Материал: sb000238

После упрощений получаем:

2Ae3x e3x A 12.

Общее решение неоднородного уравнения:

y y0 y* C1e3x C2xe3x 12 x2e3x.

Пример 5. Найти общее решение уравнения y 6y 13y 2x2 1.

Соответствующее однородное уравнение было решено в цикле примеров однородных уравнений. По формуле (3.4)

y0 e3x C1cos2x C2 sin 2x .

Функция 2x2 1 не является решением однородного уравнения, следовательно, частное решение надо искать по формуле (3.5). Здесь n 2, a 0, b 0 . Ищем частное решение:

y Ax2 Bx C.

Чтобы найти коэффициенты, вычислим производные y : y 2Ax B, y 2A

и подставим их в уравнение:

2A 6(2Ax B) 13 Ax2 Bx C 2x2 1.

Коэффициенты при всех степенях x должны совпадать. Это дает систему

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является

Его корни

1,2 2i.

26

Решение однородного уравнения:

y0 C1cos2x C2 sin2x.

Правая часть уравнения является решением однородного уравнения, и потому частное решение надо искать по формуле (3.7):

y x Acos2x Bsin2x .

Вычислим производные y :

y Acos2x Bsin2x x 2Asin2x 2Bcos2x

(A 2Bx)cos2x (B 2Ax)sin2x,

y 2Bcos2x 2Asin2x 2(A 2Bx)sin2x 2(B 2Ax)cos2x.

Подставим эти выражения в уравнение:

2Bcos2x 2Asin2x 2(A 2Bx)sin2x 2(B 2Ax)cos2x

4x Acos2x Bsin2x sin2x.

Проведем тождественные преобразования:

4B cos2x 4Asin2x sin2x A 14, B 0.

Общее решение неоднородного уравнения:

yy0 y* C1cos2x C2 sin2x 14 x cos2x.

3.3Материалы для самостоятельной работы

Цель любого обучения добиться того, чтобы ученик мог самостоятельно применять полученные знания для решения практических задач. Чаще всего проверка этого обстоятельства крайне затруднительна. С другой стороны, этот навык, полученный в определенном достаточно узком направлении, трансформируется в жизненный опыт, позволяющий уверенно приобретать такие навыки в совершенно других направлениях. Поэтому особый интерес представляют те направления, где проверка усвоения материала дается сравнительно легко. Тема «Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами» – идеальный полигон для того, чтобы почувствовать, как знания переходят в умения. Изложенные правила решения таких задач очень просты, но применение их на практике нередко вызывает затруднение и требует специальных усилий по осмыслению алгоритмов решения.

Для того чтобы проводить эту работу самостоятельно, был разработан комплекс программ-тренажеров. Каждая программа ориентирована на одну из разобранных ситуаций и предусматривает возможность выбрать задачу,

27

решить ее самостоятельно и затем просмотреть подробное описание ее решения. Среда программирования – пакет Exsеl – выбрана по соображениям максимальной доступности использования на любом компьютере.

Тренажер представляет собой файл в формате .xls, состоящий из трех листов. Первый лист «Условия», на нем выводится условие задачи. Чтобы обновить условие задания, надо ввести в помеченную ячейку число из указанного диапазона. На том же листе находится окно для ввода ответа и окно для оценки правильности решения. После того как задача решена, надо ввести в окно для ответа значение полученного решения в точке ноль. Если это число совпало со значением правильного решения в точке ноль, то в окне для ответа появится «Да», в противном случае – «Нет». Параллельно на втором листе «Решения» формируется подробное решение предложенной задачи, по которому можно проанализировать правильность собственного решения.

Далее приведены копии листов «Условия» и «Решение» для одного из тренажеров в том виде, как они выводятся на экран.

Условие

Решите задачу Коши

y Ay By 0, y(x0) y0, y (x1) y1

Для формирования коэффициентов и начальных условий введите в соседнюю ячейку число от 1 до 308 24

Проверка: вычислите значение решения в точке x 1.

Решение

Однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай вещественных корней):

y Ay By 0

Характеристическое уравнение:

2 A B 0

28

Общее решение однородного уравнения: y C1e 1x C2e 2x

Выбор произвольных постоянных (решение задачи Коши):

y(x0) y0 C1e 1x0 C2e 2x0 y0

Для использования второго условия необходимо сначала вычислить производную:

y (x0) y1 , y (x) 1C1e 1x 2C2e 2x 1C1e 1x0 2C2e 2x0 y1

C1, C2

Описанные тренажеры можно найти на сайте www. leti.vm-2.spb.ru .

29

Список литературы

1.Макаров Б. М., Подкорытов А. Н. Лекции по вещественному анализу.

СПб.: BHV, 2011.

2.Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГРФМЛ, 1970.

3.Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы.

СПб.: Лань, 2007.

4.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб.: Лань, 2005.

30