Уровень количественного представления для разных показателей эффективности может быть разным. Так, отдельные показатели качества продукции могут быть заданы на вероятностном (статистическом) уровне. Например, точность стрельбы ракет, погрешность метрологических средств и др. Некоторые показатели качества имеют интервальные детерминированные представления - классы допусков и посадок, классы чистоты обработки металлических поверхностей и т.п.
Значения многих показателей времени и затрат на этапе планирования работ задаются как на статистическом уровне, так и на уровне интервальных измерительных и экспертных оценок. Так, временные нормы (трудовые нормативы) выполнения отдельных операций, лежащие в основе всех экономических оценок - себестоимости продукции, заработной платы рабочих, показателей использования фондов, оборачиваемости средств и др., представляются на предприятиях в статистическом виде. Многие данные, предоставляемые для планирования руководителями различных иерархических уровней - начальниками участков, цехов, производств, технологами, энергетиками и др., представляются в виде экспертных оценок, формируемых на основе имеющегося опыта организации и проведения работ и знания конкретных условий деятельности. Так, опытный начальник участка или цеха без особого труда оценит возможный интервал времени изготовления определённого узла или подсистемы, технолог - интервал времени разработки технологического процесса, оснастки для имеющегося оборудования, управляющей программы для станка с компьютерным управлением; специалист по снабжению - интервал времени приобретения и доставки необходимых материалов, покупных элементов и изделий. Аналогично, экономисты и нормировщики на основе технологических карт и маршрутов выдадут интервальные детерминированные прогнозные оценки затрат рабочего времени, необходимого на изготовление деталей, узлов и подсистем.
Именно на основе всех этих данных осуществляется всё последующее планирование, формируется реальная цель, как критериальная основа будущей деятельности и анализа эффективности.
Как уже отмечалось, корректно использовать приближённые количественные данные, определённые на разном уровне -вероятностном, измерительном и экспертном, можно в рамках метода гарантированного интервального оценивания: только в этом случае удаётся получить количественные результаты с обоснованным уровнем неопределённости.
Для этого придётся измерительные и экспертные данные «доопределять»: для измерительных данных придётся доопределить форму закона распределения возможных значений в рамках интервала неопределённости, а для экспертных данных доопределять нужно ещё и уровень гарантированности задаваемых интервальных значений. В связи с этим ещё раз следует подчеркнуть: и для результатов измерений, и для экспертных оценок использование в последующем математического аппарата теории вероятностей носит условный, формальный характер - оно не свидетельствует о вероятностной природе рассматриваемой величины. Зато применение этого аппарата позволяет, во-первых, получать обоснованные значения интервалов неопределённостей результирующих величин, а во-вторых, выделять те исходные данные, которые вносят наибольшую неопределённость в получаемые результаты, и принимать обоснованные меры по их уточнению (от экспертных величин переходить к результатам измерений, а в случае необходимости - к получению статистических оценок). В условиях неопределённости и применения метода гарантированного интервального оценивания критерий эффективности будет представляться выражением:
(5)
где Р - вероятность того, что значения всех показателей эффективности
будут удовлетворять заданным требованиям ;
Ртр- требуемый (гарантированный) уровень вероятности.
Величина вероятности Р вычисляется из совместного закона распределения анализируемых показателей эффективности , который в общем случае определяется через условные вероятности анализируемых величин /132,171,173/:
(6)
где - вероятность того, что значения показателя 2 будут соответствовать предъявляемым требованиям при условии выполнения требований для значений показателя 1;
- вероятность того, что значения показателя 3 будут соответствовать предъявленным требованиям при условии выполнения требований для значений показателя 1 и 2, и т.д. В случае независимости рассматриваемых показателей условные вероятности переходят в соответствующие безусловные, а последнее выражение приобретает вид:
(7)
Для наглядности на рис. 7 представлена совместная плотность распределения вероятностей показателя эффективности W(K,3), объединяющего две составляющие: качество продукции К и расходуемые на это затраты З. На соответствующих осях показаны ограничения Ктр и Зтр, накладываемые на значения этих показателей. Вероятность выполнения установленных требований может быть определена двойным интегрированием совместной плотности вероятности f() в выделенном пространстве:
(8)
Как уже отмечалось, на практике при анализе эффективности деятельности предприятий дело приходится иметь с тремя группами данных: с показателями качества продукции, затратами и временем выполнения работ.
Рис. 7. Двумерная плотность распределения показателей качества продукции и ресурсов
Зная оценки частных показателей эффективности и учитывая присущую им неопределённость, нужно уметь получать обоснованные данные не только значений результирующих показателей эффективности, но и интервала их неопределённости с соответствующим уровнем гарантированной вероятности. Для показателей времени и затрат оценка обобщённых интервалов неопределённостей не вызывает сложностей, так как значения обобщающих показателей этих величин получаются простым суммированием составляющих.
Действительно, учитывая, что общие дисконтированные затраты являются простой суммой составляющих затрат
, (9)
где 3(Т) - общие затраты на временном интервале [0,Т];
- i-ая составляющая затрат, расходуемых в t-ый порядковый год интервала [0,Т];
и принимая, например, закон распределения погрешностей оценки i-x затрат нормальным с математическим ожиданием m3j со среднеквадратической ошибкой у31:
,
получаем
,
где - математическое ожидание суммарных затрат;
- среднеквадратичная ошибка определения суммарных затрат.
Временные схемы организации работ могут быть либо последовательными, либо параллельными, либо комбинированными. При последовательной схеме выполнения работ неопределённость момента завершения работ определяется аналогично предыдущему случаю и при нормальных законах распределения погрешностей математическое ожидание тТ и среднеквадратическая ошибка уТ определения значений результирующего временного показателя будут равны:
где mТ - математические ожидания и среднеквадратические ошибки определения времени выполнения i-ых работ ().
При параллельном выполнении всех работ общая неопределённость времени завершения работ определяется не только продолжительностью самой растянутой во времени работой, но и уровнями неопределённости этих работ.
Как видно из этого рисунка, без учёта неопределённости самой продолжительной работой является пятая. Однако гарантированное окончание работ определяется продолжительностью 3-ей работы.
При последовательно-параллельной (комбинированной или смешанной) схеме работ вначале ищется продолжительность всех последовательных «цепочек» работ, а окончательное решение о неопределённости принимается в результате анализа этих «цепочек», как для случая параллельного выполнения работ.
Наибольшие трудности с определением интервалов неопределённостей возникают для показателей качества продукции. Показатели качества потребительского уровня формируются из показателей качества нижних иерархических уровней в результате самых разных преобразований. Характер этих преобразований определятся в проектно-конструкторских материалах. Однако, серьёзного анализа неопределённостей (оценок точности или погрешности) получаемых результирующих характеристик, как правило, не проводится. Да и в теории вероятностей подобным задачам необходимого внимания тоже не уделялось. Именно поэтому целесообразно привести наиболее распространённые преобразования основных используемых на практике законов распределения погрешностей.
4. Основные правила преобразования законов распределения
Основная задача анализа эффективности деятельности социально-экономических систем заключается не только в получении количественных значений показателей эффективности, но и в оценке степени их неопределённости. В рамках гарантированного интервального оценивания нужно уметь преобразовывать вид закона распределения (существующий или предполагаемый) исходных величин в законы распределения показателей эффективности. С этой целью воспользуемся рекомендациями хорошо известных специалистов в области теории вероятностей и математической статистики, например, Тихонова В.И./132/ или Левина Б.Р. /173/. Приведём вначале общее правило преобразования, а затем рассмотрим случаи, наиболее характерные для задач эффективности. Пусть известна совокупность исходных величин Ei с n-мерной плотностью распределения вероятности Wn(E1,E2,...,En). Нужно найти плотность распределения возможных значений показателей эффективности иn, которые получаются из исходных величин Е1,Е2,...,Еn путём их нелинейного преобразования:
(13)
Для двух величин
,
и обратных функций
якобиан преобразования равен:
(14)
Поэтому
Из последней формулы получаем одномерную плотность распределения вероятностей для одной величины :
(15)
Откуда для плотности вероятностей результирующей величины, получаемой в результате выполнения наиболее распространенных арифметических действий (суммы, разности, произведения и частного) двух случайных величин имеем следующие формулы:
а) Для суммы двух величин :
(16)
б) Для разности :
; (17)
в) Для произведения :
(18)
г) Для частного :
(19)
Для плотности распределения вероятностей суммы двух независимых величин Е1 и Е2, когда совместная плотность распределения вероятности равна произведению одномерных плотностей распределения W(E1) и W(E2) каждая из которых описывается равномерным законом распределения:
интервальный гарантированный риск недостижение
Получаем формулу для плотности распределения вероятностей результирующей величины , представленную на рис. 1.9:
(20)
,
a b c a + c b + c d a + d b + d
Рис. 9. Плотность распределения суммы независимых равномерно распределенных величин
При одинаковых равномерных законах распределения исходных величин
результирующая плотность распределения величины приобретает вид известного треугольного закона распределения (закона Симпсона), показанного на рис.1.10:
(21)
a b 2a 2b
Рис. 10. Плотность распределения суммы величин при одинаковых равномерных законах распределения
Как видим, при равномерных законах распределения исходных величин форма закона распределения не сохраняется даже при простейших преобразованиях. Это приводит к тому, что для обеспечения требуемого уровня гарантированности получаемых результатов интервалы неопределённости нужно корректно пересчитывать. Так, если взять полный интервал неопределённости величины 0, распределённой по закону Симпсона, то для разных уровней гарантированности он может оказаться существенно расширенным по отношению к необходимому. При суммировании п одинаково распределённых величин с равномерным законом распределения величина допустимого уменьшения результирующего интервала неопределённости X вычисляется по формуле, которую нетрудно получить из простых геометрических рассуждений (рис. 11):
(22)
a б в b na x/2 x/2 nb
Рис. 11. Результирующий интервал неопределённости суммы равномерно распределённых величин
Из этой формулы следует, что величина необходимого сокращения интервала неопределённости результирующего показателя прямо пропорциональна количеству суммируемых величин и находится в квадратичной зависимости от заданного уровня гарантированности результатов Рд. Так, для двух суммируемых величин Е (n = 2) при Рд = 0,9 правильно определённый интервал оказывается короче общего интервала неопределённости 2(b-а) на величину 0,66 (b-а), а при Рд = 0,75 - на (b-а), т.е. в два раза; для четырёх исходных величин это уменьшение уже составляет 1,32 (b-а) и 2(b-а) соответственно по отношению к общему интервалу неопределённости 4(b-а).
Учитывая, что при анализе эффективности дело приходится иметь с большим числом составляющих показателей и качества, и затрат, и времени, корректно рассчитанные интервалы неопределённостей оказываются совершенно иными по сравнению с исходными.
Универсальной формы представления законов распределения, одинаково удобной для решения всех практических задач, не существует: даже самые известные и широко используемые в теории вероятностей и математической статистике законы распределения имеют и достоинства, и недостатки. Так, равномерный закон распределения в наилучшей мере отражает характер наибольшей неопределённости значений в рамках выбранного интервала. Для него просто считается уровень гарантированной вероятности. Однако даже при простейших преобразованиях он существенно трансформируется.
Нормальный закон распределения привлекает внимание из-за центральной предельной теоремы теории вероятностей - этим законом хорошо описываются данные измерений, проводимых в одних и тех же условиях (если в процессе измерений все мешающие факторы примерно одинаково отражаются на результатах измерений).
Однако нормальный закон имеет теоретически бесконечные «хвосты» (он не ограничен никаким интервалом), что противоречит практическому представлению статистических данных. Кроме того, уровень гарантированной вероятности при этом законе рассчитывается по формуле Лапласа:
, (22)
через соответствующую функцию Ф(t) - функцию Лапласа, которая вычисляется только таблично:
Нормальный закон удобен при композиции величин, но неудобен при других преобразованиях, например, при дифференцировании и интегрировании.
В некоторых задачах оказывается удобным экспоненциальный закон распределения или закон Пуассона в силу присущих ему свойств. Например, при дифференцировании и интегрировании экспоненциальной функции характер её сохраняется. Однако для этого закона даже простейшие вычисления приходится выполнять численно.