Материал: Синтез дискретных систем управления

Запишем это уравнение в z-изображениях при нулевых начальных условиях ()

.

Умножим обе части этого равенства на z и приведем подобные. В результате получим

.

Снова используя указанное выше свойство определителей, заключаем, что в данном случае характеристический полином замкнутой системы определяется выражением

 . (15)

Отсюда следует, что при наличии запаздывания в ЦУУ на один такт степень характеристического полинома замкнутой системы равна , а число варьируемых коэффициентов модального управления с запаздыванием (14), по-прежнему, . Следовательно, для обеспечения произвольного расположения всех корней характеристического полинома не хватает одного коэффициента.

Поэтому при использовании управления (14) (с запаздыванием на один такт) можно обеспечить только такое расположение корней характеристического уравнения (15) замкнутой системы, при котором один из коэффициентов её характеристического полинома равен соответствующему коэффициенту характеристического полинома (10) заданного дискретного объекта управления (4).

Рассмотрим процедуру расчета коэффициентов  в управлении (14) на следующем примере.

Пример 2. Предположим объект управления тот же, что и в предыдущем примере, т.е. описывается уравнениями (13). Найти одно из возможных дискретных модальных управлений с запаздыванием на такт, при котором обеспечивается устойчивость замкнутой системы.

Решение. В данном случае , поэтому в соответствии с выражением (14) управление

.(16)

При этом характеристический полином замкнутой системы согласно (15), с учетом того, что , равен

.

Так как

,

то подставляя в предыдущее выражение, найдем

.(17)

Таким образом, корни характеристического полинома замкнутой системы нужно задать так, чтобы их сумма равнялась 1,5. При этом для обеспечения устойчивости замкнутой системы модуль каждого из них, в соответствии с условием (14.46), должен быть меньше единицы.

В данном случае корни можно задать, например, так: ;

; . Тогда желаемый полином

. (18)

Сравнивая полиномы  (18) и  (17), получаем

; .

Следовательно, искомое управление с запаздыванием на такт имеет вид .

Как и выше, для проверки полученного результата подставим найденное управление в уравнение объекта (13). В результате получим

.

Перейдя в этом выражении к z-изображениям, найдем, что характеристический полином синтезированной замкнутой системы определяется выражением

.

Сравнивая полученный полином с выражением (18), заключаем, что синтезированная дискретная система имеет заданные при её синтезе корни характеристического уравнения.

На основе изложенного можно заключить, что в случае дискретного модального управления с запаздыванием на такт не всегда можно обеспечить заранее заданное расположение полюсов дискретной системы.

Действительно, если коэффициент  характеристического полинома (10) заданного объекта (4) не будет равен сумме n заданных чисел, то задача определения коэффициентов управления (14), очевидно, не будет иметь решения. В этих случаях для построения модального управления необходимо более точно учитывать запаздывание, вносимое АЦП, ЦВ и ЦАП, непосредственно при выводе уравнения дискретной модели объекта.

Отметим также, что при синтезе астатических систем с модальным управлением выбор желаемых корней характеристического полинома должен удовлетворять дополнительному условию астатизма заданного порядка дискретных систем управления (см. § 14.8).

Кроме того, как отмечалось выше, для реализации модального управления типа (5) или (14) необходимо прямое измерение всех переменных состояния объекта управления.

В целом же можно считать, что модальное управление при определенных условиях позволяет обеспечить желаемое расположение полюсов дискретных САУ, но предполагает доступность прямому измерению всех переменных состояния системы. При этом для получения приемлемого качества процесса управления необходимо выбирать желаемые значения полюсов так, чтобы переходный процесс системы был близок к желаемому. Как правило, это требует нескольких итераций. В этом смысле рассмотренный далее метод синтеза по желаемым показателям качества является более рациональным, тем более, что он не требует измерения переменных состояния.

4. Синтез дискретных систем по заданным показателям качества

В рассматриваемом ниже методе синтеза предполагается, что в соответствии с техническим заданием необходимо синтезировать систему управления с астатизмом первого порядка по задающему воздействию и с определенными первичными показателями качества такими, как время регулирования и перерегулирование. Фактически здесь требуется найти разностное уравнение, описывающее алгоритм работы ЦУУ, при котором указанные первичные показатели качества синтезируемой замкнутой системы будут не хуже заданных.

Перейдем к изложению метода синтеза. При этом будем считать, что структура проектируемой системы управления соответствует, приведенной на рис. 1, причем выполняются все указанные в начале данной главы предположения в отношении АЦП и ЦАП так, что расчетную схему синтезируемой системы с цифровым управлением можно представить в виде, показанном на рис. 3.

Рис. 3

Передаточная функция  дискретного объекта управления (ДОУ) может быть получена описанными в § 14.3 способами либо из уравнений в переменных состояния непрерывной части системы по формулам (14.3) - (14.10), (14.15), либо на основе его передаточной функции  по формуле (14.21) (см. § 14.4).

При цифровом управлении длительность импульсов ЦАП равна периоду следования Т, поэтому эта формула значительно упрощается и принимает вид

, (19)

где Z - символ z-преобразования, а T - период следования импульсов на выходе ЦУУ, ,  - некоторые полиномы.

В дальнейшем будем считать, что эти полиномы известны. Обозначим , .

Равенству (19) соответствует следующее уравнение вход-выход дискретного объекта управления:

.(20)

Так как, согласно рис. 3, на вход ЦУУ поступают переменные  и , а на его выходе формируется , то уравнение ЦУУ с учетом запаздывания на период можно записать так:

,(21)

где , , - некоторые неизвестные полиномы. Именно эти полиномы должны быть найдены в результате решения задачи синтеза, так как переход от уравнения (21) к соответствующему алгоритму работы ЦУУ типа (1), (2) или (16) при выполнении условий физической реализуемости не представляет каких-либо сложностей.

Множитель  в правой части (21), в соответствии с условием (3), учитывает запаздывание на такт, которое возникает в ЦУУ из-за указанных выше затрат времени на определение . Поэтому условия физической реализуемости уравнения (21) имеют вид

, . (22)

Для удобства введем обозначения , , . Тогда условия (22) будут эквивалентны неравенствам

, . (23)

В общем случае степени и коэффициенты полиномов ,  и  в (21) можно определить, исходя из различных условий. Например, это можно сделать по указанным в главе 14 условиям астатизма и минимальной, конечной длительности переходных процессов.

Перейдем к изложению соответствующей методики синтеза дискретных систем (20), (21) с ЦУУ.

Необходимые качества синтезируемой системы управления учитываются в процедуре синтеза с помощью желаемой передаточной функции

,  (24)

где  и  - некоторые полиномы, а k - целое число.

В рассматриваемом методе синтеза функция  (24) определяется по передаточной функции  вспомогательной непрерывной системы, порядок астатизма которой по отношению к задающему воздействию - , время регулирования -  и перерегулирование -  совпадают с заданными значениями этих показателей ,  и  для проектируемой дискретной системы (20), (21) с ЦУУ.

Передаточная функция  определяется следующим образом. Из табл. 6.1 нормированных передаточных функций по степени n полинома А(z) из (20), порядку астатизма  и перерегулированию  выбираются коэффициенты ,  нормированной передаточной функции

. (25)

Здесь  - временной масштабный коэффициент.

Из этой же таблицы выбирается значение времени регулирования , которое используется для вычисления требуемого значения коэффициента  по формуле

 ,(26)

Подставляя полученное значение  в (25), найдем желаемую передаточную функцию , т.е.

.(27)

Далее находятся полиномы  и  желаемой передаточной функции (24) дискретной системы по формуле, аналогичной (19):

 . (28)

Z-преобразование в (28) можно также выполнить описанным в разделе 14.3 способом по формулам (14.3) - (14.10), (14.15), записав соответствующие передаточной функции  уравнения в переменных состояния.

Таким образом, с помощью соотношений (25)­­-(28) определяются полиномы  и  желаемой передаточной функции  (24), при которой проектируемая дискретная система имеет требуемые порядок астатизма, перерегулирование и длительность переходных процессов (при запаздывании в ЦУУ на один период). При этом параметр k остается пока неизвестным.

Следующий этап рассматриваемой методики синтеза связан с реализацией найденной передаточной функции , т.е. с определением полиномов ,  и  из уравнения ЦУУ (21). Эти полиномы удобнее всего определить путем приравнивания  и передаточной функции системы (20), (21). При этом для выполнения условий физической реализуемости передаточной функции  рассматриваемой системой с частично заданной структурой (рис. 3) числитель и знаменатель этой передаточной функции необходимо [5] умножить на полином . В результате получим

.(29)