Материал: Теория к экзамену по Анализу данных

при 

Неизвестным параметром распределения является  Во введенных обозначениях 

Генеральная случайная величина Х распределена по показательному закону, поэтому все выборочные значения неотрицательны.

Удобнее рассматривать максимум логарифма функции правдоподобия:

9. Проверка гипотезы о соответствии наблюдаемых значений нормальному распределению.

10. Проверка гипотезы о соответствии наблюдаемых значений показательному распределению.

. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.

Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю х_cp. Для этого находят середину i-го интервала x_cpi = (x_i+x_i+1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (x_i,x_i+1) по формуле:

P_i = P(x_i < X < x_i+1) = e^-λx_i - e^-λx_i+1

4. Вычислить теоретические частоты:

n_i = n • P_i

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

_{, где  (24)}

 _{- функция (интеграл вероятности) Лапласса}

Выше (§ 9.4) показано, что выборочная средняя  и выборочная доля  повторной выборки представляют сумму n независимых случайных величин _{, где}  имеет один и тот же закон распределения — соответственно (13) и (10) с конечными математическим ожиданием и дисперсией. Следовательно, на основании теоремы Ляпунова при  распределения  и  неограниченно приближаются к нормальным (практически при  распределения  и  можно считать приближенно нормальными).

Для бесповторной выборки  и  представляют сумму зависимых случайных величин. Однакоможно показать, что и в этом случае при  закон распределения  и  как угодно близко приближается к нормальному.

Формулы (23) и (24) следуют непосредственно из свойства 2 нормального закона формулы.

Формулы (23) и (24) получили название формул доверительной вероятности для средней и доли.

Определение. Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно-случайной выборки называется средней квадратической (стандартной) ошибкой выборки. (Для бесповторной выборки обозначаем соответствено  и ).

Из рассмотренной теоремы вытекают следующие следствия.

Следствие 1. При заданной доверительной вероятности  предельная ошибка выборки равна (-кратной величине средней квадра-тической ошибки, где, т.е.

13. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки).

десь рассматриваются выборки одинакового объема, варианты которых попарно зависимы. Например, если х_i (i=1,2, ...,n)—результаты измерений деталей первым прибором, а y_i — результаты измерений этих же деталей, произведенные в том же порядке вторым прибором, то х_i и y_i попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как правило, х_i ≠ у_i, то возникает необходимость установить, значимо или незначимо различаются пары этих чисел. Аналогичная задача ставится при сравнении двух методов исследования, осуществленных одной лабораторией, или если исследование произведено одним и тем же методом двумя различными лабораториями.

Итак, пусть генеральные совокупности Х и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀:М () = М () о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н₁:М () ≠ М () по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Сведем эту задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней, решенной в § 13, п. Б. С этой целью введем в рассмотренные случайные величины—разности D_i = Х_i—Y_i и их среднюю

.

Если нулевая гипотеза справедлива, т.е. М () = М (),то М () - М () = 0 и, следовательно,

М () == М (—) = М () — М () = 0.

Таким образом, нулевую гипотезу Н₀:М () = М () можно записать так:

H₀:М() = 0.

Тогда конкурирующая гипотеза примет вид Н₁:М() ≠ 0.

Замечание 1. Далее наблюдаемые неслучайные разности x_i—y_i будем обозначать через d_i в отличие от случайных разностей D_i = Х_i—Y_i. Аналогично выборочную среднюю этих разностей обозначим черезв отличие от случайной величины.

Итак, задача сравнения двух средних  и сведена к задаче сравнения одной выборочной среднейс гипотетическим значением генеральной среднейМ() = а₀ = 0. Эта задача решена ранее в§ 13, п. Б, поэтому приведем лишь правило проверки нулевой гипотезы и иллюстрирующий пример.

Замечание 2. Как следует из изложенного выше, в формуле (см. § 13. п. Б)

надо положить

.

Тогда .

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу Н₀:М() = M() о равенстве двух средних нормальных совокупностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе М() ≠ M(), надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = п - 1 найти критическую точку t_{двууст.кр} (α; k).

Если |T_иабл|< t_{двууст.кр} — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если |T_иабл|> t_{двууст.кр} — нулевую гипотезу отвергают.