается в том, что создание переплетённых молекул весьма трудоёмко. Проблема лежит в способности закрутить связи между атомами для формирования узла. Это требует использование крупных молекул.

Другим крупным полем исследования, на первый взгляд несвязанным с узлами, является статистическая механика. Это направление в физике, моделирующее поведение большого количества частиц. Зачастую, система моделируется в форме решётки. Луис Кауфман и другие теоретики узлов нашли связь между некоторыми моделями статистической механики и узлами. К этому моменту, статистическая механика произвела некоторые открытия в области теории узлов, тогда как теория узлов пока ещё ничего нового не сделала для статистической механики. Совершенно ясно, что эти две области останутся тесно связанными.

.2 Физики завязали свет узлом

узел инвариант полином зацепление

Американским физикам удалось доказать, что свет может двигаться по запутанным и замкнутым траекториям (узлам). Работа ученых опубликована в журнале Nature Physics. О том, что свет в принципе может двигаться по подобным траекториям, было известно еще 20 лет назад. Тогда физики из Мадридского университета показали, что если трехмерное пространство особым образом разбить на окружности (так называемое слоение Хопфа), то эти окружности могут быть решениями уравнения Максвелла. Это уравнение описывает траектории движения света с точки зрения электромагнетизма. Результаты испанских ученых, однако, воспринимались просто как математическая абстракция: можно ли добиться чего-то подобного на практике (в лаборатории) было неизвестно. Американские физики исследовали поведение замкнутых траекторий во времени. Им удалось показать, что большинство траекторий со временем деформируется и увеличивается в размере. Но ученым удалось обнаружить и устойчивые пути, практически не изменяющиеся с течением времени. Сами исследователи заявляют, что о возможном практическом применении данного открытия говорить еще рано, но некоторые общие направления выделить можно. Так, например, одной из проблем в будущих термоядерных реакторах является управление движением плазмы, которое предполагается осуществлять при помощи систем магнитных полей. Конфигурацию этих полей нужно менять со временем. Благодаря новым результатам представляется возможным завязать потоки плазмы в узлы, которые со временем не меняются.