Материал: Синтез систем автоматического управления

 (3.11)

Сравнивая уравнения (3.7) и (3.11), получим:

Wω (z) = P(z). (3.12)

 (3.13)

и с учетом (3.12) передаточная функция регулятора принимает вид:

 (3.14)

Параметры этого регулятора можно получить, используя уравнения (3.13), (3.8) и (3.9):

  (3.15)

... ...

Таким образом, параметры регулятора могут быть вычислены достаточно просто. Начальное значение управляющей переменной u(0) зависит только от значения суммы коэффициентов b1 объекта. Поскольку значение этой суммы убывает с уменьшением такта квантования, начальное значение управляющей переменной u(0) будет тем больше, чем меньше такт квантования.

Такой апериодический регулятор можно считать компенсационным регулятором (3.11), однако передаточную функцию замкнутой системы (3.8) и (3.6) в данном случае определяют в процессе проектирования, а не задают заранее. Результирующая передаточная функция замкнутой системы с учетом уравнений (3.12) и (3.6) принимает вид:

Ее характеристическое уравнение равно

+Wр(z)Wоб(z) = zm = 0. (3.16)

Таким образом, контур управления с апериодическим регулятором имеет m полюсов в начале координат плоскости z.

Если d ≠ 0, необходимо использовать следующую модель объекта:

 (3.17)

Коэффициенты этой модели удовлетворяют соотношениям:

 (3.18)

На процесс управления наложены теперь следующие ограничения:

y(k) = ω(k) = 1 для k ≥ v = m + d;

u(k) = u(m) для k ≥ m. (3.19)

Далее можно применить уравнения (3.3) - (3.15), учитывая (3.17). Из уравнений (3.17) и (3.13) следует, что

q1 = a1q0,= a2q0,

… … (3.20)= amq0, +1 = am+1q0,

… …= avq0,

Следовательно, передаточная функция регулятора имеет вид:

 (3.21)

Из уравнений (3.20) и (3.21) получим передаточную функцию апериодического регулятора AP(v):

 (3.22)

Отсюда следует, что передаточная функция по задающему сигналу при использовании точной модели объекта будет равна:

 (3.23)

а ее характеристическое уравнение

z(m+d) = 0, (3.24)

что свидетельствует об апериодическом характере переходного процесса. Следует иметь в виду, что применение апериодического регулятора приводит к сокращению полюсов объекта управления.

.2 Расчет параметров дискретного регулятора

Будем рассчитывать регулятор, включенный последовательно с объектом, с помощью Matlab’а.

Содержание файла-скрипта:=tf([0.8],[10 1],'ioDelay', 1) % задаем передаточную функцию=tf([0.95],[100 1 0],'ioDelay', 10) % задаем передаточную функциючную функцию=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы=1 % время квантования=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

[Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

m=length (Numer)=Denom(2:m)=Numer(2:m)=1/sum(Numer1)i=1:(m-1)(i)=q0*Denom1(i);(i)=q0*Numer1(i)

Q=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора

Передаточная функция регулятора в командном окне имеет вид:

Transfer function:

z^3 - 4023 z^2 + 3878 z - 1245

------------------------------------^3 - 0.1713 z^2 - 0.6666 z - 0.1621

4 Расчет компенсатора для дискретных систем

Для того чтобы добиться желаемого качества процесса управления или регулирования, т.е. требуемой точности системы и качества переходного процесса, есть два пути. Первый состоит в изменении параметров данной системы, так как с изменением параметров меняются соответственно коэффициенты уравнения и частотные характеристики, а значит, и качество процесса.

Если же путем изменения не удается получить желаемый результат, то необходимо использовать второй путь - изменить структуру системы через ввод дополнительных звеньев - корректирующих устройств.

Основная задача корректирующих устройств состоит в улучшении точности системы и качества переходных процессов. Благодаря введению корректирующих устройств можно решать и более общие задачи, такие как обеспечение устойчивости системы и желаемого качества процесса регулирования.

Содержание скрипт-файла для расчета компенсатора:,clear=tf([0.8],[10 1]) % задаем передаточную функцию=tf([0.95],[100 1 0]) % задаем передаточную функциючную функцию=tf([0.6],[7 1]) % задаем передаточную функцию возмущения=W1*W2 % общая передаточная двух последовательных частей системы=1 % время квантования=c2d(Wob,T,'zoh') % передаточная в дискретной областиd=c2d(W1,T,'zoh') % передаточная в дискретной областиd=c2d(W2,T,'zoh') % передаточная в дискретной области=c2d(Wf,T,'zoh') % передаточная в дискретной области

[Numer Denom]=tfdata(Wdiskr, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

m=length (Numer)=Denom(2:m)=Numer(2:m)=1/sum(Numer1)i=1:(m-1)(i)=q0*Denom1(i);(i)=q0*Numer1(i)

Q=[q0 q] % матрица коэффициентов числителя=[1 -p] % матрица коэффициентов знаменателя=tf(Q, P, T) % передаточная функция регулятора=Wfd/(Wr*W1d) % передаточная функция компенсатора

[Nk Dk]=tfdata(Wkomp, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[Nf Df]=tfdata(Wfd, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[N1 D1]=tfdata(W1d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

[N2 D2]=tfdata(W2d, 'v') % коэффициенты числителя и знаменателя

Передаточная функция дискретного компенсатора в командном окне имеет вид:

Transfer function:

.07987 z^4 - 0.08595 z^3 - 0.04087 z^2 + 0.03523 z + 0.01172

-------------------------------------------------------------

.8 z^4 - 398 z^3 + 560.7 z^2 - 350.7 z + 82.15

5 Расчет наблюдателя переменных состояния

5.1 Теоретические сведения

Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого описывается уравнением

, (5.1)

и одним из методов определен оптимальный закон управления

. (5.2)

Традиционно существует проблема измерения переменных состояния, что умоляет результат синтеза оптимального закона управления в функции переменных состояния. Доступными измерению являются выходные переменные системы, связанные с переменными состояния соотношением

. (5.3)

В связи с этим возникает задача наблюдения (восстановления, оценки) вектора x(t) по результатам измерения y(t) на интервале [t0, t].

Наблюдатель полного порядка

Пусть простейший наблюдатель имеет модель

. (5.4)

Если бы удалось задать значение  равным Х(0), то решение уравнения (5.4) точно совпадало бы с решением (5.1).

Если , то возникает ошибка наблюдения , которая удовлетворяет уравнению

 (5.5)

Если объект управления асимптотически устойчив, то ошибка наблюдения будет с течением времени уменьшаться

.

Если дополнить уравнение (5.4) составляющей, содержащей измеряемый вектор Y, то такой алгоритм наблюдателя можно записать в общем, виде:

. (5.6)

Уравнения для определения матриц F, H, G могут быть получены разными способами.

В простейшем случае пусть система имеет один вход и один выход. Для данного случая можно воспользоваться методом передаточной функции

. (5.7)

Преобразование Лапласа уравнений (5.1) при нулевых начальных условиях, имеет вид

,

где (рЕ - А)-1В есть матричная передаточная функция.

Уравнение наблюдателя (5.6), преобразованное по Лапласу при нулевых начальных условиях, имеет вид

. (5.8)

Подставляя в уравнение (5.8) уравнение (7.7), получим

. (5.9)

Из условия (5.7) можно записать, что

. (5.10)

Уравнение (5.10) можно трансформировать к виду

.

Если выбрать

 и , (5.11)

то равенство будет выполняться.

На основании (5.6) и (5.11) представим уравнения наблюдателя состояния в виде

. (5.12)

Матрицу G выбирают таким образом, чтобы переходный процесс в наблюдателе заканчивался быстрее, чем переходный процесс системы, то есть матрица G характеризует расположение полюсов наблюдателя на основании полюсов системы. Для решения поставленной задачи необходимо найти эту матрицу.

5.2 Расчет наблюдателя

Рассчитаем наблюдатель для нашего объекта.

Запишем программу в Matlab:

clc, clear

global b1 a Q R

% задание передаточной функции первой части объекта:=tf([0.8],[10 1],'ioDelay',1);

% задание передаточной функции второй части объекта:

W2=tf([0.95],[100 1 0],'ioDelay',10);=W1*W2

% переход к модели в переменных состояния:=ss(W);

% матрицы системы:

[a b c d]=ssdata(Ws);

% размерность матрицы А:

[m,n]=size(a);% m-размерность матрицы а, соответствующий порядку объекта

% матрица критерия оптимальности:=0.5*eye(n);% весовая матрица критерия качества, определяющая

%соотношение между затратами на управление и качеством регулирования=0.5*eye(n);% весовая матрица критерия качества, определяющая

%соотношение между затратами на управление и качеством управление

%Обычно квадратная матрица = от 0 до 1

% расширяем матрицу, для соответствия порядку системы:=b*ones(1,n);

%коэффициенты оптимального регулятора:

[K,S,e]=lqr(a, b1, Q, R) % матрица к-тов ОС рег-ра, S - решение ур-я Риккати

% решение ур-я Риккати численными методами=zeros(n);% вектор НУ=(R^(-1))*(b1'*S)% коэффициентами рег-ра явля-ся 1-ая строка и(1)=0;%начальное значение времени(1,1)=1;% начальное значение х1(2,1)=2;% начальное значение х2(3,1)=3;% начальное значение х3=0.01;% шаг по времени=30000;% число точек моделирования%(1,1)=X(1,1);% начальное значение хe1 наблюдателя(2,1)=X(2,1);% начальное значение хе2 наблюдателя(3,1)=X(3,1);% начальное значение хе3 наблюдателя

%Находим полюса наблюдателя:=2.*e % желаемые полюса наблюдателя, которые выбираются левее полюсов СУ, для обеспечения большего быстродействия

%Находим матрицу G:=acker(a',c',Pe);% матрица коэффициентов ОС наблюдателя G=G'

% моделирование

% начальные условия и оценки:

for i=1:n

% управление(i)=-K(1,:)*Xe(:,i);

% переменные состояния СУ

X(:,i+1)=(a*X(:,i)+b*U(i))*dt+X(:,i);

% выход системы(i)=c*X(:,i);

% переменные состояния наблюдателя

Xe(:,i+1)=Xe(:,i)+(a*Xe(:,i)+b*U(i)+G*(Y(i)-c*Xe(:,i)))*dt;

% выход системы наблюдателя(i)=c*Xe(:,i);

% отсчёт времени(i+1)=t(i)+dt;(1)(t(1:n),Y(1:n),t(1:n),Ye(1,n))% динамическая хар-ка для Y и Yeon('t')('Y, Ye')

figure(2)(t(1:n),X(:,1:n),t(1:n),Xe(:,1:n))% динамическая хар-ка для Х и Xe

grid on('t')('X')

figure(3)(t(1:n),U(1:n))% динамическая хар-ка для U

grid on('t')('U')=estim(Ws, G)

% добавим в уравнение для наблюдателя управляющее воздействие

BBe=[Be b]=zeros(4, 2)

Коэффициенты оптимального регулятора:

K =

.559585112357554 1.000243498164992 0.577350269189625

.559585112357554 1.000243498164992 0.577350269189625

.559585112357554 1.000243498164992 0.577350269189625

S =

.279792556178777 0.500121749082496 0.288675134594813

.500121749082496 28.624886774369962 16.523814005972508

.288675134594813 16.523814005972508 28.015164278020094

e =

.734683366773686

.027035985149488 + 0.015624851156035i

.027035985149488 - 0.015624851156035i

Полюса наблюдателя:

Pe =

.469366733547372

.054071970298977 + 0.031249702312070i

.054071970298977 - 0.031249702312070i

Матрица G имеет вид:

G =

.724961997156825

.137124274017894

.455580122000059

На рисунках 5.1-5.4 приведены графики изменения переменных состояния объекта и наблюдателя, изменение выхода объекта и наблюдателя и закона управления.

Рисунок 5.1- Переменных состояния объекта и наблюдателя

Рисунок 5.2- Изменение выходного сигнала объекта и наблюдателя

Рисунок 5.4- Закон управления, который был сформирован на основе полученных переменных состояния

Таким образом, видим, что в теории наблюдатель обеспечивает очень высокую точность расчёта переменных состояния. Оценка переменных состояния с помощью наблюдателя осуществляется без ошибок.

На этом расчёт наблюдателя закончен.

6 Моделирование систем управления

.1 Моделирование непрерывной системы

Модель непрерывной системы представлена на рисунке 6.1:

Рисунок 6.1 - Модель системы с непрерывным регулятором

График передаточной функции для этой модели будет иметь вид, представленный на рисунке 6.2:

Рисунок 6.2 - Непрерывная передаточная функция с регулятором

Как видно из рисунка, график переходной характеристики имеет непрерывный вид и постепенно выходит на единицу.

Теперь промоделируем систему с возмущающим воздействием и компенсатором в непрерывном виде.

Модель, содержащая возмущающее воздействие и компенсатор, представлена на рисунке 6.3:

Рисунок 6.3 - Модель системы с компенсатором

Вид передаточной функции для такой системы с возмущающим воздействием и с компенсатором представлен на рисунке 6.4: