Задача № 2. В Радужной стране правит Красный король. В его подчинении находятся шесть министров. Оранжевый министр наносит визит королю ежедневно, Желтый министр посещает дворец через день, Зеленый - через два дня на третий, Голубой появляется каждый четвертый вечер, Синий - каждый пятый вечер, и, наконец, Фиолетовый министр приходит на поклон к королю один раз в шесть дней. С какой регулярностью Красному королю нужно решать накопившиеся вопросы, чтобы свой ответ мог дать каждый из министров?

Первый вариант решения происходит с помощью построения числовой прямой, на которую наносятся отрезки соответствующего цвета. Однако такое решение является слишком громоздким.

Во втором варианте решения используются признаки делимости на 2, 3, 4, 5 и 6. Необходимо найти такое число, которое будет удовлетворять двум следующим условиям:

1) Делится на все эти числа нацело;

2) Наименьшее число.

Таким образом, необходимо найти наименьшее общее кратное этих чисел. НОК (2, 3, 4, 5, 6) = 60. Ответ: Накопившиеся вопросы нужно решать через каждые 60 дней.

Задача № 3. Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение. Сразу можно заметить, что число 135 делится на 5.

135 : 5 = 27. Раскладываем число 27 на множители: 27 = 3 · 3 · 3. По условию задачи, число должно быть трехзначным, а значит, нам достаточно разложить число 27 на произведение двух цифр - 3 и 9. Таким образом, число состоит из цифр 3, 5 и 9, сумма этих цифр равна 17. Ответ: 17 [4].

Задача № 4. Накопления Знайки в банке коротышек составляют 500 сантиков. В банке предусмотрены только две операции: снять 300 сантиков или внести 198 сантиков. Какое максимальное количество сантиков Знайка может забрать из банка, не добавляя других денег?

Решение. Так как НОД(300, 198) = 6, Знайка может снять только такую сумму, которая нацело делится на шесть. Разделим 500 на 6 с остатком: . Получили, что наибольшее число, кратное 6 и не превосходящее 500, равно 498. Следовательно, больше 498 долларов снять нельзя. Докажем, что снять 498 сантиков возможно. Проведем ряд вычислений:

Так, сумма, лежащая на счету, уменьшилась на 6 сантиков. Повторив эти действия 16 раз, Знайка сможет снять 96 сантиков, и на счету останется 404 сантика. Следующие действия таковы:

Таким образом, можно снять со счета 498 сантиков. [3].

Рассмотрим применение признаков делимости натуральных чисел на примере задачи 19 (по теме «Натуральные числа») - КИМ ЕГЭ 2018 года, базовый уровень.

Задача № 5. Уберите из числа 181615121 три цифры таким образом, чтобы новое число нацело делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Необходимо разложить делитель на простые множители. 12 = 3 · 2· 2. Следовательно, новое число после всех изменений должно делиться на 3 и 4. Согласно признаку делимости на 4, две последние цифры нового числа должны образовать число, которое также делится нацело на 4. Так как 1 - нечетное число, его можно вычеркнуть сразу, получили 18161512. 12:4 = 3, поэтому две последние цифры вычеркивать не нужно. Они гарантируют делимость числа на 4. Теперь необходимо выяснить, какое число будет делиться на 3. Согласно признаку делимости на 3, нужно чтобы сумма цифр нового числа делилась на 3: 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25; 25 на 3 делится с остатком, равным 1. Только единицу вычеркнуть нельзя, так как всего нужно вычеркнуть три цифры, а не две. 25 = 3 · 7 + 4, но 4 в сумме ни дают никакие цифры в числе; 25 = 3 · 6 + 7 - можно вычеркнуть 6 и любую из единиц, кроме последней. Возможные ответы: 811512, 181512 или 181152. [3].

Задача № 6. Напишите любое пятизначное число с произведением цифр равным 40, кратное 12.

Решение. Раскладываем число на пять простых множителей. 40 = 1 · 2 · 2 · 2 · 5. Из этих цифр и должно быть составлено число. Оно должно быть кратным 12, для этого оно должно делиться на 3 и 4. Сумма цифр 1 + 2 + 2 + 2 + 5 = 12 делится на три, значит, и любое составленное из этих цифр число будет делиться на три. Чтобы оно делилось на 4, две последние цифры этого числа должны образовывать число, кратное четырём. Для этого последней цифрой должна быть 2. Среди всех вариантов нас удовлетворяют два: 52 : 4 = 13; 12 : 4 = 3. Таким образом, число должно иметь в конце 12 или 54, а в начале любые перестановки из цифр 2, 2, 1 или 5.Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. [3].

Приведем примеры задач на признаки делимости из ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 1. Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.[6]

Рассмотрим несколько способов решения.

1 способ. Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

1) 20 =9 + 9 + 2

2) 20 = 9 + 8 + 3

3) 20 = 9 + 7 + 4

4) 20 = 9 + 6 + 5

5) 20 = 8 + 8 + 4

6)20 = 8 + 7 + 5

Находим сумму квадратов в каждом разложении:

Проверим, делится ли сумма квадратов на 3 и не делится ли на 9. Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3. Аналогично с признаком деления на 9: число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

При разложении способами (5)?(6) суммы квадратов чисел делятся на 3. При разложении способом (5) сумма квадратов делится на 3 и на 9. Разложение способом (6) удовлетворяет условиям задачи. Получаем следующие варианты ответа: 875, 857, 578, 587,785, 758.

Ответ: например, числа 578 или 587 и т.д.

2 способ.

При делении на 3 могут получиться следующие остатки: 0 - если число делится нацело, 1 или 2- если не делится.

Если 20 разделить на 3, то получится 6 и в остатке 2.

Число 2, как остаток от деления на 3 суммы трех остатков, могло получиться следующим образом:

0 + 1 + 1 или

0 + 0 + 2 или

1 + 2 + 2 (5 при делении 3 снова даст в остатке 2).

Перестановки не учитываем, т.к. как для ответа нужен только пример трехзначного числа с заданными свойствами.

Рассмотрим суммы квадратов остатков:

Из 2) следует, что 4 при делении на 3 даст в остатке 1.

Из 3) следует, что 9 делится на 3, остаток 0.

Поскольку по условию задачи сумма квадратов должна делиться на 3, нам подходит только третий случай: одно однозначное число при делении на 3 должно иметь остаток 1, это могут быть числа 1, 4 и 7; другие два однозначных числа при делении на 3 должны иметь остатки 2, это могут быть числа 2, 5 и 8.

Числа 1 и 2 слишком малы. С ними нельзя составить сумму 20 (1 + 8 + 8 = 17, 2 + 8 + 7 = 17).

Рассмотрим комбинации оставшихся чисел.

1) 4 + 5 + 5 = 14

2) 4 + 5 + 8 = 17

3) 4 + 8 + 8 = 20

4) 7 + 5 + 5 = 17

5) 7 + 5 + 8 = 20

6) 7 + 8 + 8 = 23

Проверим суммы квадратов для третьей и пятой строк:

Число 144 делится на 9. Это не удовлетворяет условию задачи. Число 138 делится на 3, но не делится на 9. Значит, эти цифры и есть искомые.

Ответ, соответственно, число 578 или 785 или 875 и т.д.

Задание 2. Найдите четырехзначное число, которое в 4 раза меньше четвёртой степени некоторого натурального числа. В ответ укажите какое-нибудь одно такое число.[3]

Решение:

Натуральные числа - это числа, начиная с 1, которые предназначены для счета предметов (1, 2, 3 и т.д.). Возведем в четвертую степень натуральные числа, начиная с 2 и заканчивая 9:

Разделим каждый результат на 4:

1) 16:4 = 4

2) 81:4 = 20,25

3) 256:4 = 64

4) 1296:4 = 324

5) 2401:4 = 600,25

6) 4096:4 = 1024

7) 6561:4 = 1640,25

Полученные числа в (1) - (5), (7) не удовлетворяют условию задачи, так как в (1) - (5) числа не являются четырехзначными, а в (7)- число не является натуральным.

Оставшееся число 1024 подходит, потому что оно четырехзначное, при этом, оно в 4 раза меньше четвертой степени числа восемь (некоторого натурального числа).

Ответ: 1024.

Задание 3. Приведите пример трехзначного числа, кратного 24, сумма цифр которого также равна 24. [1]

Решение:

24 можно представить как сумму трех чисел. Рассмотрим возможные комбинации:

9+8+7

9+7+8

7+9+8

7+8+9

8+9+7

8+7+9

6+9+9

9+9+6

9+6+9

8+8+8

Число 24 можно представить как произведение чисел 3, 4 и 2. Следовательно, искомое трехзначное число должно быть кратным 2 (заканчиваться на 0 или четное число), 4 (последние две цифры должны делиться на 4) и 3 (сумма цифр числа кратна 3). Трем кратны все числа, так как сумма трех чисел делится на 3 (24:3=6), а двум: 978, 798, 996, 888.

Четырем кратны: 996 и 888 (96:4=24; 88:4=22).

Проверим на кратность 24:

996:24=41,5

888:24=37

Число 888 кратно 24 и сумма цифр равна 24.

Ответ: 888.

Задание 4. Найдите наименьшее восьмизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 1 и делится на 30.[1]

Решение:

Число будет делиться на 30, если оно делится на 3 и на 10. Отсюда следует, что в искомом числе последняя цифра должна равняться нулю. Первой цифрой в числе обязательно 1

Число делится на 3, если сумма его цифр равна трём. Число состоит только из цифр 1 и 0. Первая цифра числа 1. Остаётся расставить ещё две. Чтобы восьмизначное число оказалось наименьшим, две единицы надо поставить в самые младшие разряды - на место десяток и сотен.

Следовательно, получаем число: 10000110. Проверим, что полученное число делилось на 30: 10000110:30=333337.

Ответ: 10000110.

Задание 5. Найдите наименьшее трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 5 дает остаток 2 и записано тремя различными четными цифрами. [1]

Решение:

Так как трехзначное число при делении на 5 дает остаток 2, то оно оканчивается на 2. Четных цифр 5: 0;2;4;6;8. Так как трехзначное число, которое при делении на 3 дает остаток 1, то сумма его цифр при делении на 3 дает остаток. Это могут быть цифры: 6+8+2=16 или 8+0+2=10. Наименьшее трехзначное число- 682.

Ответ: 682.

Задание 6. Приведите пример трёхзначного числа А, обладающего следующими свойствами:

· сумма цифр числа А делится на 6;

· сумма цифр числа (А + 3) также делится на 6;

· число А больше 350 и меньше 400.

В ответе укажите ровно одно такое число. [3]

Решение:

Легко проверить, что если последняя цифра числа меньше 7, то сумма цифр числа А+3 будет на 3 больше, чем сумма цифр числа А. В этом случае, поскольку по условию сумма цифр числа А делится на 6, сумма цифр числа А+3 не будет делиться на 6.

Следовательно, последняя цифра числа должна быть больше или равна 7.

Рассмотрим числа в интервале от 350 до 400, последняя цифра которых больше или равна 7.

Проверим число 357. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 358. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 359. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 367. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 368. Сумма цифр не делится на 6.

Проверим число 369. Сумма цифр делится на 6.

369+3=372- сумма цифр также делится на 6.

Итак, искомое число 372.

Ответ: 372.

Задание 7. Вычеркните в числе 24665521 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 22. В ответе укажите ровно одно получившееся число. [3]

Решение:

Число делится на 22, если оно делится на 11 и 2.

Число делится на 2, если его последняя цифра 2 или 0. На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

24662:22=1121, вычеркиваем 551. Проверим: 2+6+2=4+6=10, 24662:2=12331.

Ответ: 24662.

Таким образом, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

Заключение

В результате данной работы мы ознакомились с различными теоремами и свойствами признаков делимости. Также мы рассмотрели задачи из школьного курса математики и задания ГИА, для оптимального решения которых необходимо знание признаков делимости.

Теоретический материал разбит по конкретным темам и структурирован, что делает материал более удобным для восприятия. Работая с данной темой, мы изучили такие разделы, как делимость чисел, делимость сумм и произведений, общие признаки равноостаточности и делимости.

Задания, подобранные во второй части работы показывают практическую значимость изучения признаков делимости в школе. Задания олимпиадного уровня и задания ГИА по математике требуют от школьников грамотного распределения времени для выполнения работы, а признаки делимости позволяют решить некоторые задачи без особых временных затрат.

Список литературы

делимость теорема задача

1. Воробьев Н.Н. Признаки делимости / Н.Н. Воробьев - Изд.4-е, испр. - М., Наука, 1988. - 96 с.

2. LXVIII Московская математическая олимпиада. Окружной тур / сост.: А.Д. Блинков, В.М. Гуровиц, А.С. Горская; - М., Издательство МЦНМО, 2005. - 80 с.

3. Решу ЭГЭ - Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://mathb_ege.sdamgia.ru/test?theme=229. Дата обращения (20.12.2017)

4. Сайт олимпиады для школьников Кенгуру по математике [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://russian_kenguru.ru/konkursy/kenguru/zadachi/2014goda. Дата обращения (21.12.2017)