Материал: sb000238

геометрический смысл и решения уравнения y x y2. Известен факт, что

эти решения невозможно выписать не только в явном, но даже и в неявном виде. Читателю предлагается в качестве упражнения доказать, что нулевой изоклиной для данного дифференциального уравнения (т. е. кривой, в каждой точке которой какое-то решение имеет горизонтальную касательную) являет-

ся кривая x y2 (для этого достаточно просто приравнять производную к нулю). Можно также проверить, что кривая перегибов в данном случае (т. е.

6

кривая, каждая точка которой является точкой перегиба какого-либо из ре-

шений) это кривая x y2 21y (сначала нужно выразить вторую произ-

водную через x и y , а затем приравнять ее к нулю).

1.3.Условия единственности решения. Задача Коши

Вбольшинстве ситуаций, возникающих при решении дифференциальных уравнений, важно иметь дополнительные условия, гарантирующие единственность решения. Приведенные в 1.2 примеры позволяют предположить, что для этого достаточно знать, что решение проходит через заданную точку области, где определена функция f (x, y) . Эта гипотеза «почти верна», точ-

нее справедлива следующее утверждение [2], называемое теоремой сущест-

вования и единственности решения дифференциального уравнения: если в некоторой области плоскости функции f (x, y) и f y (x, y) непрерывны, то

через каждую точку области проходит одно решение дифференциального уравнения y f (x, y).

Ситуация, когда решение дифференциального уравнения единственно, очень важна, и для нее есть специальное название задача Коши:

y f (x, y), y(x0) y0,

которая состоит в том, чтобы найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию (проходящее через заданную точку).

7

Теорема единственности и постановка задачи Коши переносятся на дифференциальные уравнения высших порядков:

и на системы дифференциальных уравнений:

Условия теоремы можно ослабить, но это требует введения дополнительных определений. Доказательство теоремы основано на построении последовательности приближений к решению. Доказательство сходимости такой последовательности трудное и неконструктивное. Устанавливается только факт сходимости, алгоритма поиска решения не предлагается. Однако методы построения приближенного решения служат базой для многочисленных приемов численного решения задачи Коши. Далее рассмотрим наиболее важный алгоритм [3].

8

Стоит отметить, что в численных методах метод Эйлера не применяют изза плохой сходимости. Однако небольшая модификация метода, позволяющая использовать для построения аналога касательной несколько точек, исправляет этот недостаток. Такие методы называются методами Рунге Кутты.

Явное (аналитическое) решение дифференциального уравнения – ситуация довольно редкая (основным типам уравнений первого порядка, интегрируемым в квадратурах, посвящены 2.1 2.4). Объемный справочник [4] дает правильное представление об этом. Из многочисленных примеров в нем видно, что стоит немного изменить уравнение и возможность его явного решения исчезает. При построении моделей тех или иных процессов, основанных на дифференциальных уравнениях, очень важно на начальном этапе так упростить модель, чтобы описывающее ее дифференциальное уравнение было достаточно простым. К таковым в первую очередь принадлежат линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Понимание того, как можно получить решение такого уравнения, необходимо для правильного использования таких моделей.

С точки зрения математики эти уравнения хороши тем, что сравнительно легко переписываются в эквивалентные линейные алгебраические решения. Решению таких дифференциальных уравнений посвящены 3.1 3.3.

2. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения,

которые при помощи тождественных преобразований могут быть приведены к виду

g(x)dx h(y)dy

(отсюда и происходит название переменные как бы «разделились»). Теорема об интеграле с переменным верхним пределом гарантирует наличие первообразных G(x) и H (y) , для которых выполняется равенство

G(x) H (y) C.

Теперь из теоремы о неявной функции вытекает существование функции y y(x), обращающей это равенство в тождество. (На практике зачастую

данный шаг либо затруднителен, либо не приводит к существенному упрощению записи ответа. В этом случае его опускают.)

9

Продемонстрируем приведенный алгоритм на примерах из предыдущего параграфа:

1. y xy .

Распишем производную через дифференциалы. Получаем соотношение dydx xy .

Далее перенесем все y в левую часть, а все x в правую. Заметим, что при

делении на x решения не теряются (кривая x 0 не являлась решением исходного уравнения, поскольку dx стоял в знаменателе). Следовательно,

ydy xdx .

После интегрирования приходим к окончательному ответу:

Произвольная постоянная была переобозначена. Это допустимо, поскольку 2C, как и C, принимает любые значения.

2. y xy .

Распишем производную через дифференциалы. Получаем соотношение dydx xy .

Далее перенесем все y в левую часть, а все x в правую. Заметим, что при делении на y могло потеряться решение y 0. Подставив его в исходное уравнение, получим 0 0, т. е. верное соотношение. Таким образом, y 0 действительно является решением исходного уравнения. Следовательно,

dy dx ,

y xy 0,

где квадратными скобками обозначено объединение множеств решений. Вычисляя интегралы, получаем:

ln | y | ln | x | C,

y 0,

10