Материал: Синтез дискретных систем управления

Синтез дискретных систем управления

Контрольная работа

Синтез дискретных систем управления

Содержание

1. Задача синтеза цифровых устройств управления

. Модальное дискретное управление

. Модальное управление с запаздыванием

. Синтез дискретных систем по заданным показателям качества

Литература

1. Задача синтеза цифровых устройств управления

В тех случаях, когда замкнутая дискретная система, составленная из функционально необходимых элементов, является неустойчивой, или её показатели качества не удовлетворяют требуемым, возникает задача её коррекции или задача синтеза устройства управления.

В настоящее время наиболее рациональным путем построения устройств управления является использование управляющих вычислительных машин или специализированных цифровых вычислителей (ЦВ) - микропроцессоров или микроЭВМ.

Система с цифровым управлением, кроме собственно цифрового вычислителя (ЦВ) и непрерывной части (НЧ), включает, как показано на рис. 1, аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи (АЦП и ЦАП). При работе системы АЦП формируют двоичные коды , , соответствующие дискретным значениям ,  непрерывных величин ,  в моменты времени , кратные периоду квантования по времени T, т.е. ,

Рис. 1

Вычислитель ЦВ периодически (тоже с периодом T ) по соответствующему алгоритму рассчитывает значения управления , двоичные коды  которого с помощью ЦАП преобразуются в непрерывное управление , поступающее на непрерывный объект управления (НЧ).

Обычно число разрядов АЦП и ЦАП достаточно велико, так что квантованием по уровню можно пренебречь (по крайней мере, в первом приближении). В этом случае сигналы на выходах АЦП и ЦВ можно считать решетчатыми функциями , , , которые соответствуют непрерывным сигналам , ,  [5].

Коды  на входе ЦАП изменяются только в моменты времени , , поэтому его выходной сигнал  можно рассматривать как последовательность импульсов постоянной длительности T и переменной амплитуды . Этот факт является одной из отличительных особенностей систем с ЦВМ.

Коэффициенты передачи АЦП -  и ЦАП -  обычно выбираются так, что .

Поэтому при расчетах систем с цифровым управлением АЦП можно рассматривать как идеальные ключи, работающие с периодом T, а ЦАП - как формирователь прямоугольных импульсов. Длительность этих импульсов равна периоду квантования по времени T, а амплитуда .

Это позволяет представить расчетную схему системы с цифровым управлением в виде, показанном на рис. 2.

Рис. 2.

На этом рисунке ЦУУ - это совокупность АЦП и ЦВ, а ПНЧ - приведенная непрерывная часть - совокупность ЦАП и НЧ. Если непрерывная часть системы имеет передаточную функцию , то приведенная непрерывная часть системы, согласно (14.21) описывается передаточной функцией

.

Коды  управления  вычисляются цифровым вычислителем в соответствии с некоторым алгоритмом. Этот алгоритм может выбираться на основе часто используемых типовых законов управления. Например, это может быть П-закон, при котором алгоритм вычисления управления  имеет вид

, (1)

где ­- отклонение, сигнал ошибки системы,  - параметр настройки цифрового устройства управления, реализующего П-закон. Очень часто алгоритм ЦУУ строится на основе ПИ-закона, при котором

. (2)

Здесь  и  - также параметры настройки ЦУУ, реализующего ПИ-закон. Создаются алгоритмы работы ЦУУ и на основе других типовых законов управления.

Как видно, при цифровой реализации указанных законов в соответствии с выражениями (1), (2) учитывается запаздывание на такт. Это запаздывание обусловлено затратами времени  на преобразование сигналов датчиков в цифровую форму, выполнение необходимых математических операций по расчету управления  и обратное преобразование цифровых кодов  в непрерывное управляющее воздействие.

Если время  мало по сравнению с периодом T следования импульсов , то им обычно пренебрегают. В этом случае в правых частях выражений (1), (2) и аналогичных им индекс  заменяется индексом k.

Чаще всего, однако, быстродействие современных ЦВ является недостаточно высоким, так что указанное запаздывание необходимо учитывать. В дальнейшем будем считать, что запаздывание близко к периоду следования импульсов управления, т.е.

 .(3)

Именно в этих случаях в дискретных алгоритмах учитывается запаздывание на один такт или один период T.

При выбранном законе управления, например в виде (1) или (2), задача синтеза сводится к определению численных значений его параметров настройки.

Однако в общем случае для обеспечения повышенных требований к качеству системы (например, второй или третий порядок астатизма, небольшое время регулирования и перерегулирование) простейшие законы управления оказываются недостаточными. В этом случае применяют более сложные алгоритмы вычисления , процедура синтеза которых включает определение и структуры, и параметров ЦУУ. Ниже рассматриваются некоторые из таких методов синтеза.

2. Модальное дискретное управление

При синтезе модального дискретного управления обычно предполагается, что объект управления (ОУ) задан своими уравнениями в переменных состояния, например, вида

, , (4)

где элементы матрицы A и векторов b и c имеют известные численные значения.

Однако при модальном управлении, в отличие от схемы, изображенной на рис. 2, в ЦВ вместо кодов  управляемой переменной поступают формируемые АЦП также с периодом T коды , соответствующие значениям всех переменных состояния ,  ОУ, которые измеряются специальными датчиками.

Дискретное модальное управление, по аналогии с непрерывным, ищется в виде

. (5)

Коэффициенты  необходимо выбрать таким образом, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы (4), (5) имели заданные значения.

Управление (5) является идеализированным в том смысле, что оно не учитывает указанных выше затрат времени в управляющем устройстве на измерение и преобразование сигналов, а также на расчет управления. Следовательно, управление (5), как отмечалось выше, можно применять, если указанные затраты времени, по крайней мере на порядок, меньше периода квантования T, и их влиянием на свойства системы управления можно пренебречь.

Рассматривая далее модальное управление, будем предполагать, что все переменные состояния  измеряются, преобразуются АЦП и поступают в ЦУУ.

Для вывода соотношений, позволяющих вычислить значения коэффициентов  в равенстве (5), найдем уравнение дискретной системы с модальным управлением. Для этого подставим равенство (5) в уравнение (4). В результате будем иметь

 .(6)

Далее найдем характеристический полином замкнутой системы (6). Переходя в равенстве (6) к z-изображениям при нулевых начальных условиях и проведя очевидные преобразования, получим

.(7)

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (6) определяется выражением

.  (8)

С использованием свойств определителей [7. С. 192] правую часть этого равенства можно представить так

,  (9)

где

(10)

- характеристический полином заданного объекта управления (4). При этом полином  имеет степень  и содержит ровно n произвольных коэффициентов,  

Степень характеристического полинома замкнутой системы также равна  т.е. равна числу варьируемых коэффициентов в управлении (5). Поэтому выбором этих коэффициентов можно обеспечить любые заданные значения корней характеристического полинома (8) или (9).

В общем случае это можно осуществить, если объект (4) является полностью управляемым, т. е. если , где матрица . При этом процедура расчета коэффициентов  из (5) полностью аналогична этой процедуре в непрерывном случае (см. § 7.2).

В частности, если заданное уравнение (4) объекта представлено в канонической управляемой форме [5. С. 35], то полином

. (11)

В этом случае коэффициенты  в соответствии с выражениями (9) - (11) определяются по формулам

 , ,(12)

где  - коэффициенты желаемого полинома, корни которого равны заданным (желаемым) полюсам замкнутой системы.

Пример 1. Для объекта

(13)

найти управление (5), при котором корни характеристического уравнения замкнутой системы будут равны , .

Решение. Прежде всего, отмечаем, что в данном случае уравнение объекта представлено в канонической управляемой форме, поэтому коэффициенты его характеристического полинома  равны ; , а корни , . Так как один из корней больше единицы по модулю, то заданный объект без управления является неустойчивым. Поэтому модальное управление должно быть стабилизирующим.

Желаемый полином, корни которого равны заданным, очевидно, имеет вид

,

В данном случае уравнение объекта представлено в канонической управляемой форме, поэтому по формулам (12) находим

, .

Следовательно, искомое модальное управление определяется выражением

.

Проверим полученный результат. Подставляя найденное управление в уравнение (13) при , получим

.

Отсюда следует, что характеристический полином синтезированной системы равен

.

Таким образом, при найденном управлении корни характеристического уравнения (полюсы) замкнутой системы имеют заданные значения, т. е. качество процесса управления соответствует заданным полюсам.

3. Модальное управление с запаздыванием

Предположим теперь, что быстродействие ЦВ не велико, поэтому время  на преобразование сигналов и расчет управления, в соответствии с условием (3), сравнимо с периодом квантования. В этом случае запаздыванием пренебречь нельзя и модальное управление берется в следующей форме:

 . (14)

Здесь для вычисления значения управления, соответствующего моменту времени , используются данные, полученные в -м такте. Уравнение замкнутой системы (4), (14), очевидно, имеет вид

.