Материал: Решение задач

По формулам:  проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на ту же ось

a_x = a_1x + a_2x + a_3x + ... + a_nx;           a_y = a_1y + a_2y + a_3y + ... + a_ny;      a_z = a_1z + a_2z + a_3z + ... + a_nz.          

Имеем

X = X₁ + X₂ + X₃;  X = 1, Y = Y₁ + Y₂ + Y₃;  Y = 2, Z = Z₁ + Z₂ + Z₃;  Z = 8.

По формуле длины вектора

величина равнодействующая R будет равна корню квадратному из суммы квадратов проекций   на координатные оси:

По формулам

находим направляющие косинусы равнодействующей

Задача 17.

Дана сила   и точка ее приложения A(2, -1, 3). Найти момент силы относительно начала координат и углы, составляемые им с координатными осями.

Решение.

Момент силы относительно начала координат равен векторному произведению радиуса-вектора точки A приложения силы на силу  ,

т. е.  .

Если вектор имеет начало в начале координат,

а его конец A имеет координаты x, y и z, то тогда его проекции на координатные оси равны координатам его конца:

a_x = x; a_y = y; a_z = z.

В этом случае вектор называется радиусом-вектором точки A.

Радиус-вектор точки обозначается обыкновенно через (см. рисунок):

а модуль радиуса-вектора точки A(x, y, z) вычисляется по формуле

Проекция радиуса-вектора точки A на координатные оси равны координатам точки A :

r_x = x = 2;  r_y = y = -1;  r_z = z = 3;

Проекции X, Y, Z силы   на координатные оси нам также известны из условия задачи:

X = 3;  Y = 4;  Z = -2,

Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

и тогда для нашего случая 

Отсюда

m_x = -10;  m_y = 13;  m_z = 11;

и модуль момента

Направляющие косинусы вектора   равны

а углы, составляемые моментом силы с координатными осями, следующие:

Контроль: должно быть  .

У нас  .