Материал: Синтез дискретных систем управления

Здесь  - вспомогательный множитель,  и k - определяемые ниже параметры, а полином

,(30)

где  - коэффициент при старшей степени  полинома  из уравнения объекта (20).

Будем предполагать, что нули  этого полинома  удовлетворяют условию

, ,(31)

т.е. на комплексной плоскости они располагаются внутри окружности единичного радиуса.

Если нули полинома , найденного для заданного объекта управления, не удовлетворяют условию (31), то имеются две возможности проведения синтеза. Во-первых, можно изменить конструкцию объекта так, чтобы условие (31) оказалось выполненным. Во-вторых, можно выбрать полином  в (24) так, чтобы среди его нулей оказались все те нули полинома , которые не удовлетворяют условию (31). Разумеется, для этого необходимо несколько видоизменить изложенную выше методику выбора . Причем система с соответствующей передаточной функцией  должна иметь требуемые показатели качества процесса управления. Этот случай применительно к синтезу непрерывных устройств управления рассмотрен в работе [9].

При выполнении условия (31) полиномы ,  и

определяются следующим образом.

Из условия равенства знаменателей в (29) вытекает с учетом представления (30) полиномиальное уравнение

.(32)

В общем случае непрерывная часть синтезируемой системы может содержать некоторое число чистых интеграторов. Поэтому полином  можно всегда представить следующим образом

, (33)

где  - число единичных нулей полинома , т.е. число чистых интеграторов в непрерывной части, причем , а  такой полином, что .

С другой стороны, синтезируемая замкнутая система должна иметь порядок астатизма по задающему воздействию, равный . Поэтому в соответствии с уравнением (32), при условии, что , полиномы  и  имеют вид

,, (34)

где , а , - вспомогательные полиномы.

С учетом (34) полиномиальное уравнение (32) переходит в следующее:

 ,  (35)

где полиномы

 ,.  (36)

При решении полиномиальных уравнений типа (35) сначала определяются степени  и  искомых полиномов , . При этом необходимо учесть следующие ограничения (условия физической реализуемости передаточных функций в замкнутой системе с частично заданной структурой [5]):

индекс желаемой передаточной функции замкнутой системы должен быть не меньше индекса заданной части с учетом запаздывания на такт в ЦУУ, т.е.

,(37)

где , ;

- степени полиномов и должны быть не больше степени полинома , т.е.

, ;  (38)

число коэффициентов полиномов ,  должно быть неменьше числа уравнений в алгебраической системе эквивалентной полиномиальному уравнению (35) , т.е.

;(39)

- степень полинома в левой части (35) должна быть равна степе-

ни полинома в его правой части, т.е.

.(40)

Учет всех ограничений (37) - (40) при условиях  и  приводит к следующим соотношениям, которые определяют искомые параметры и степени полиномов:

, ,(41)

,.(42)

При этом , а степень .

Обозначим - степень полинома , т.е. , а также коэффициенты полиномов

, , (43)

, . (44)

С учетом введенных обозначений (36), (43) и (44) систему алгебраических уравнений, эквивалентную полиномиальному уравнению (35), можно записать [5] следующим образом:

. (4

5)

В результате решения системы (45) определяются численные значения коэффициентов  и  полиномов (43), а затем по (34) находятся сами полиномы , .

Из условия равенства числителей в (29) вытекает следующее соотношение

. (46)

Таким образом, приведенные соотношения (22) - (46) позволяют найти полиномы ,  и  и записать уравнение ЦУУ (21) с численными коэффициентами.

Для получения разностного уравнения ЦУУ, описывающего алгоритм вычисления значений управления , необходимо умножить обе части полученного уравнения (21) на , а затем перейти к оригиналам.

Вытекающее из полученного разностного уравнения выражение, определяющее  как функцию предыдущих значений измеряемых переменных задающего воздействия, управления и управляемой переменной, т.е. равенство , , , является искомым алгоритмом работы ЦУУ.

В тех случаях, когда измеряемыми являются g и  или y и  уравнение (21) или соответствующее ему разностное уравнение преобразовываются соответствующим образом.

На этом формальная процедура синтеза САУ с ЦУУ заканчивается. Однако для завершения процесса синтеза необходимо промоделировать полученную систему и убедиться, что полученный алгоритм работы ЦУУ обеспечивает требуемые показатели качества процесса управления. При этом целесообразно объект управления моделировать по его непрерывной модели в переменных состояния, а ЦУУ по его алгоритму функционирования с учетом квантования по уровню и по времени.

Рассмотрим изложенную методику синтеза дискретных САУ на конкретном примере.

Пример 3. Найти алгоритм функционирования ЦУУ, обеспечивающего астатизм первого порядка по задающему воздействию, время регулирования не более 3 с и перерегулирование не более , в системе управления с передаточной функцией непрерывной части

При этом период квантования с, а измеряемыми переменными

являются отклонение  и управляемая переменная y.

Решение. Подставляя заданные  и  в выражение (19) и выполняя z-преобразование (с помощью методики, изложенной в § 14.4), получим

.

Следовательно, в рассматриваемом случае полиномы , , а их степени , . При этом по (22) , а полином ; по (33) , а полином .

Нуль полинома , очевидно, равен , т.е. удовлетворяет условию (31). Поэтому желаемую передаточную функцию  будем искать в виде (24) с произвольным полиномом .

Так как в данном случае , , а  %, то в соответствии с изложенной выше методикой выбираем из табл. 6.1 коэффициенты нормированной передаточной функции астатической системы второго порядка: , ,  и  с. Поэтому по формуле (26) при с и с находим . Подставляя значения , ,  и , ,  в формулы (25) и (27), получим

.

Выполняя z-преобразование в соответствии с выражением (28), найдем полиномы , , т.е. , а .

Здесь целесообразно проверить, удовлетворяют ли полученные значения коэффициентов полиномов и условию астатизма первого порядка (14.56). В нашем случае имеем , т.е. указанное условие удовлетворяется.

Отметим, что при указанном способе определения полиномов  и , оно может не выполняться лишь из-за ошибок округления. Поэтому при не выполнении условия (14.56) необходимо округлить коэффициенты этих полиномов так, чтобы указанное условие выполнялось.

Переходим к расчету полиномов , и . В нашем случае  поэтому по формуле  находим , а по формулам (36) - (44) получаем , , , , , , , , , . Далее по (45) записываем систему

.

Решение этой системы с учетом равенств (43) и (34) приводит к полиномам

, .

Затем по формуле (46) находим  и, подставляя в (21) найденные выражения для полиномов, получим разностное уравнение ЦУУ

. (48)

Поскольку по условиям синтеза измеряются переменные  и y, заменим в этом уравнении g по формуле . В результате уравнение (48) примет вид