Именно поэтому в каждом конкретном случае вид представления закона распределений вероятностей целесообразно выбирать, исходя из особенностей решаемой задачи.
Устойчивость (возможность сохранения формы представления с изменением параметров) нормального закона распределения в практических задачах проявляется достаточно часто. Так, если провести композицию двух величин , одна из которых имеет нормальную плотность распределения с параметрами , а другая - равномерную плотность распределения на интервале [а,b], то в соответствии с формулой (16) плотность распределения суммы этих величин будет иметь вид:
(24)
Подинтегральная функция в последнем выражении есть не что иное, как нормальный закон с центром рассеивания и среднеквадратическим отклонением , а интеграл в этом выражении есть вероятность попадания величины , подчинённой этому закону, на участок от a до b, т.е.
(25)
Графики исходных и результирующего законов распределений для параметров a = -2; b = 2; представлены на рис. 12:
W(и1), W(и2), W(и)
и1, и2, и
Рис. 12. Вид плотности распределения композиции величин и1 и и2
При композиции достаточно большого числа исходных величин с произвольными законами распределения суммарный закон оказывается близок по форме к нормальному. Так, при равномерно распределённых исходных величинах уже для трёх слагаемых закон распределения результирующей величины по форме напоминает нормальный (рис. 13):
W(и1), W(и2), W(и3) W(и = и1+ и2+ и3)
Рис. 13. Вид плотности распределений композиций трёх равномерно распределённых величин
5. Анализ рисков недостижения реальных целей
Проблема риска является одной из ключевых при принятии решений и управлении. При организации любой деятельности риска избежать невозможно по двум основным причинам. Во-первых, социально-экономические условия скрывают в себе много неожиданных и трудно прогнозируемых факторов, которые обостряются в условиях рынка. Рынок динамичен и изменчив по своей природе. Он сталкивает интересы предпринимателей, втягивает их в конкурентную борьбу, заставляет повышать качество продукции, идти на внедрение новых прогрессивных решений, предлагать новые виды услуг, тем самым вносит новые факторы неопределённости. Эта неопределённость с точки зрения оценки риска является ситуационной.
Во-вторых, даже при стабильных социально-экономических условиях и установившемся спросе на рынке, получить точные количественные представления намеченных реальных целей, условий их достижения, точно рассчитать ожидаемые результаты будущей деятельности принципиально невозможно. Используемые на практике исходные данные, модели, методы, методики, алгоритмы и программы расчётов в общем случае всегда приближенны и естественно приводят к получению приближённых результатов. Неопределённость, порождающая такой риск, является количественной неопределённостью. Таким образом, риск существует объективно и порождается ситуационной и количественной неопределённостью (рис. 14).
Поэтому, планируя любую деятельность, нужно непременно количественно оценивать и анализировать величину сопутствующего риска, понимая его объективную природу, стремиться не к исключению риска вообще, а к снижению его до приемлемого уровня.
Несмотря на то, что в последнее время о риске говорится и пишется очень много, количественно риск по существу не оценивается. В лучшем случае приводятся вероятностные оценки возможности наступления неблагоприятных событий (ситуаций).
Рис. 14. Основные причины возникновения риска
Однако, как корректно применять аппарат теории вероятностей к исследованию социально-экономических систем, которые обычно уникальны, функционируют в специфических (отнюдь не типовых!) и постоянно изменяющихся условиях, как получать необходимые исходные данные на вероятностном уровне, обычно не объясняется /106,175,176/. Поэтому вероятностные количественные оценки риска в лучшем случае носят экспертный характер. Интервальное гарантированное оценивание открывает широкие возможности для получения обоснованных количественных оценок риска. Учитывая, что ситуационная неопределённость должна рассматриваться для каждого конкретного вида деятельности и для вполне определённых условий, остановимся на методических вопросах оценки риска, порождаемого количественной неопределённостью.
Задача оценки риска, возникающего из-за количественной неопределённости, характерна для любых видов деятельности. Обычно эту составляющую риска не оценивают вообще, да и количественные оценки показателей будущей деятельности, получаемые традиционными методами, не пригодны для анализа риска - они не содержат никакой неопределённости. При этом совершенно игнорируется предупреждение о том, что количественные данные без указания их погрешности не имеют никакой ценности. Можно сказать больше - такие данные вредны: они создают иллюзию обоснованности, не концентрируют внимание на уровне неопределённости получаемых результатов и не позволяют определить, насколько им можно доверять.
Игнорирование количественной неопределённости стало привычным и естественным. Оно характерно для любого уровня управления, включая государственный макроэкономический уровень: в официальных документах любого ранга все экономические оценки приводятся в виде точных данных. Причём точность их поражает - приводятся десятые доли процентов (например, рост валового внутреннего продукта, темпы роста основных показателей). А представление (модель) экономической системы государства, собираемые с предприятий первичные исходные данные, используемые математические методы (алгоритмы) и методики расчётов не подвергаются даже самому примитивному анализу на достоверность. И можно уверенно предположить, что ошибки в этой области измеряются в лучшем случае в разах значений оцениваемых показателей.
В словаре Вебстера «риск» определяется как «опасность, возможность убытка или ущерба». Именно этого определения мы будем придерживаться в дальнейшем. Если мы хотим оценивать риск, следуя этому определению, нужно уметь измерять, во-первых, величину возможного ущерба, а во-вторых, - возможность его наступления.
При оценке показателей эффективности ущерб заключается в неполучении требуемых значений каждого анализируемого показателя (величины недополученной выручки, прибыли, рентабельности, конкретного показателя качества, перерасхода затрат и т.п.). Возможность же любого подобного исхода при интервально-гарантированном методе оценивания количественно измеряется уровнем соответствующей вероятности.
С учётом неопределённости эффективность деятельности на количественном уровне оценивается как вероятность достижения намеченной реальной цели:
(26)
Учитывая, что события «достижения» и «не достижения» цели составляют полную группу событий, риск возможного не достижения цели будет определяться выражением:
(27)
Следовательно, определяя эффективность с учётом неопределённости значений показателей, мы получаем и оценку риска не достижения поставленной цели.
Так как эффективность деятельности характеризуется многими показателями и<n> = {и 1, и 2,..., иn}, то риск не достижения цели будет зависеть от степени неопределённости этих показателей. В общем случае эта зависимость выражается через условные вероятности не получения требуемых значений соответствующих показателей:
(28)
При независимости оцениваемых показателей последняя формула приобретает вид:
(29)
Очевидно, чем больше число n рассматриваемых показателей эффективности и, тем сложнее обеспечить высокий общий уровень гарантии выполнения предъявленных требований. Так, даже для пяти основных показателей качества продукции, определяемых с уровнем гарантированной вероятности 0,9 (уровнем риска не выполнения каждого требования 0,1), общий уровень гарантированного выполнения всех предъявленных требований будет менее 0,6, т.е. уровень риска выше 0,4.
Уровень риска не выполнения требований, предъявленных к значениям отдельных показателей качества, может существенно различаться. Так, риск выхода температуры рабочей зоны ядерного реактора за установленные пределы может составлять величину меньше 10-10, вероятность же возможного появления неисправности в тормозной системе автомобиля находится в пределах 10-3 ...10-4. Это обстоятельство ещё раз свидетельствует о том, что формировать окончательное решение о приемлемости уровня риска недостижения общей цели нужно, хорошо понимая уровень выполнения требований по каждому показателю и оценивая те последствия, которые могут быть в результате невыполнения соответствующих требований.
Чтобы корректно задавать требования к величине риска на обобщённом (потребительском) уровне нужно тщательно обосновывать эти требования в иерархической системе реальных целей, начиная с самого нижнего элементного уровня («снизу-вверх»). При этом важно помнить, что снижение уровня риска при обеспечении запланированных значений каждого показателя эффективности требует использования более точных измерительных средств, математических моделей и методов расчётов, расширения объёмов выборки данных. То есть снижение риска требует дополнительных ресурсов, использование которых будет отражаться и на себестоимости, и на цене продукции.
На современном этапе важно знать, с каким уровнем риска неопределённости предприятие обеспечивает выполнение требований по каждому показателю. Риск нужно планировать, его уровнем нужно управлять - обосновывать требования к величине риска, обеспечивать их выполнение, в случае необходимости вводить подстраховывающие меры.
Имея иерархическую систему реальных целей, риск в недостижении цели можно оценить для каждого иерархического уровня, для каждой создаваемой подсистемы и выполняемой операции. Исходя из приемлемости риска, можно определить требования к уровню неопределённости используемых данных, методов, методик, алгоритмов и программ расчётов. Так, если мы оцениваем величину общих затрат по пяти составляющим 3; (), каждая из которых определена со средней квадратичной погрешностью узi, то среднеквадратичная ошибка общих затрат при одинаковых узi. будет в раз больше. Следовательно, если мы хотим результирующие затраты считать с вполне определённой погрешностью, нужно обеспечить соответствующую погрешность исходных данных.
Риск в достижении намеченных целей существенно зависит от времени прогнозирования. Так, если оценивается возможный доход на протяжении нескольких лет Т:
,
то при нормальных законах распределения величин Bt - 3t неопределённость величины дохода в первый год будет характеризоваться среднеквадратической ошибкой
,
где уВi и у3i - среднеквадратические погрешности прогнозирования величин ожидаемой выручки и необходимых затрат, соответственно.
Если даже неопределённость исходных оценок Bt и 3t не меняется на всём этапе прогноза, т.е. экономические условия как внутренние, так и внешние остаются неизменными, то неопределённость дохода за 5 прогнозных лет составит:
,
т.е. в течение 5 лет даже при неизменных условиях неопределённость возрастает более чем в 2 раза.
Но и внутренние, и внешние экономические условия не остаются неизменными - инфляция, неизбежное повышение цен, возможные изменения заработной платы и т.п. То есть в реальных условиях с течением времени неопределённость только возрастает. Поэтому неопределённость оценок прибыли, которую предприятие может получить в ходе текущей и будущей деятельности в среднесрочной и долгосрочной перспективе будет иметь вид, представленный на рис. 15.
0 Д* 0 Д* 0 Д*
а) б) в)
Рис. 15. Характер изменения неопределённости возможной величины прибыли для текущего (а), среднесрочного (б) и долгосрочного (в) планирования
Как видно из рис. 15, планировать прибыль для отдалённых временных интервалов весьма проблематично, т.к. интервал её неопределённости существенно расширяется. Начиная с некоторого момента времени процесс планирования становится вообще некорректным, т.к. уровень неопределённости такого планирования практически ничто не гарантирует.
Оценка величины риска (неопределённости) будущей деятельности показывает, есть ли смысл в количественном прогнозе: если при необходимом уровне гарантии интервал неопределённости не позволяет сделать однозначное заключение о выгодности планируемой деятельности, прогнозирование становится бессмысленным. Важно понимать, где заканчивается прогноз и начинается гадание!
Выводы
Наиболее многочисленную группу обычно составляют приближённые количественные данные - единичные результаты измерений и расчётов. В общем случае погрешностью этих данных пренебрегать нельзя, её необходимо учитывать и использовать интервальные (а не точечные) оценки.
Методы интервальной математики, используемые для преобразования интервальных количественных данных, не обеспечивают корректного определения интервалов неопределённостей результирующих величин, так как не учитывают частоту появления возможных значений рассматриваемых данных в пределах интервалов неопределённостей. Объективные гарантированные оценки с отражением степени неопределённости или риска могут быть получены в рамках интервального гарантированного оценивания.
Интервальное гарантированное оценивание основано на «доопределении» вида закона распределения возможных значений результатов измерений и оценок в рамках интервала неопределённости и последующего использования математического аппарата теории вероятностей (математической статистики). При этом применение методов теории вероятностей носит условный, формальный характер - оно не свидетельствует о вероятностной природе рассматриваемой величины.