Материал: Решение радиотехнических задач с помощью ЭВМ. учебное пособие. Слинчук С.А., Корчагин Ю.Э
3.2. Двоичная система счисления
Представление информации с помощью двоичного кодирования наиболее оптимально для ЭВМ, так как данные в ЭВМ передаются по проводам с помощью двух сигналов "Есть напряжение" и "нет напряжения". Поскольку все данные в ЭВМ кодируются числами, то для передачи их по проводам необходимо применять двоичную систему.
Двоичная система имеет основание р=2 и базу 0 и 1. То есть, для изображения числа используются только два знака (табл. 3.1). Попробуем посчитать в десятичной системе, а затем в двоичной системе.
Таблица 3.1
Таблица соответствия двоичной СС десятичной СС
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
10-я |
2-я |
1 |
1 |
6 |
110 |
11 |
1011 |
16 |
10000 |
2 |
10 |
7 |
111 |
12 |
1100 |
17 |
10001 |
3 |
11 |
8 |
1000 |
13 |
1101 |
18 |
10010 |
4 |
100 |
9 |
1001 |
14 |
1110 |
19 |
10011 |
5 |
101 |
10 |
1010 |
15 |
1111 |
20 |
10100 |
Правила перевода из десятичной в двоичную систему:
Для перевода десятичного числа в двоичную систему отдельно переводят дробную и целую части.
Чтобы перевести целое число из 10-ой в 2-ую систему нужно выполнять последовательное деление числа на 2 до тех пор, пока результат не станет меньше 2. Последний результат и остатки от деления, взятые в обратном порядке, дают двоичное число.
Например:
164 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
164 |
82 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
82 |
41 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
40 |
20 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
20 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате 16510=101001002.
Для перевода правильной дроби из 10-системы счисления в 2-ю СС нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание 2, представленное в старой 10-системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в 2-ой системе счисления.
Правила перевода из двоичной в десятичную систему:
Для перевода числа из двоичной в десятичную систему необходимо разложить число по основанию системы счисления и посчитать результат.
Например,
Арифметические операции в двоичной системе:
Сложение двоичных чисел происходит аналогично сложению чисел в десятичной системе. Необходимо помнить, что использовать можно только две цифры 0 и 1, следовательно, нужно помнить соотношения:
210=102
310=112
410=1002
510=1012
610=1102
710=1112
Например,
101001,1102+
110,0112=
110000,0012
101010,11112+
1011,11012=
110110,11002
Если в результате промежуточного действия, которое человек автоматически выполняет в десятичной системе, получилось число большее единицы, то его необходимо перевести в двоичную систему. Так в первом примере складывает справа налево 0+1=1, 1+1=210=102. Следовательно, в результате оставляем 0 (правый разряд результата), а 1 (левый разряд результата) запоминаем в следующем разряде и т.д.
Умножение двоичных чисел происходит также, как и для десятичных, только используются две цифры 0 и 1. Например, умножаем двоичные числа:
1001,1
110,1
10011
00000
10011
10011
11110,111
Таким образом, умножение двоичных чисел сводится к сдвигу и сложению.
3.3. Системы счисления родственные двоичной
На ранних этапах развития вычислительной техники программы писали в машинных кодах, то есть без использования языков программирования. Для обозначения кодов операций машина оперирует с довольно длинными двоичными числами. Программисту трудно было работать с таким количеством знаков. Поэтому стали использовать системы счисления, которые с одной стороны относительно малозначны, а с другой обеспечивают легкий перевод чисел в двоичную систему и обратно. Такими системами являются системы, родственные двоичной.
Система называется родственной двоичной, если ее основание является степенью числа 2. К таким системам относятся четверичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Мы рассмотрим восьмеричную и шестнадцатеричную системы.
3.3.1. Восьмеричная система
Основание р=8. База — цифры от 0 до 7.
Посчитаем в восьмеричной системе и сравним ее с десятичной СС (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Таблица соответствия цифр восьмеричной системы десятичным числам
10-я |
8-я |
10-я |
8-я |
10-я |
8-я |
10-я |
8-я |
0 |
0 |
5 |
5 |
10 |
12 |
15 |
17 |
1 |
1 |
6 |
6 |
11 |
13 |
16 |
20 |
2 |
2 |
7 |
7 |
12 |
14 |
17 |
21 |
3 |
3 |
8 |
10 |
13 |
15 |
18 |
22 |
4 |
4 |
9 |
11 |
14 |
16 |
19 |
23 |
3.3.2. Шестнадцатеричная система
Основание р=16. База — цифры от 0 до 9 и буквы A,B,C,D,E,F.
В табл. 3.4. приведено соответствие цифр шестнадцатеричной системы десятичным числам.
Таблица 3.4
Таблица соответствия цифр шестнадцатеричной системы десятичным числам
10-я |
16-я |
10-я |
16-я |
10-я |
16-я |
10-я |
16-я |
0 |
0 |
9 |
9 |
18 |
12 |
27 |
1B |
1 |
1 |
10 |
A |
19 |
13 |
28 |
1C |
2 |
2 |
11 |
B |
20 |
14 |
29 |
1D |
3 |
3 |
12 |
C |
21 |
15 |
30 |
1E |
4 |
4 |
13 |
D |
22 |
16 |
31 |
1F |
5 |
5 |
14 |
E |
23 |
17 |
32 |
20 |
6 |
6 |
15 |
F |
24 |
18 |
33 |
21 |
7 |
7 |
16 |
10 |
25 |
19 |
34 |
22 |
8 |
8 |
17 |
11 |
26 |
1A |
35 |
23 |