Многие из расчетных методов, базирующихся на математических моделях массива горных пород, разработаны лишь в первом приближении. Поэтому для случаев не плоской, а пространственной задачи деформирования пород над горными выработками неправильной формы для практических целей поль зуются упрощенными эмпирическими приближенными расчетными методами, разработанными на основе данных непосредственных маркшейдерских наблю дений. При использовании как математических моделей массива горных пород, так и эмпирических методов следует различать две группы способов расчета; в одной из них рассматривается развитие процесса сдвижения во всем горном массиве, а в другой — только сдвижения в пределах ограничивающей этот мас сив горизонтальной плоскости, например нижней поверхности непосредствен ной кровли или земной поверхности.
3.2.
Расчет конвергенции в очистной выработке
Сдвижения горных пород возникают и начинаются в плоскости разрабатывае мого пласта, и происходящее там оседание непосредственной кровли является исходной величиной для расчета оседаний во всех вышележащих слоях горных пород. Объем, ограниченный поверхностью непосредственной кровли до и после ее опускания, соответствует объему мульды оседания любого слоя пород гор ного массива с учетом уменьшения за счет разрыхления нарушенных пород кровли и деформаций упругого расширения и уплотнения при изгибе.
Опускание слоев пород непосредственной и основной кровли в выработан ное пространство можно упрощенно представить как упругий прогиб плиты или балки, а также как перемещение частиц в рыхлой среде несвязных пород или как процесс течения материала в теле, описываемом реологической моделью Кельвина.
3.2.1.
Модель основной кровли в виде балки, опертой на основание
Т е о р и я п л и т ы и л и т е о р и я в о л н ы д а в л е н и я основы вается на предположении, что основная кровля (рис. 31) прогибается подобно балке бесконечной длины, опирающейся на упругое основание и изгибающейся волнообразно под действием сосредоточенной нагрузки F , приложенной в точке
с абсциссой |
х = 0, в |
соответствии |
с уравнением |
|
сл = w = ke~Sx(cos sx + |
sin sx), |
(13) |
||
где |
Fs |
|
|
|
k = |
|
|
(1 4 ) |
|
2cbb |
• |
|
||
Коэффициент к косвенно учитывает реакцию q нагруженного основания, которая в соответствии с гипотезой Винклера
Рис. 31.
Линия упругого прогиба балки бес конечной длины на упругом осно вании, нагруженной в середине со средоточенной силой F
должна возрастать по линейному закону пропорционально степени уплотнения
в соответствии с коэффициентом постели сг (Н/см3), |
а также ширину балки b |
||
и г и б к о с т ь |
/ |
/ |
|
|
|||
. cbb |
' (1 6 ) |
||
1 |
|||
’ - V - 4EI |
|||
Если в уравнение (13) подставить произведение sx — 3/4л = 135°, то выра жение в скобках будет равно нулю; это означает, что в точках с координатами
sx = |
3/4я = 2,36 нагрузка F не оказывает влияния на упругое основание |
(w = |
0). |
|
В физическом смысле ширина площади полной подработки — лучше наз |
вать ее полной длиной 2Л —*достигается, когда обе опоры в краевой зоне пласта не оказывают влияния на опускание кровли и на распределение нагру зок в середине очистной выработки. В соответствии с применяемым в сопроти влении материалов понятием «длина волны»S
(17)
S
практически это будет иметь место в точках с координатами х = R = X/2 = = ЗЛА/s, если пренебречь волнообразной линией, колеблющейся относительно оси абсцисс с затухающей амплитудой, которая при сложенной песчаником упругой основной кровле может проявиться в зоне опорного давления как волна давления (волна Вебера). В точке приложения сосредоточенной нагрузки F,
имеющей |
абсциссу х = |
0, будет иметь место максимальный прогиб |
Wо- |
Fs |
(1 8 ) |
2сьЬ |
Если учесть найденную для предварительно уплотненной закладки линей ную зависимость коэффициента постели от возрастающего давления, имеющую вид
сь = 0,176^, |
(19) |
то из выражений (16) и (19) получим
W ° / 0.35£ 7Ь* |
(20) |
|
Рис. 32.
Распределение вертикальных сжи мающих напряжений над выра ботанным пространством в соот ветствии с формулой (21):
1 — зона опорного давления; II — вы работанное пространство, заполненное закладкой; J — основная, кровля; 2 — постель; р — равномерно распре деленная нагрузка
Таким образом, опускание непосредственной кровли w0 в центре отработан ной площади, если принять допущение о том, что кровля прогибается под дей ствием сосредоточенной нагрузки, будет пропорционально только корню чет вертой степени из F , чем и объясняется известный факт, что на глубинах более 400 м коэффициент оседания и максимальная конвергенция в выработанном пространстве мало зависят от глубины.
Если нужно учесть различие в характере реакции основания, предста вленного угольным пластом или закладкой, то для определения давления на закладку пород кровли, нагруженных равномерпо^распределеннби нагруз
итГрТ' можно воспользоваться для |
случая полной подработки выражением |
||
о = |
yh j^l — e~s:v ^-^т—j sin sx + cos |
J , |
(21) |
где s и |
sr — гибкость соответственно |
основания, представленного |
закладкой, |
и опирающейся на угольный пласт кровли. В соответствии с этим давление возрастает от контура очистной выработки (х = 0) по направлению в глубь поля закладки от о = 0 до максимального значения, равного р = yh, причем изменение его происходит волнообразно, напоминая график гармонических ко лебаний (рис. 32). Имея вычисленные значения давления в различных точках, можно получить значение конвергенции в точке с абсциссой х из линейной зависимости
?2)
если известен показатель жесткости закладки Es.
Экспоненциальная кривая получается также для линии прогиба мощного слоя кровли, равномерно нагруженного весом пород покрывающей толщи и опирающегося на упругое основание, представленное закладкой или угольным пластом, если прогиб вызывается главным образом действием перерезывающей силы Q (нагрузка р и реакция основания Cw или Crw) и если можно пренебречь действием изгибающего момента. Тогда, если принять, что кривизна ci-wtdx2 пропорциональна углу скольжения у, т. е. углу наклона плоскости сечения,
ранее ориентированной вертикально, дифференциальное уравнение прогиба кровли примет вид
rf2W _ |
|
3 |
Q |
|
|
|
(23) |
~ |
~2GS~ ^ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
где у = хIG, т = |
3Q/2S для площади прямоугольного сечения S и Q — Crw —р |
||||||
в зоне опорного давления или Q = |
Cw — Cw0 — р в выработанном простран |
||||||
стве с закладкой. |
|
|
|
|
|||
Отсюда для линии прогиба слоя пород основной кровли над площадью |
|||||||
полной подработки |
(х ^ |
0) получаем выражение |
|||||
w = Р |
, |
Р |
/ т + п |
е -пх |
)• |
(24) |
|
С' |
' |
С |
\ |
т |
|
|
|
а для линии прогиба над выработанным пространством с закладкой (х < 0 ) - выражение
где
p = yh, Н/см2, m = V?>C’l2GS и п = V^C/2GSy
С' н С — коэффициенты постели соответственно угольного пласта и закладки. Что касается закономерностей опускания кровли на неупругом основании, то в некоторых работах они рассматриваются с использованием приближенных
методов, однако в связи с громоздкостью вывода формул мы на них останавли ваться не будем.
В отличие от описанных представлений, в действительности действующая на породы основной кровли нагрузка не является ни сосредоточенной в центре очистной выработки, ни равномерно распределенной. Фактически основная кровля представляет собой не балку, а плиту, нарушенную ориентированными по нормали или под углом к напластованию трещинами и вследствие этого име ющую в разных местах разную изгибную жесткость. Кроме того, закладка под действием давления со стороны кровли деформируется неупруго, так что применение гипотезы Винклера неправомерно, не говоря уже о том, что элемен тарная нагрузка dqx, действующая в точке с абсциссой х, вызывает не ограни ченную данной точкой «ступень оседания» dwx (теория первого порядка), а вслед ствие пространственной передачи сжимающих напряжений и бокового уплот нения (сжатия) закладки оказывает влияние на оседание соседних «ступеней» (теория второго порядка). Поэтому приведенные выше уравнения линии про гиба могут служить лишь грубым приближением, основанным на упрощенных предпосылках, принятых для данной модели кровли и приближенно справед ливым только для условий выемки площади полной подработки. В настоящее время разрабатывается метод расчета при неполной подработке, основанный на теории упругой балки бесконечной длины, в котором учитываются как раз личный характер реакции основания в очистной выработке с площадью непол ной подработки (плотность закладки) в зоне опорного давления, так и неравно мерное распределение нагрузки от пород основной кровли.
3.2.2.
Модель основной кровли
ввиде несвязной (блочной или сыпучей) среды
Ес л и , в противоположность упругой среде, в качестве другого крайнего случая
представить массив горных пород состоящим из несвязных частиц, т. е. в виде блочной или сыпучей среды, то на площади выемочного участка будет действо вать масса у столба горных пород ABDC (рис. 33), уменьшенная на величину трения по линиям АС и BD. Если представить себе в пределах этого породного столба элемент EFGH, имеющий высоту dz, и составить уравнение равновесия сил, действующих на этот элемент, то получим выражение, определяющее на грузку на единицу площади кровли в отработанном поле с закладкой, имеющем ширину 2Ъ:
A уЪtgp (1 — е-я tgp |
(26) |
где р — угол внутреннего |
трения пород; К — определяемый эмпирическим |
путем показатель, близкий к единице. Для выработок небольшой ширины мож но пользоваться формулой, применяемой для расчета силосов,
A.tgp
Если принять допущение о равномерном распределении нормальных напряжений в кровле в уровне закладки для несвязной среды, то конверген- лию.-(величину опускания кровли в виде уступа) можно определить из выра жения
w = |
1 |
уЪ |
о е |
-XtgpO- |
(28) |
Ks >itgp |
ь )■ |
||||
Конвергенция с увеличением ширины выемочного поля b будет постепенно возрастать до своего предельного значения wmax = yh/Es. Таким образом, в горном массиве блочной или сыпучей структуры закладка в очистной выработке будет уплотняться под действием давления пород кровли не по линии прогиба,
Рис. 33.
Условие равновесия сил, действующих на эле мент горного массива, сложенного несвязными породами, заключенный между двумя вертикаль ными плоскостями скольжепня:
] — элемент массива; 2 — очистная выраПотк.