Материал: Решение радиотехнических задач с помощью ЭВМ. учебное пособие. Слинчук С.А., Корчагин Ю.Э

4.2. Представление в эвм целых чисел

Целые числа без знака обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂ = 255. В двубайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂=65535.

Примеры:

а) число 49₁₀ = 110001₂ в однобайтовом формате:

б) это же число в двубайтовом формате:

Целые числа со знаком обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

Диапазоны значений целых чисел со знаком:

1байт -2⁷ ... 2⁷-1 -128 ... 127

2 байт -2¹⁵ ... 2¹⁵-1 -32768 ... 32767

4 байт -2³¹ ... 2³¹-1 -2147483648 ... 2147483647

На примерах арифметических действий с целыми числами рассмотрим запись целых чисел со знаком в однобайтовом формате. Для знака числа отводится один старший разряд, а для цифр абсолютной величины — остальные семь разрядов.

Положительные числа хранятся в памяти в прямом коде. Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

4.2.1. Арифметические действия с целыми числами

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов: Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

Получен правильный результат.

2) А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -7₁₀.

3) А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4) А и В отрицательные. Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11₁₀ вместо обратного кода числа -10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5) А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n-1 = 2⁷ = 128). Например:

4.3. Представление в эвм вещественных чисел

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.

При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:

1.25*10⁰ = 0.125*10¹ = 0.0125*10² = ...

или так:

12.5*10^-1 = 125.0*10^-2 = 1250.0*10^-3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде:

N = M*q^p,

где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

Если "плавающая" точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.1₂ <= |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:

753.15 = 0.75315*10³;

— 0.000034 = — 0.34*10^-4;

—101.01 = —0.10101*2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)

0.000011 = 0.11*2^-100 (порядок —100₂ = —4₁₀).

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2^k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Стандартные форматы представления вещественных чисел:

1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6) А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

Сложение дополнительных кодов: Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1) А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2) А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -7₁₀.

3) А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

4) А и В отрицательные. Например:

Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

4.3.1. Арифметические действия с вещественными числами

При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111*2^-1 и 0.11011*2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101*2¹⁰ и 0.11101*2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101*2⁰.

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101*2¹⁰¹)*(0.10012¹¹) = (0.11101*0.1001) . 2^(101+11) = 0.100000101*2¹⁰⁰⁰.

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111*2¹⁰⁰/0.101*2¹¹ = (0.1111/0.101)*2^(100-11) = 1.1*2¹ = 0.11*2¹⁰.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

5. Архитектура эвм. Потоки информации

в ЭВМ

5.1. Основные блоки эвм. Принципы фон Неймана

В начале рассказа об устройстве ЭВМ полезно сравнить функционирование машины и информационной деятельностью человека. Составим табл. 5.1 соответствия блоков машины органам человека.

Таблица 5.1

Таблица соответствия блоков машины органам человека