Материал: Теория колебаний 1

1.5. Вынужденные колебания механических систем

Колебания, которые вызываются переменным внешним воздействием, называются вынужденными колебаниями.

Вынужденные колебания поддерживаются в системе за счет притока энергии извне. Колебания могут быть вызваны действием переменной внешней силой P(t), или вибрациями основания (кинематическое возбуждение), характеризуемое

смещением u(t).

P(t)

u(t)

Рассмотрим колебания механической системы упругий безинерционный стержень, несущий п сосредоточенных масс mj, на которые действуют переменные во времени

Под действием внешних сил Pj(t) (j=1, 2,…п) система совершает вынужденные колебания. При ее движении на каждую массу mj действует Даламберова сила инерции

.

Как и в случае свободных колебаний будем определять перемещение уj массы mj как сумму перемещений уjк от совокупности сил Pк(t), Iк(t), приложенных ко всем массам

Перепишем это уравнение в виде

(1)

j=1, 2,…п

Получили систему неоднородных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний механической системы с п степенями свободы. В правую часть входит параметр внешней силы Pк(t); fjk ― элементы матрицы единичных перемещений системы.

Важным в практическом отношении является случай

― амплитудное значение внешней силы; θ ― частота внешнего воздействия (частота возбуждения).

Для случая установившихся вынужденных колебаний при гармоническом внешнем воздействии решение для

, (2)

где ― амплитуда установившихся вынужденных

колебаний.

Подставляя решение (2) в систему (1) получим систему неоднородных алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний.

(3)

получить по формулам Крамера

(4)

где ∆(θ) ― определитель системы (3)

(5)

― алгебраическое дополнение, полученное путем

замены j-го столбца в определителе (5) вектор-столбцом правой части системы (3).

Решения для амплитуд колебаний (4) имеют бесконечные значения, когда определитель системы (5) равен нулю.

Равенство нулю определителя (5) приводит к частотному уравнению для определения собственных частот колебаний механической системы с п степенями свободы. Следовательно, при частотах возбуждения θ, равных собственным частотам колебаний системы ωj получаем бесконечные решения для амплитуд колебаний ― резонанс.

Явление совпадения частоты возбуждения с одной из собственных частот колебаний системы, сопровождающееся резким возрастанием амплитуды колебаний называется

резонансом.

График зависимости амплитуды колебаний массы mj от частоты возбуждения называют амплитудно-частотной

характеристикой (АЧХ) системы.

Вертикальные асимптоты проведены в точках θ= ωj (j=1,2,…п) и соответствуют резонансным частотам, при которых .

Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы (линейный осциллятор)

Уравнение колебаний при гармоническом внешнем воздействии .

Решение для установившихся вынужденных колебаний ищем

Амплитуда колебаний