Материал: Разработка математической модели по формированию производственной программы

z_i - себестоимость i-го изделия

h_i - ограничение по объему выпуска i-ой продукции

k_j - ограничение j-го ингредиента

Теперь можно составить математическую модель функции (чистой прибыли) и системы ограничений.

Необходимо найти такие значения x_i, которые обеспечивают максимум целевой функции _ix_i→max, где i=1, 2, ..., n.

F=16x₁+17x₂+12x₃+13x₄+17x₅+18x₆+19x₇+10x₈+12x₉+11x₁₀+12x₁₁+14x₁₂+7x₁₃++7x₁₄+12x₁₅+20x₁₆+45x₁₇+10x₁₈+11x₁₉+15x₂₀→max.

При ограничениях по ингредиентам:

_ij  y_j, где i= 1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n.₁*0,2+x₃*0,15+x₄*0,15+x₈*0,15+x₉*0,07+x₁₀*0,05+x₁₁*0,05+x₁₂*0,15+x₁₃*0,044+x₁₄*0,04+x₁₅*0,05+x₁₆*0,6+x₁₇*1,06+x₁₈*0,05+x₁₉*0,068+ x₂₀*0,068280

x₂*0,3+x₅*0,24+x₆*0,35+x₇*0,575

x₂*0,22+x₅*0,2260

x₁*0,003+x₂*0,004+x₃*0,007+x₄*0,007+x₅*0,003+x₆*0,012+x₇*0,01+x₈*0,007+x₉*0,003+x₁₀*0,002+x₁₁*0,002+x₁₂*0,007+x₁₃*0,0024+x₁₄*0,002+x₁₅*0,0006+x₁₆*0,0006+x₁₇*0,042+x₁₈*0,002+x₁₉*0,003+ x₂₀*0,0037

x₁*0,0045+x₂*0,008+x₃*0,002+x₄*0,002+x₅*0,009+x₆*0,005+x₇*0,01+x₈*0,002+x₉*0,0007+x₁₀*0,0004+x₁₁*0,0004+x₁₂*0,002+x₁₃*0,0008+x₁₄*0,0006+x₁₅*0,0004+x₁₆*0,0006+x₁₇*0,011+x₁₈*0,0004+x₁₉*0,001+ x₂₀*0,00075

x₁*0,012+x₂*0,008+x₃*0,02+x₄*0,02+x₆*0,025+x₈*0,02+x₉*0,014+x₁₀*0,008+x₁₁*0,008+x₁₂*0,02+x₁₃*0,0008+x₁₄*0,0009+x₁₅*0,008+x₁₆*0,004+x₁₇*0,106+x₁₈*0,008+x₁₉*0,014+ x₂₀*0,01415

x₁*0,011+x₉*0,01+x₁₀*0,004+x₁₁*0,004+x₁₃*0,0008+x₁₄*0,0009+x₁₅*0,004+x₁₆*0,004+x₁₇*0,011+x₁₈*0,004+x₁₉*0,01+ x₂₀*0,0110

При ограничениях по объему выпуска:

420 ≤x₁≤ 500

≤x₂≤ 110

≤x₃≤ 45

≤x₄≤ 50

≤x₅≤ 300

≤x₆≤ 65

≤x₇≤ 220

≤x₈≤ 40

≤x₉≤ 130

≤x₁₀≤ 27

≤x₁₁≤ 112

≤x₁₂≤ 60

≤x₁₃≤ 45

≤x₁₄≤ 250

≤x₁₅≤ 180

≤x₁₆≤ 110

≤x₁₇≤ 25

≤x₁₈≤ 90

≤x₁₉≤ 35

≤x₂₀≤ 30

Данную задачу будем решать с использованием средств Microsoft Exсel c помощью надстройки “поиск решений”.

ГЛАВА 3. Оптимизационные расчеты, связанные с выбором производственной программы

3.1 Решение задачи средствами Microsoft Excel

Исходные данные в Microsoft Excel 2007 выглядят таким образом (Приложение 1).

Далее через верхнее меню заходим в раздел «Данные», нажимаем на функцию «Поиск решения». Перед нами открывается окно параметров поиска решения. Заполняем окно в соответствии с задачей (Рис 1.).

Рис. 1. Окно параметров поиска решения

Алгоритм настройки окна параметров выглядит следующим образом.

. Устанавливаем целевую ячейку.

. Устанавливаем переключатели, задающие значение целевой ячейки, - максимальное значение, минимальное значение или конкретное значение.

. Указываем в поле «Изменяя ячейки», в каких ячейках программа должна изменять значения в поисках оптимального результата.

. Создаем ограничения в списке «Ограничения». Для этого щелкаем на кнопке «Добавить» и в диалоговом окне «Добавление ограничения определить ограничения».

. Нажимаем кнопку «Найти решение», и программа подсчитает оптимальное решение (Приложение 2).

3.2 Решение задачи на максимум прибыли

Максимальная прибыль составит 19 333 рублей.

В соответствии с оптимальным планом производства для достижения максимальной прибыли следует производить следующее количество каждого из видов хлебобулочных изделий (Таблица5):

Таблица 5 - Результаты расчетов

При этом будет затрачено ингредиентов (Таблица 6):

Таблица 6 - Результаты расчетов

3.3 Решение задачи на минимум себестоимости

Исходные данные:

Целевая функция примет следующий вид: _ix_i→max, где i=1, 2, ..., n, ограничения остаются прежними.

Исходные данные выглядят таким образом (Приложение 3).

Решение:

Как и в предыдущем пункте используем функцию «Поиск решения». вводим ограничения (рис. 2).

Рис. 2. Окно параметров поиска решения

Повторяем алгоритм настройки окна параметров из п.3. Получаем решение (Приложение 4).

Из приложения 4 мы видим, что при решение задачи на минимальную себестоимость, затраты составят 10634,9 руб. При этом будет произведено следующее количество каждого из видов хлебобулочных изделий (Таблица7):

Таблица 7 - Результаты расчетов

При этом будет затрачено ингредиентов (Таблица 8):

Таблица 8 - Результаты расчетов

3.4 Анализ полученных данных

Посчитаем себестоимость для решения задачи на максимизацию прибыли, так же посчитаем прибыль для задачи, решенной на минимум себестоимости.

Таблица 9 - Вспомогательная таблица

Объединим результаты таблицы 5 и таблицы 7.

Таблица 9 - Результаты

По данным таблицы 9 составляется диаграмма (Приложение 5), на которой наглядно видно, какой продукции выпущено больше, а какой меньше при разных интерпретациях задачи.

Вывод: в основном род деятельности предприятий направлен на максимизацию прибыли, в связи с этим выбираем в качестве производственной программы вариант решения №1, направленный на максимизацию прибыли. Предприятие должно будет производить ежедневно батонов в количестве - 451 шт., хлеб "Столичный" - 70 шт., батон с отрубями - 32 шт., батон с изюмом - 29 шт, хлеб "Дарницкий" - 270 шт., хлеб "Аромантый" - 40 шт., хлеб "Паляница" - 180 шт., докторская булочка - 25 шт., плюшка московская - 130 шт., сдоба с курагой - 27 шт., марципан - 112 шт., плетенка - 40 шт., булочка столичная - 45 шт., булочка для хот-догов - 250 шт., сдоба с маком - 180 шт., бублик с маком - 110 шт., пирог с маком - 15 шт., сдоба с изюмом - 90 шт., рогалик с шоколадом - 35 шт., ватрушка с творогом - 30 шт

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование математики в экономической науке, дало толчок в развитии как самой экономической науке, так и прикладной математике, в части методов экономико-математической модели. Расчеты по моделям предостерегают от ошибок, поскольку позволяют заранее оценить последствия каждого решения, исключить недопустимые варианты и выбрать оптимальный вариант.

Практическими задачами экономико-математического моделирования являются, во-первых, анализ экономических объектов; во-вторых, экономическое прогнозирование, предвидение развития хозяйственных процессов и поведения отдельных показателей; в-третьих, выработка управленческих решений на всех уровнях управления.

В работе было проведено решение задачи общего линейного программирования на примере хлебобулочного завода с помощью программы Microsoft Excel 2007. Задача решалась на максимизацию прибыли и на минимизацию себестоимости. Полученные результаты сравнивались. В ходе анализа полученных данных было выявлено, что оптимальной производственной программой является решение №1 на максимизацию прибыли.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Википедия https://ru.wikipedia.org

. Тарасов В. Л. Экономико-математические методы и модели. Учебное пособие. Нижний Новгород, 2003

. Иванилов Ю. П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 2007.

4. Гранберг А. Г. Математические модели социалистической экономики. - М.: Экономика, 1988.

. Пинегина М.В. Математические методы и модели в экономике. М.: Издательство «Экзамен», 2002 г.

. Шикин Е. В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении. М.: Издательство «Дело», серия «Наука управления», 2000 г.

7. Солопахо А. В. Математика в экономике. Учебно-практическое пособие. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2001.

8. Смородинский С.С. Оптимизация решений на основе методов и моделей мат. программирования: Учеб. пособие по курсу "Системный анализ и исследование операций" - Мн.: БГУИР, 2003.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Исходные данные общей задачи линейного программирования на максимизацию прибыли

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Оптимальное решение общей задачи линейного программирования на максимизацию прибыли

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Исходные данные общей задачи линейного программирования на минимизацию себестоимости

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Оптимальное решение общей задачи линейного программирования на минимизацию себестоимости

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Сравнительная диаграмма