Материал: sb000238

Заметим, что в методической литературе часто встречаются «другие методы» решения линейных уравнений. По сути они являются просто другой записью метода вариации произвольной постоянной и опираются на тот факт, что сначала можно решить линейное однородное уравнение. Самый популярный из таких методов обычно начинается словами: «Будем искать решение в виде y u v …».

Разберем линейное уравнение первого порядка на примере

y 2 y 32 . x x

Сначала решается линейное однородное уравнение

y 2x y.

Пропустим подробное описание решения (оно аналогично описаниям, указанным в примерах 2.1) и сразу напишем, что уравнение эквивалентно

После упрощений приходим к общему решению однородного уравнения: y Cx2.

Далее ищем общее решение неоднородного уравнения в виде y c(x)x2.

Находим c(x) , подставив это выражение в исходное уравнение:

Осталось переписать ответ в канонической форме (на практике часто опускают это действие):

y 1x Cx2.

16

2.4. Уравнения Бернулли

Уравнениями Бернулли называются уравнения вида y p(x)y q(x)ym,

где m 0 и m 1 (сходство уравнений Бернулли с линейными уравнениями и так очевидно, а в этих случаях получаются просто линейные уравнения). Уравнения Бернулли типичные примеры расширения множества уравнений, решаемых явно. Небольшая модификация линейного уравнения легко «исправляется» заменой переменных (тот самый редкий случай, когда замена все же приводит к успеху).

Итак, если разделить данное уравнение на ym (при этом обязательно нужно проверить, не теряем ли мы решения), то получим:

Теперь уже очевидно, что заменой

z y1 m

это уравнение сводится к линейному уравнению

которое решается, например, методом вариации, разобранным в 2.3. Продемонстрируем сказанное на примере:

y 2xy 4x3y3.

Разделим уравнение на y 3. Заметим, что при делении могло потеряться решение y 0. Подставив его в исходное уравнение, получим 0 0, т. е. верное соотношение. Таким образом, y 0 действительно является решением исходного уравнения. Следовательно,

Сделаем в первом уравнении замену z y12

17

и выпишем получившееся линейное неоднородное уравнение отдельно:

Сначала решается линейное однородное уравнение z 4xz .

После разделения переменных и небольших стандартных упрощений приходим к общему решению однородного уравнения:

z C e2x2 .

Далее ищем общее решение неоднородного уравнения в виде z c(x)e2x2 .

Подставляя это выражение в само уравнение, находим c(x) :c(x)e2x2 4xc(x)e2x2 8x3 ,

или

c (x)e2x2 4xc(x)e2x2 4xc(x)e2x2 8x3.

Заметим, что выражение 4xc(x)e2x2 сокращается (так и должно быть!), и получаем соотношение

3.ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

3.1. Решение однородных уравнений

Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными ко-

эффициентами это уравнения вида

Введем обозначение для правой части уравнения:

Ly y ay by .

Такую функцию от функций принято называть оператором. Теперь само уравнение можно записать так:

Ly 0.

Заметим, что оператор L очень просто действует на показательную функцию f (x) e x :

Le x e x 2 a b .

Таким образом, некоторые решения уравнения Ly 0 можно получить, пола-

гая равным корню уравнения 2 a b 0. Ввиду важной роли этого квадратного уравнения оно получило название характеристического уравнения. Простые соображения, связанные с линейностью множества решений и теоремой единственности для задачи Коши, гарантируют, что возникающие таким образом два решения почти всегда образуют базис в пространстве решений.

В зависимости от вида корней следует различать три случая:

1. Характеристическое уравнение имеет различные вещественные корни1, 2 . Тогда общее решение уравнения имеет вид

y C1e 1x C2 e 2x ,

здесь С1, С2 произвольные постоянные.

2. Характеристическое уравнение имеет кратный корень 1 2 . Формально второе решение брать неоткуда, но легко проверить, что функция

f (x) xe 1x

также является решением. Как и в первом случае, общее решение уравнения имеет вид

y C1e 1x C2x e 1x .

19

3. Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней 1 i , 2 i . Решение можно записать так же, как и в первом случае, но оно окажется комплексным. Чтобы избавиться от комплексной структуры, достаточно воспользоваться формулами Эйлера:

позволяющими записать общее решение в виде

y e x C1cosx iC2 sinx .

Разберем сказанное на примерах.

Пример 1. Решить задачу Коши: y 5y 6y 0 , y(0) 1, y (0) 2. Cоставим характеристическое уравнение:

2 5 6 0.

Очевидно, что его корнями являются 1 2 и 2 3. Поскольку корни вещественны и различны, общее решение однородного уравнения имеет вид

Таким образом, решением поставленной задачи Коши является функция y e2x.

Пример 2. Решить задачу Коши: y 6y 9y 0 , y(0) 2, y (0) 1.

Характеристическим уравнением является