Материал: Разработка математической модели по формированию производственной программы

·        При определении взаимозависимости решений по всем объектам экономики особое значение имеют обратная связь объектов и издержки обратной связи. Например, если предприятия А и Б потребляют один и тот же ограниченный ресурс, то увеличение доли предприятия А уменьшает долю предприятия Б (обратная связь). Вероятно, что потребление данного ресурса (топлива, сырья и др.) снижает производственные издержки. Тогда, увеличение доли предприятия А приведёт к экономии на этом предприятии и к дополнительным издержкам на предприятии Б в результате замены ресурса менее эффективным (издержки обратной связи).

·        Оценка рациональности конкретного мероприятия зависит от уровня управления: решение, оптимальное для отдельного предприятия, может быть неоптимальным для отрасли или экономики в целом.

1.3 Основные понятия и типы моделей. Их классификация

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно c этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ реального объекта (процессов), создаваемый для более детального изучения действительности. Метод исследования, который базируется на использовании и разработке моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процессов). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание o чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процессов), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это материально реализованная или мысленно представляемая система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что изучение ее дает новую информацию об этом объекте.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить физические, графические, экономико-математические, словесные, графические и некоторые другие типы моделей.

Экономико-математические модели - это модели экономических объектов или процессов, в которых при описании используются математические средства. Цели их создания очень разнообразны: они строятся для анализа тех или иных положений и предпосылок экономической теории, логического обоснования экономических закономерностей, обработки и приведения в систему эмпирических данных. В практическом плане экономико-математические модели используются как инструмент планирования, прогноза, управления и совершенствования различных сторон экономической деятельности общества.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По целевому назначению модели делятся на:

·        Теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);

·        Прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).

По учету фактора времени модели подразделяются на:

·        Статистические (экономическая система описана в статистике, применительно к одному определенному моменту времени; это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени).

·        Динамические (описывают экономическую систему в развитии);

По длительности рассматриваемого периода времени различают модели:

·        Краткосрочного прогнозирования или планирования (до года);

·        Среднесрочного прогнозирования или планирования (до 5 лет);

·        Долгосрочного прогнозирования или планирования (более 5 лет).

По цели создания и применения различают модели:

·        Балансовые;

·        Оптимизационные;

·        Эконометрические;

·        Сетевые;

·        Имитационные (экспертные).

·        Систем массового обслуживания;

Балансовые модели отражают требования соответствия наличия ресурсов и их использования.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, потребления или распределения. При этом ограниченные ресурсы будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены модели, которые представляют собой системы регрессионных уравнений. В этих уравнениях отражается зависимость зависимых переменных от независимых переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой системы экономической. Эконометрические модели принято использовать для прогнозирования и анализа конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Сетевые модели используются наиболее широко в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий, и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначается для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Но существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Имитационная модель, наряду с машинными решениями, содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

·        Детерминированные (с однозначно определенными результатами);

·        Стохастические (вероятностные; с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

·        Линейного программирования (оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений);

·        Нелинейного программирования ( оптимальных значений целевой функции может быть несколько);

·        Корреляционно-регрессионные;

·        Сетевые;

·        Теории игр;

·        Матричные;

·        Теории массового обслуживания и т.д.

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

В данной работе рассмотрен пример решения задачи линейного программирования. Для начала рассмотрим вопрос - что же такое "линейное программирование"? Это один из первый разделов математического программирования. Термин "программирование" в названии не имеет ничего общего с термином "программирование" для ЭВМ, так как "линейное программирование" появилось задолго до того времени, когда ЭВМ стали широко применятся для решения разнообразных экономических, математических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что точнее отражает содержание термина.

Задачами линейного программирования являются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести такие задачи как:

·        рационального использования материалов и; задачи оптимизации раскроя;

·        оптимизации производственной программы предприятий;

·        оптимального размещения и концентрации производства;

·        составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

·        управления производственными запасами;

·        и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

В настоящее время линейное программирования широко применяется предприятиями для оптимизации производственного плана.

Подведем небольшой итог. Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших или наименьших значений линейной функции. На неизвестные переменные накладываются ограничения. Таким образом задачи линейного программирования можно отнести к задачам на условный экстремум функции.

1.4 Этапы экономико-математического моделирования

Процесс экономико-математического моделирования - это описание социальных и экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Данная разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

·        Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

·        Построение математической модели;

·        Математический анализ модели;

·        Подготовка исходной информации;

·        Численное решение;

·        Анализ численных результатов и их применение.

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ.

На данном этапе нужно четко сформулированная сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Сначала нужно обозначить важнейшие черты и свойства моделируемого объекта; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих развитие и поведение объекта.

Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических отношений и зависимостей (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) модели математической, а дальше уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели можно разбить на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д.

Лишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Одна из важный особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - это доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственное ли решение, в каких пределах и в зависимости исходных условий они изменяются, какие переменные (неизвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о полноте и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявить некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее математического и информационного обеспечения.