Материал: sb000238

УДК 517.9

Дифференциальные уравнения: метод. указания к самостоятельным работам по одноименной дисциплине / сост.: А. В. Железняк, А. С. Колпаков, А. М. Коточигов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013. 32 с.

Содержат основные теоретические сведения и примеры решения задач по темам «Дифференциальные уравнения первого порядка» и «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами».

Предназначены для студентов первого курса дневной формы обучения.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2013

ВВЕДЕНИЕ

Возможность моделировать процесс, связывая в уравнение его числовые характеристики со скоростью их изменения, впервые появилась в XVI в. в работах Галилея и к концу XVII в. приобрела четкие очертания в работах Ньютона. Импульс, данный этим открытием научному и техническому прогрессу, невозможно переоценить. Проникновение этих идей в различные сферы человеческой деятельности неуклонно растет и приносит замечательные плоды.

Соотношения, связывающие функцию с ее производной, получили естественное название дифференциальные уравнения. Описание дифференциальным уравнением процесса открывает широкие возможности для контроля и управления его течением. Конечно, это предполагает существование решения дифференциального уравнения. Со времен Ньютона множество людей занималось этой проблемой. Она была и остается очень трудной. Некоторые классы дифференциальных уравнений удается решать аналитически, т. е. по определенному алгоритму, явно выписывая ответ. Почти все такие классы были обнаружены на начальном этапе развития теории. Наряду с этим, чем дальше, тем больше, развиваются численные методы решения дифференциальных уравнений.

Цель данных методических указаний изложить методы решения простейшего типа дифференциальных уравнений, а именно линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (точное определение будет приведено далее). Такое сужение вопроса оправдано тем, что процесс моделирования, как правило, начинается с упрощенных ситуаций, в которых таких уравнений вполне достаточно. Кроме того, начинать изучение любого нового предмета надо с азов, составляющих его основу. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами составляют такую основу для дифференциальных уравнений в целом.

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

1.1. Математическая постановка задачи

Начнем с классификации дифференциальных уравнений. Современная теория, методы решения и приложения настолько обширны, что без терминологии, характеризующей природу уравнений, невозможно обойтись. Дифференциальные уравнения, в которых участвуют функции многих перемен-

3

ных и, следовательно, содержащие частные производные, называют уравне-

ниями в частных производных, или уравнениями математической физики.

Это совершенно самостоятельный раздел теории, использующий более сложный математический аппарат. Здесь такие уравнения не рассматриваются.

Дифференциальные уравнения, содержащие функцию одной переменной и ее производные, называют обыкновенными дифференциальными уравнения-

ми. Это название никак не характеризует сложности задач, а только отделяет уравнения с одной независимой переменной от уравнений в частных производных. Максимальный порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Так же, как в случае алгебраических уравнений, из дифференциальных можно составлять системы. Совсем просто показать, что всякое дифференциальное уравнение n -го порядка эквивалентно системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Это позволяет строить основы обшей теории для уравнений первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют выражение

вида

F(x, y, y ) 0.

Теорема о неявной функции [1] «сводит» любое такое уравнение к виду y f (x, y).

Отметим и другую форму записи того же уравнения, «уравнивающую в правах» обе переменные:

M (x, y)dx N(x, y)dy 0

(это сразу следует из того, что y dydx ).

Дифференциальные уравнения сложный объект. Необходимо определить, что называется решением дифференциального уравнения. Функция y y(x) решение уравнения y f (x, y), если:

1)y (x);

2)f (x, y(x)) y (x) (т. е. равенство выполнено при всех x ).

Надо иметь в виду, что это определение фактически ссылается на теорему о неявной функции в том смысле, что решением признается любое выражение вида (x, y) 0 и проверка условий 1), 2) осуществляется с помощью этой теоремы.

4

1.2. Геометрический смысл дифференциального уравнения

Для понимания природы дифференциальных уравнений и методов их решения важно знать геометрический смысл решения. Если функция y y(x) решение дифференциального уравнения y f (x, y), проходяще-

го через точку (x0, y0), то в этой точке график решения имеет касательную:

y y0 f (x0, y0)(x x0), y0 y(x0).

Следовательно, даже не зная решения уравнения, можно провести касательную к решению в любой точке, где определена функция f . Это обстоятельство позволяет придать геометрический смысл дифференциальному уравнению. Пусть в каждой точке (x, y) плоскости (или некоторого подмножества плоскости) задан вектор (x, f (x, y)) . Тогда решением уравнения будет любая кривая, которая в каждой точке имеет касательную, содержащую заданный в точке вектор. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие это утверждение.

Пример 1. Простейшее дифференциальное уравнение y f (x) . Это

уравнение можно рассматривать как определение первообразной, и поэтому его решением будет функция

x

y(x) y(x0) f (x1)dx1 .

x0

Постоянная y0 y(x0) может быть произвольной, значит, множеством всех

решений будет соответствующий неопределенный интеграл. Опишем геометрический смысл данного дифференциального уравнения: в каждой точке (x, y) плоскости задан вектор (1, f (x)); требуется провести кривую, касательная которой совпадает с направлением вектора. Отметим важное свойство полученных решений: через каждую точку плоскости проходит одноединственное решение.

Пример 2. Геометрический метод решения дифференциальных уравнений.

Прямое использование такого метода возможно только для очень простых множеств направлений. Примером такой ситуации может служить множество направлений, у которого в каждой точке вектор ортогонален отрезку, соединяющему точку с началом координат. Заметим, что такое определение теряет смысл в начале координат, поэтому эту точку придется исключить. Для любой другой точки (x0, y0) решением, проходящим через нее, будет окруж-

5