Материал: Решение задач

2) Модуль этого векторного произведения по его известным проекциям найдем:

3) Направляющие косинусы векторного произведения найдем по формулам (13).

Углы, образуемые вектором с координатными осями Ox, Oy и Oz, определяются из формул

      (13)

Задача 6.

Даны два вектора:   и  .

Найти проекции на координатные оси суммы и разности этих векторов.

Решение.

Составим сумму и разность этих векторов:

Ответ:  ;

Задача 7.

Вектор   задан координатами своих концов A и B: 

A(2, 1, -4); B(1, 3, 2). Найти проекции вектора   на координатные оси и его направляющие косинусы.

Решение.

Проекции вектора   на координатные оси находим по формулам

a_x = x₂ - x₁; a_y = y₂ - y₁; a_z = z₂ - z₁,

a_x = -1; a_y = 2; a_z = 6;

Направляющие косинусы определяем по формулам

Задача 8.

Найти площадь треугольника, координаты вершин которого известны: A(-2, 1, 2); B(3, -3, 4); C(1, 0, 9).

Решение.

Рассмотрим векторы   и  . Площадь треугольника ABC есть половина площади параллелограмма, построенного на векторах   и  . Площадь параллелограмма, построенного на векторах   и  , есть модуль векторного произведения  , а потому площадь треугольника ABC есть

Надо найти векторное произведение  , а потом половину его модуля.

Проекции векторов   и   на координатные оси найдем по формулам. 

Если для вектора известны координаты его начала A(x₁, y₁, z₁) и координаты его конца B(x₂, y₂, z₂), то проекции вектора на координатные оси определяются по формулам

a_x = x₂ - x₁; a_y = y₂ - y₁; a_z = z₂ - z₁,     

По формуле (27)   

для векторного произведения векторов найдем, что

Модуль вектора   найдем по формуле (4):

S_ABC = 19,787 кв. ед.

Задача 9.

Дан треугольник с вершинами А(-1;1;2); В(0;2;3); С(1;1;0). Вычислить площадь треугольника.

Решение: Вычислим площадь параллелограмма, используя формулу: , где - векторы, на которых построен параллелограмм. В качестве векторов и используем и .