Материал: sb000238

где C произвольная постоянная. Потенциируя первое равенство, упрощаем ответ:

Теперь осталось заметить, что так как C пробегает все вещественные числа, то eС пробегает все положительные числа, а eС все отрицательные. Таким образом, решение можно записать в виде

y Cx,

где C в этом случае любое вещественное число. 3. Решить задачу Коши y xy , y(1) 2.

Сначала решается дифференциальное уравнение (пример 1): x2 y2 C .

Далее, исходя из начального условия, находим постоянную C : 12 22 C C 5.

Осталось заметить, что так как y не может равняться нулю (он стоял в знаменателе исходного уравнения), то решением является лишь верхняя половина окружности x2 y2 5 (именно в верхней полуплоскости лежит точка (1, 2) ). Ответом задачи Коши является кривая

2.2. Однородные уравнения

Однородными называются уравнения, которые с помощью тождественных преобразований могут быть приведены к виду

y f y .x

Замена переменной

u xy

11

сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Так как y(x) u(x)x, то y (x) u (x)x u(x). Следовательно, получаем уравнение

u x u f (u), или u x f (u) u.

Это и есть уравнение с разделяющимися переменными. Далее применяем уже изученный алгоритм:

(при этом не надо забывать следить за тем, теряются ли решения) и т. д. Заметим, что, вообще говоря, замена переменной в дифференциальном

уравнении редко приводит к успеху. В данном параграфе изучаются те некоторые классические типы уравнений, для которых несложные замены позволяют получить решение.

Уравнения из примеров 1 и 2 из 1.2 можно рассматривать как однородные, но это не упрощает их решения (оно и так было простым). Решим более сложное уравнение:

y y2 2xy x2 . y2 2xy x2

Заметим, что данное уравнение действительно является однородным. На практике это проще всего проверить, если заметить, что правая часть уравнения остается такой же при замене y на y и x на x . Это и означает, что фак-

тически правая часть зависит не от y и x по отдельности, а от частного y x . Каноническая замена приводит данное уравнение к виду

Разложив числитель правой части на множители, получим:

u x (u 1) u2 1 . u2 2u 1

Это уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что при «разделении» переменных теряется решение u 1, поэтому его также нужно будет включить в ответ:

12

Раскладываем дробно-рациональную функцию в сумму простейших дробей:

После интегрирования первого уравнения имеем:

Проделав несложные преобразования и переобозначив константу, запишем это выражение в виде

Наконец, сделаем обратную замену:

Множество решений данного уравнения весьма любопытно. Решения это окружности с центрами на прямой y x, проходящие через начало координат. Начало координат особая точка, через которую проходят все решения. Имеется и еще одно решение прямая y x (это «предел» окружностей при C ).

13

2.3. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации

Вероятно, самым важным типом дифференциальных уравнений являются так называемые «линейные дифференциальные уравнения». Оказывается, что многие свойства решений таких уравнений одинаковы независимо от порядка уравнения. Начнем со случая первого порядка, а далее перенесем наши рассуждения на уравнения старших порядков.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

ние вида

y p(x)y q(x).

В случае, если q 0, уравнение называется линейным однородным (не

стоит путать с однородными уравнениями из 2.2), в противном случае линейным неоднородным. Безусловно, проще решаются линейные однородные уравнения. Однако замечательным фактом является то, что решение неоднородного уравнения несложным образом получается из решения соответствующего ему однородного.

Изучим основной метод решения линейных неоднородных уравнений первого порядка, называемый методом вариации произвольной постоянной.

Итак, пусть нам дано неоднородное уравнение

y p(x)y q(x).

Сначала решается соответствующее ему однородное уравнение: y p(x)y .

Легко видеть, что линейное однородное уравнение всегда является уравнением с разделяющимися переменными. Решив это уравнение по алгоритму из 2.1 и проделав необходимые упрощения, приходим к ответу:

y C eh(x) ,

где h(x) фиксированная первообразная функции p(x) .

Доказано, что решение неоднородного уравнения всегда можно представить в виде

y c(x)eh(x) ,

где функция (на самом деле даже семейство функций) c(x) может быть найдена из условия, что y решает исходное неоднородное уравнение. Функция c(x) встала на место постоянной C , т. е. C начала «варьироваться» (меняться), отсюда и происходит название метода.

14

Найдем c(x):

c(x)eh(x) p(x)c(x)eh(x) q(x) ,

или

c (x)eh(x) c(x)h (x)eh(x) p(x)c(x)eh(x) q(x) .

Поскольку функция h(x) является первообразной для функции p(x) , равенство принимает вид

c (x)eh(x) q(x).

При решении линейных неоднородных уравнений стоит быть особенно внимательным именно в этот момент! Какие-то выражения обязаны сократиться. Если ничего не сократилось, значит, где-то в предыдущих вычислениях допущена ошибка. Обычно это свидетельствует о том, что неправильно определен тип уравнения, оно не является линейным.

Из последнего равенства уже без труда находится функция c(x) :

c(x) q(x)e h(x)dx .

Таким образом, решение неоднородного уравнения может быть найдено по формуле

y eh(x) q(x)e h(x) dx,

или, если выделить из семейства первообразных одну конкретную,

x

y C eh(x) eh(x) q(x1)e h(x1) dx1 . a

На самом деле полученная формула не очень удобна на практике. При решении линейных уравнений настоятельно рекомендуется не пользоваться ей, а просто следовать по описанному алгоритму. Однако формула выписана все же не просто так. Из нее можно увидеть, что множество всех решений ли-

нейного неоднородного уравнения (общее решение неоднородного уравнения)

представляется в виде суммы множества всех решений соответствующего линейного однородного уравнения (общее решение однородного уравнения) и

любого решения самого неоднородного уравнения (частное решение неоднородного уравнения). Этот замечательный факт будет использоваться и в линейных уравнениях старшего порядка.

15