Материал: Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения

шенных статистическому исследованию прочности, показано, что использование кривой нормального распределения для описания раз­ броса пределов прочности материалов (как это было использовано Г.А. Конторовой и Я.И. Френкелем и широко используется иссле­ дователями в настоящее время), является мало обоснованным, поскольку нормальный закон допускает изменение признака в пре­ делах от — до +°°, тогда как прочность является величиной суще­ ственно положительной, нижний предел которой не может быть мень­ ше нуля. Поэтому, чтобы учесть физические и статистические пред­ положения хрупкого разрушения, следует использовать третье пре­ дельное распределение наименьших значений, функция вероятностей которых имеет вид

Основываясь на третьем предельном распределении наименьших значений вариационного ряда в соответствии со статистической тео­ рией прочности, В.В. Болотин [17] дает наиболее общие формулы зависимости среднего предела прочности от объема образцов :

Для использования уравнений (4.12) необходимо знать величины параметров а, /3, которые можно получить из статистической обработки массовых испытаний образцов типового, фиксированного объема на основе плотности вероятности распределения. Оценка ука­ занных параметров распределения может быть осуществлена методом моментов. Суть этого метода состоит в требовании совпадения теоре­ тической и эмпирической кривой с точностью до момента третьего по­ рядка.

Для решения уравнений методом моментов находятся выбороч­ ные средние R, стандарт А и асимметрия А по формулам

С помощью формул (4.16—4.18) составлен график (рис. 4.2), пользуясь которым по значениям выборочных характеристик и фор­ мулам

находятся неизвестные параметры распределения а, (3 и Rmin>

Для проверки этой статистической методики оценки масштабного эффекта б$>ша выполнена статистическая обработка данных о прочно­ сти ряда углей (приложения 2, 3, 4) и горных пород при сжатии (табл. 4.5).

Для сопоставления теоретического и экспериментально установ­ ленного проявлений масштабного эффекта построена табл. 4.6.

Большинство исследователей масштабного эффекта в горных по­ родах не приводят данных об асимметрии распределения показателей прочности, а говорят о, якобы, нормальном их распределении и при­ водят значения вариации этих показателей. При нормальном распре­ делении асимметрия равна нулю, а значение параметра однороднос­ ти а (см. рис. 4.2) равно 3,6. Однако, нормальная кривая может опи­ сать лишь. симметричные распределения, а кривые распределения прочности, как утверждает Р.А. Муллер, в большинстве своем, асим­ метричные или псевдосимметричные (по Э. Гумбель). Отнесение многими исследователями распределения показателей прочности к нормальным говорит о том, что величина асимметрии в большинстве своем незначительно отклоняется от нуля в стороны положительных или отрицательных значений. Величина коэффициента вариации, как и параметра однородности а, является, по существу, также характе-

Рис. 4 .2 . График для определения параметров распределения:

1 — параметр однородности а; 2 и 3 — вспомогательные коэффициенты В (а) и

С(а)

риешкой неоднородности горных пород. Для пород неоднородных коэффициенты вариации показателей прочности всегда выше, чем для пород однородных. Попытка установить связь между двумя этими показателями для пород, испытанных при одноосном сжатии, показала, что с увеличением коэффициента вариации показателей прочности асимметрия распределения увеличивается, а параметр од* нородности уменьшается. Однако теснота связи низкая. Результаты испытаний явно неоднородных горных пород показали, что для наи­ более однородных горных пород с коэффициентами вариации до 4 %, параметр однородности будет изменяться от 3,2 до 5,5. При этом

Таблица 4.5. Минимальные статистически вероятные значения прочности углей и горных пород

асимметрия распределения близка к нулю, и даже может быть отрица­ тельной. Минимальное значение параметра однородности наблюдалось у газовых углей Донбасса. По-видимому, для горных пород это зна­ чение следует признать близким к минимальному. Тогда значения па­ раметра однородности а для горных пород будут в пределах 1,54-5,5, что почти совпадает с симметричным распределением.

Теперь посмотрим, какую ошибку допустим в расчетах по уравне­ нию (4.12), используя нормальное распределение и известные нам коэффициенты вариации показателей прочности. Для этого уравнение (4.12) преобразуем следующим образом, подставив значения пара­ метров .распределения по уравнению (4.18, 4.19) :