Материал: Теория к экзамену по Анализу данных

14. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события.

Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неизвестной вероятностью р, и найдена относительная частота появлений А в этой серии испытаний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н₀, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому значению р₀.

Примем в качестве статистического критерия случайную величину

, (19.1) имеющую нормальное распределение с параметрами M(U) = 0, σ(U) = 1 (то есть нормиро-ванную). Здесь q₀ = 1 – p₀. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительную частоту можно приближенно считать нормально распределенной с математическим ожиданием р и средним квадратическим отклонением ).

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1) Если Н₀: р = р₀, а Н₁: р ≠ р₀, то критическую область нужно построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигается тогда, когда критическая область состоит из двух интервалов, вероятность попадания в каждый из которых равна . Поскольку U симметрична относительно оси Оу, вероятность ее попадания в интервалы (-∞; 0) и (0; +∞) равна 0,5, следовательно, критическая область тоже должна быть симметрична относительно Оу. Поэтому и_кропределяется по таблице значений функции Лапласа из условия , а критическая область имеет вид .

Замечание. Предполагается, что используется таблица значений функции Лапласа, заданной в виде , где нижний предел интегрирования равен 0, а не -∞. Функция Лапласа, заданная таким образом, является нечетной, а ее значения на 0,5 меньше, чем значения стандартной функции Ф(х) (см. лекцию 6).

Далее нужно вычислить наблюдаемое значение критерия:

. (19.2)

Если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Если конкурирующая гипотеза Н₁: р > p₀, то критическая область определяется неравенством U > u_кр, то есть является правосторонней, причем р(U > u_кр) = α. Тогда . Следовательно, и_кр можно найти по таблице значений функции Лапласа из условия, что . Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле (19.2).

Если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

3) Для конкурирующей гипотезы Н₁: р < p₀ критическая область является левосторонней и задается неравенством U <- u_кр, где и_кр вычисляется так же, как в предыдущем случае.

Если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается.

Если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

Пример. Пусть проведено 50 независимых испытаний, и относительная частота появления события А оказалась равной 0,12. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Н₀: р = 0,1 при конкурирующей гипотезе Н₁: р > 0,1. Найдем Критическая область является правосторонней, а и_кр нахо-дим из равенства Ф(и_кр) = Из таблицы значений функции Лапласа определяем и_кр = 2,33. Итак, U_набл < u_кр, и гипотеза о том, что р = 0,1, принимается.

Пусть генеральная совокупность Х имеет нормальное распределение, и требуется проверить предположение о том, что ее математическое ожидание равно некоторому числу а₀. Рассмотрим две возможности.

1) Известна дисперсия σ² генеральной совокупности. Тогда по выборке объема п найдем выборочное среднее и проверим нулевую гипотезу Н₀: М(Х) = а₀.

Учитывая, что выборочное среднее является несмещенной оценкой М(Х), то есть М() = М(Х), можно записать нулевую гипотезу так: М() = а₀. Для ее проверки выберем критерий

. (19.3)

Это случайная величина, имеющая нормальное распределение, причем, если нулевая гипотеза справедлива, то М(U) = 0, σ(U) = 1.

Выберем критическую область в зависимости от вида конкурирующей гипотезы:

- если Н₁: М() ≠ а₀, то и_кр: , критическая область двусторонняя, , и, если |U_набл| < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если |U_набл| > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М() > а₀, то и_кр: , критическая область правосторонняя, и, если U_набл < u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл > u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М() < а₀, то и_кр: , критическая область левосторонняя, и, если U_набл > - u_кр, то нулевая гипотеза принимается; если U_набл < - u_кр, то нулевая гипотеза отвергается.

2) Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

В этом случае выберем в качестве критерия случайную величину

, (19.4)

где S – исправленное среднее квадратическое отклонение. Такая случайная величина имеет распределение Стьюдента с k = n – 1 степенями свободы. Рассмотрим те же, что и в предыдущем случае, конкурирующие гипотезы и соответствующие им критические области. Предварительно вычислим наблюдаемое значение критерия:

. (19.5)

- если Н₁: М() ≠ а₀, то критическая точка t_{двуст.кр.} находится по таблице критических точек распределения Стьюдента по известным α и k = n – 1.

Если | T_набл | < t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза принимается.

Если | T_набл | > t_{двуст.кр.}, то нулевая гипотеза отвергается.

- если Н₁: М() > а₀, то по соответствующей таблице находят t_{правост.кр.}(α, k) – критичес-кую точку правосторонней критической области. Нулевая гипотеза принимается, если

T_набл < t_{правост.кр.}.

- при конкурирующей гипотезе Н₁: М() < а₀ критическая область является левосторон-ней, и нулевая гипотеза принимается при условии T_набл > - t_{правост.кр.}. Если T_набл < - t_{правост.кр.}., нулевую гипотезу отвергают.

15. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

На практике часто требуется сравнить точность измерения различными приборами и методами.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности X и Y. (Если одну и ту же нормально распределенную случайную величину измеряют двумя приборами, то генеральные совокупности измеряемых значений будут разными – X и Y.)

Из этих генеральных совокупностей извлекают выборки объемом n₁ и n₂ и находят «исправленные» выборочные дисперсии  и .

Зададим уровень значимости критерия α.

По данным значениям  ,  и α проверим нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии равны.

Итак,  :  =  (Y).

«Исправленные» дисперсии являются несмещёнными оценками генеральных дисперсий, т. е.

М(  ) =  (X), M(  ) =  (Y),

Поэтому можно представить нулевую гипотезу таким образом:

 : М(  ) = M(  )

Проверим равенство математических ожиданий «исправленных» выборочных дисперсий. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем отношение большей «исправленной» дисперсии  к меньшей  , т. е. случайную величину: F = 

Величина F имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k_{1 =} n₁ - 1, k₂ = n₂ - 1, где n₁ – объем выборки для большей «исправленной» дисперсии, n₂ – для меньшей.

Предположим, что большая дисперсия относится к измерениям X, а меньшая – к измерениям Y.

Тогда в качестве альтернативной гипотезы можно принять

 : D(X) > D(Y).

В этом случае критическую область находят из условия:

P ( F > F_кр (α, k₁, k₂)) = α (правосторонняя область).

Критическую точку находят по таблице распределения Фишера-Снедекора.