Материал: Решение задач

Задача 10.

Найти векторное произведение векторов , .

Решение:

Составляем матрицу:

Находим координату х_с; у_с; z_c векторного произведения :

.

Записываем координаты вектора :

.

Задача 11.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках А(1, 3, 0); В(2, 5, 0); D(-4, 3, -2).

Решение. Воспользуемся определением векторного произведения.

Введем вектора:

Длина вектора равна площади параллелограмма построенного на векторах Площадь треугольника S_ABD равна половине площади параллелограмма, поэтому:

Задача 12.

Вычислить объем параллелепипеда построенного на векторах ; ; .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов . Для этого запишем и вычислим определитель третьего порядка

y z x	Вычисленное значение определителя в соответствии с графическим представлением смешанного произведения векторов будет равно объему параллелепипеда, построенного на векторах (рис. 1)
Рис. 1

Задача 13.

Даны координаты вершин пирамиды A₁(5, 1, -4), A₂(1, 2, -1), A₃(3, 3, -4) и A₄(2, 2, 2). Определить ее объем.

Решение.

Рассмотрим три вектора:  ,   и  . Поступая так же, как и при решении задачи, по формуле (32) нам надо знать проекции векторов на оси прямоугольной системы координат. Записывая проекции вектора рядом с его названием, получаем  ; и тогда

V = 4 куб. ед.

В правой части выбран знак минус, так как определитель равен -24 (отрицателен).

Задача 14.

Векторы   лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 2π/3. Разложить вектор   по векторам   и  ,

Если   .

Решение.

Найдем единичные векторы, направленные, как и векторы   и   

(см. рисунок):   или  .

Тогда    и  .

Следовательно, вектор   - единичный.

Так как   , то угол между векторами   и   равен 180°,

т. е. эти векторы противоположно направлены;

поэтому   .

Задача 15.

Найти равнодействующую двух сил   и  , модули которых равны

 F₁ = 5, F₂ = 7, угол между ними θ = 60^°. Определить также углы α и β, образуемые равнодействующей с силами   и  .

Решение.

По формуле

(теорема косинусов для треугольника)

находим

Или

Углы   и   находим из треугольника ABC, пользуясь теоремой синусов

( ):

Но

и тогда

Контроль: ( ).

Задача 16.

На точку действуют три силы  ,   и  , проекции которых на оси прямоугольной системы координат таковы:

Найти величину и направление равнодействующей.

Решение.

Равнодействующая   . Обозначим проекции равнодействующей через X, Y, Z, а проекции сил  ,  ,   - соответственно через X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂ и X₃, Y₃, Z₃.