Материал: Разработка квазиоптимальной по критерию минимума вероятности ошибки системы связи

в) Кодирование номеров уровней, соответствующих значениям квантовых отчетов сигналов.

Кодирование заключается в замене квантовых отсчетов кодовыми комбинациями двоичного кода номера уровня квантования, которому соответствует значение квантового отсчета. [1, c. 84]

Опишем вышеприведенные преобразования следующими графиками.

Рис. 2.1 Сигнал на входе АЦП

Рис. 2.2 Дискретизация входного сигнала

Рис. 2.3 Квантование входного сигнала

Рис. 2.4 Сигнал на выходе АЦП:

Рис. 2.5. Структурная схема аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

Задание 3

Опишем процесс помехоустойчивого кодирования, если используется код с проверкой на четность и составить структурную схему кодера.

При передаче цифровых данных по каналу с шумом всегда существует вероятность того, что принятые данные будут содержать некоторый уровень частоты появления ошибок. Получатель, как правило, устанавливает некоторый уровень частоты появления ошибок, при превышении которого принятые данные использовать нельзя. Если частота ошибок в принимаемых данных превышает допустимый уровень, то можно использовать кодирование с исправлением ошибок, которое позволяет уменьшить частоту ошибок до приемлемой.

Кодирование с обнаружением и исправлением ошибок, как правило, связано с понятием избыточности кода, что приводит в конечном итоге к снижению скорости передачи информационного потока по тракту связи. Избыточность заключается в том, что цифровые сообщения содержат дополнительные символы, обеспечивающие индивидуальность каждого кодового слова. Вторым свойством, связанным с помехоустойчивым кодированием является усреднение шума. Этот эффект заключается в том, что избыточные символы зависят от нескольких информационных символов.

При увеличении длинны кодового блока (т.е. количества избыточных символов) доля ошибочных символов в блоке стремиться к средней частоте ошибок в канале. Обрабатывая символы блоками, а не одного за другим можно добиться снижения общей частоты ошибок и при фиксированной вероятности ошибки блока долю ошибок, которые нужно исправлять.

Все известные в настоящее время коды могут быть разделены на две большие группы: блочные и непрерывные. Блочные коды характеризуются тем, что последовательность передаваемых символов разделена на блоки. Операции кодирования и декодирования в каждом блоке производится отдельно. Непрерывные коды характеризуются тем, что первичная последовательность символов, несущих информацию, непрерывно преобразуется по определенному закону в другую последовательность, содержащую избыточное число символов. При этом процессы кодирования и декодирования не требует деления кодовых символов на блоки.

Разновидностями как блочных, так и непрерывных кодов являются разделимые (с возможностью выделения информационных и контрольных символов) и неразделимые коды. Наиболее многочисленным классом разделимых кодов составляют линейные коды. Их особенность состоит в том, что контрольные символы образуются как линейные комбинации информационных символов.

Принцип обнаружения и исправления ошибок.

Корректирующие коды строятся так, чтобы количество комбинаций М превышало число сообщений М0 источника. Однако в этом случае используется лишь М0 комбинаций источника из общего числа для передачи информации. Такие комбинации называются разрешенными, а остальные - запрещенными М-М0. Приемнику известны все разрешенные и запрещенные комбинации, поэтому, если при приеме некоторого разрешенного сообщения в результате ошибки это сообщение попадает в разряд запрещенных, то такая ошибка будет обнаружена, а при определенных условиях исправлена. Следует заметить, что при ошибке, приводящей к появлению другого разрешенного сигнала, такая ошибка не обнаружима.

Расстоянием Хемминга d между двумя последовательностями называется число позиций, в которых две последовательности отличаются друг от друга. Наименьшее значение d для всех пар кодовых последовательностей называется кодовым расстоянием.

Ошибка обнаруживается всегда, если её кратность, т.е. число искаженных символов в кодовой комбинации: g<d-1. Если g>d, то некоторые ошибки также обнаруживаются. Однако полной гарантии обнаружения ошибок нет, т.к. ошибочная комбинация может совпадать с какой-либо разрешенной комбинацией. Минимальное кодовое расстояние, при котором обнаруживаются любые одиночные ошибки, d=2.

Исправление ошибок в процессе декодирования сводится к определению переданной комбинации по известной принятой. Расстояние между переданной разрешенной комбинацией и принятой запрещенной комбинацией d0 равно кратности ошибок g. Если ошибки в символах комбинации происходят независимо относительно друг друга, то вероятность искажения некоторых g символов в n-значной комбинации будет равна:

 (3.1)

Коды с обнаружением ошибок.

Одним из кодов подобного типа является код с четным числом единиц. Каждая комбинация этого кода содержит помимо информационных символов - один контрольный, выбираемый равный 0 или 1 так, чтобы сумма количества единиц в комбинации всегда была четной.

Простейшим примером кода с проверкой на четность является код Бодо, в котором к пятизначным комбинациям информационных символов добавляется шестой контрольный символ: 11001,1; 10001,0.

Правило вычисления контрольного символа находится как:

 (3.2)

откуда вытекает, что для любой комбинации сумма всех символов по модулю два будет равна нулю. Это позволяет в декодирующем устройстве сравнительно просто производить обнаружение ошибок путем проверки на четность. Нарушение четности имеет место при появлении однократных, трехкратных и в общем случае нечетной кратности, что и дает возможность их обнаружить. Появление четных ошибок не изменяет четности суммы, поэтому такие ошибки не обнаруживаются.

На рис. 3.1. показана структурная схема кодера. Характерной особенностью является наличие в цепи обратной связи решающее устройства, управляющего величиной шага квантования ∆b. Если знак приращений γ(k) остается неизменным в течение 3-4 интервалов дискретизации, то это означает наличие перегрузки. Решающее устройство удваивает амплитуду импульсов, поступающих на вход интегратора 1. Если в этом случае знак приращения (сигнал ошибки) не изменяется, то размер шага ∆b снова удваивается и т.д. При изменении знака приращения размер шага квантования уменьшается. Нетрудно понять, что, в состав устройства управления размером шага квантования должен входить анализатор плотности единиц и импульсный усилитель с управляемым коэффициентом усиления. На выходе интегратора 2 при изменении коэффициента усиления в зависимости от плотности единиц будет формироваться ступенчатое напряжение с адаптивно изменяющимся шагом квантования.

Рис. 3.1. Структурная схема кодера.

Задание 4

Рассчитаем длительность единичного элемента кодовой комбинации цифрового ИКМ сигнала с проверкой на четность.

Для определения длительности единичного элемента кодовой комбинации ИКМ сигнала (тактового интервала Ттакт.) с проверкой на четность последовательно определим:

а) количество информационных элементов k кодовой комбинации

б) общую длину кодовой комбинации n с учетом кодирования с проверкой на четность.

Цифровой ИКМ сигнал - это последовательность k - разрядных кодовых комбинаций двоичного кода. Код симметричный, двоичный, где 1-й элемент кодирует знак напряжения: положительное значение напряжения - <<1>>, отрицательное - <<0>>, а последующие (k-1) элементов кодирует номер уровня квантования. Количество элементов кодовой комбинации определяется числом уровней квантования N:

= ЦЧ[log2N]+1 (4.1)

где ЦЧ - округлённое в большую сторону целое число.

K =ЦЧ [log2512]+1=9+1=10 элементов

При кодировании симметричным двоичным кодом уровни квантования нумеруются для положительных и отрицательных значений сигнала одинаково. Полярность квантованного отсчёта показывает первый элемент кодовой комбинации: положительный-<<1>> и отрицательный-<<0>>. Диапазон возможных значений аналогового сигнала: - 126 ¸ 126 у.е. Шаг квантования  = 2 у.е.

Описание преобразований сигнала в АЦП и в кодере проиллюстрируем примером для двух отсчетов сигнала со значениями, равными номеру варианта с положительным знаком и половине номера варианта с отрицательным знаком в условных единицах (у.е.). Для вариантов с номером меньшим чем 20, значения отсчетов взять на 20 больше, чем номер варианта.

Номер варианта=07, следует Uотсч.=7+20=27(у.е.)Д1 = 27(у.е.); UКВ1 =26(у.е.); Номер уровня N = 13; Код. комбинация - 1000001101Д2 = -13,5(у.е.); UКВ2 =14(у.е.); Номер уровня N = 7; Код. комбинация - 0000000111.

При кодировании помехоустойчивым (корректирующим) кодом с проверкой на четность, который позволяет обнаружить все ошибки нечётной кратности, к информационной кодовой комбинации длиной k элементов добавляется один проверочный элемент - r, доводящий число единиц в полной кодовой комбинации до чётного числа. Проверочный элемент ставится в конце кодовой комбинации после информационных элементов. Длина кодовой комбинации кода с проверкой на чётность равна:

где k - длина кодовой комбинации простого кода.

Проверочный элемент определяется суммой по модулю два всех информационных элементов кодовой комбинации простого кода: r = k  k … k, где  - сумма по модулю два; k , k , …k - элементы кодовой комбинации простого кода. Параметры кода: (k, k +1).

У простого кода с k = 10, n = 11, параметры кода (10,11).

Для кодовой комбинации 1000001101, r = 1000001101 = 0

Полная кодовая комбинация кода с проверкой на четность: 10000011010.

Для кодовой комбинации 0000000111, r = 0000000111 = 1

Полная кодовая комбинация кода с проверкой на чётность: 00000001111.

Рис. 4.1. Структурная схема кодера кода с проверкой на чётность.

Общая длительность кодовой комбинации равна интервалу дискретизации Тд, определяемому по теореме Котельникова с учетом необходимого защитного частотного интервала в спектре дискретного АИМ сигнала (Fд > 2DF) и кратности частоты дискретизации 8 кГц. Здесь Fд - частота дискретизации. Интервал (период) дискретизации равен:

Тд =1/ FД. (4.2)

 FД >2×3,4 = 6,8(кГц);

А так как Fд должна быть кратна 8 кГц выбираем подходящую частоту FД = 8(кГц);

Тд =1/ FД (4.3)

Тд =1/ (8×103) = 0,125×10-3 (с)=125×10-6(с)=125(мкс).

Длительность единичного элемента кодовой комбинации цифрового ИКМ сигнала с проверкой на чётность определяется исходя из величин интервала дискретизации Fд , и длины кодовой комбинации кода с проверкой на чётность - n. Её называют тактовым интервалом - Ттакт, а частоту следования элементов - тактовой частотой - Fтакт.

ТТАКТ = ТД/n,(c); (4.4)ТАКТ.=1/ТТАКТ, (Гц) (4.5)ТАКТ = n× FД (Гц) (4.6)

ТТАКТ = 1/FТАКТ, (c) (4.7)

Вычислим

ТАКТ = n× FД =11× 8× 103 = 88× 103 (Гц)=88(кГц);

ТТАКТ = 1/FТАКТ = 1/(88× 103) =11,36·10-6(с)=11,36(мкс).

Задание 5

Определим характеристики источника независимых двоичных сообщений, если вероятность появления символа "1"

р(1) = 0,001+0,kn,

где k и n - предпоследняя и последняя цифры номера варианта.

Вероятность появления одного из символов задается следующим образом: номер варианта=07, то вероятность появления символа "1" равна:

р(1) = 0,001+0,07 = 0,071. [4, п.4.4]

Необходимо последовательно рассчитать вероятность появления символа "0" - р(0), энтропию элемента - Нэл, производительность источника сообщений - Н¢, максимальную энтропию - Нэл.max, максимальную производительность источника -Н¢max, избыточность источника сообщений - s. [5, c. 200-209]

Под производительностью источника двоичных сообщений понимают среднее количество информации, выдаваемое источником в единицу времени (1 сек.) - Н’.

Н’ = НЭЛ / ТТАКТ, (бит/с), (5.1)

Н’ = НЭЛ ×FТАКТ, (бит/с). (5.2)

где НЭЛ - энтропия единичного элемента - среднее количество информации содержащееся в одном элементе, (бит/эл);ТАКТ - длительность единичного элемента, (с).

Единичный элемент кодовой комбинации передаётся за тактовый интервал.

Для источника независимых двоичных сообщений:

Н ЭЛ = - [p(1) log2p(1) + p(0)log2p(0)], (бит/эл); (5.3)

где p(1) и p(0) - вероятности появления символов <<1>> и <<0>>.

Так как появление символов <<1>> и <<0>> составляют полную группу событий, то:

р(1) + p(0) = 1, отсюда - p(0) = 1 - p(1).

р(1) = 0,001+0,07 = 0,071.

Следует:

p(0) = 1- 0,071 = 0,929.

Н ЭЛ = -[p(1) log2p(1) + p(0)log2p(0)]= -[0,071× log20,071 + 0,929× log20,929] =

= -[ 0,071× (-3,813) ++ 0,929× (-0,106)] =0,369 (бит/эл.)

Н’ = НЭЛ ×FТАКТ = 0,369 × 88 × 103 =32,47× 103 (бит/c)= 32,47(кбит/c)

Для двоичного кода энтропия элемента достигает максимального значения при равенстве вероятностей появления символов <<1>> и <<0>>, т.е. когда p(1) = p(0) = 0,5.

Тогда

НЭЛ = НЭЛ. MAX = log2m, (бит/эл), (5.4)

где m - основание кода (m=2).

НЭЛ. МАХ = log22 = 1 (бит/эл.)

При этом производительность источника равна:

Н" = Н"МАХ = 1/ТТАКТ, = FТАКТ, (бит/c), (5.5)

т.е. Н" = Н"МАХ = 1/ТТАКТ, = FТАКТ =88× 103(бит/c)=88(кбит/c)

Избыточность источника двоичных сообщений равна:

æ = (НЭЛ.МАХ - НЭЛ)/НЭЛ.МАХ = 1 - (НЭЛ / НЭЛ. МАХ). Получим æ = 1- (0,369/1) = 0,63%

Избыточность показывает долю (0,63%) от максимально возможной энтропии, не используемую источником.

Количество информации, содержащееся элементах <<1>> и <<0>> равно:

= - log2p(1), (бит) (5.6)= -log2p(0), (бит). (5.7)

Зная log2p(1)= -3,813, log2p(0)= -0,106, получим I1=3,813(бит) и I0 =0,106(бит).

Количество информации в конкретной кодовой комбинации кода равно:

IKK = IЭЛ 1 + IЭЛ 2 +… +IЭЛ К, или IKK = a I1 + b I0 ,(бит). (5.8)

где IЭЛ I - количество информации в i- м элементе кодовой комбинации; k - количество информационных элементов в кодовой комбинации (проверочный элемент информации не несёт); а - количество элементов <<1>> в кодовой комбинации (без учёта проверочного элемента); b - количество элементов <<0>> в кодовой комбинации (без учёта проверочного элемента).