Признаки делимости
Введение
Актуальность работы: признаки делимости - одна из ключевых тем числовой содержательно-методической линии школьного курса математики. Для решения целого ряда теоретико-числовых задач необходимо иметь возможность определить делится одно число на другое или нет, не выполняя самого деления. Этим обусловлена актуальность выбранной темы.
Объект исследования: делимость целых чисел.
Предмет исследования: признаки делимости целых чисел.
Цель: систематизировать знания о признаках делимости, рассмотреть применение признаков делимости к задачам школьного курса математики.
Задачи исследования:
1. Изучение основных свойств отношения делимости
2. Изучение основных признаков делимости
3. Признаки делимости в школьном курсе математики.
Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух разделов, заключения и списка литературы.
Отношение делимости - это одно из главных отношений в кольце целых чисел, изучением которого занимается теория чисел.
Изучением делимости чисел занимался еще Пифагор и его ученики. Они рассматривали красоту и природу чисел в целом, занимались изучением совершенных чисел, т.е. чисел, равных сумме всех его делителей, дружественных чисел - чисел, равных сумме делителей другого числа. Таким образом, в школе Пифагора уже знали делители и кратные чисел.
Затем делимостью чисел занимался Евклид. Он обосновал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, доказал бесконечность множества простых чисел. Теории чисел посвящен один из разделов «Начал» Евклида
Греческий математик Эратосфен придумал способ выделения простых чисел из натурального ряда, названный «решетом Эратосфена». В этом решете «отсеиваются» простые числа от составных чисел. Нахождением простых чисел и составлением таблиц простых чисел занимались многие ученые и после него: Эйлер, Лагранж, а также отечественные математики и педагоги.
Таким образом, теория делимости изучалась на протяжении многих веков и накопила богатый материал для изучения и исследования.
1. Изложение основных фактов, относящихся к признакам делимости
1.1 Делимость чисел
Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда есть целое число. Этот факт называется замкнутостью множества целых чисел по отношению к действиям сложения, вычитания и умножения. Множество целых чисел не является замкнутым по отношению к действию деления, так как частное от деления одного целого числа на другое может не являться целым. Из этого можно сделать вывод о том, что множество целых чисел является кольцом, но не полем.
Поэтому при изучении обстоятельств, связанных с делением целых чисел, одним из первых встает вопрос о выполнимости этого действия для данных двух чисел, т.е. о делимости этих чисел. При рассмотрении остальных арифметических действий над целыми числами подобный вопрос, очевидно, не возникает [1, c. 7].
Все основные свойства арифметических действий, простейшие свойства равенств и неравенств над целыми числами будем считать известными. Под словом "число" всегда, если не оговорено противное, будет пониматься целое число.
Определение. Число а делится на число b (число b делит число а), если существует такое число с, что
Этот факт называется делимостью числа а на число b и обозначается как а ? b (читается, как «а нацело делится на b»).
Запись а ? b означает некоторое утверждение, которое касается этих чисел. В зависимости от того, каковы числа а и b, утверждение a ? b может быть верным или неверным. Так, например, 4 ? 2 верно, а 4 ? 3 - нет.
Для выяснения того, является ли утверждение а ? b верным или нет, имеется несколько способов. Один из них состоит в том, чтобы непосредственно делить число а на b. Но этот способ при больших числах является затратным по времени. Если нам нужно только установить, делится ли число а на число b, то не обязательно узнавать конечный результат деления (частное и в отдельных случаях остаток) - это ведет за собой выполнение лишних действий.
Существуют более прямые способы выяснения делимости, чем деление. Они позволяют установить факт делимости более коротким путем. Такие способы выяснения делимости называются признаками делимости [1, c. 8].
Сущность всякого признака делимости на данное число b состоит в том, что при его помощи вопрос о делимости любого числа а на b сводится к вопросу о делимости на b некоторого числа, меньшего чем а. Таким образом можно сказать, что признак делимости - это некоторый процесс.
Выясним, сколько различных значений может иметь частное от деления а на b:
Пусть (1.1) и вместе с тем . Из этих равенств мы получаем , или .
Если при этом , то , т. е.'. Если же , то и а равенство (1.1) выполняется при любом с.
Таким образом, на нуль делится только нуль, а частное от такого деления неопределенно. Именно это и имеется в виду, когда говорят о невозможности деления на нуль. Если же делитель отличен от нуля и делимость имеет место, то частное имеет одно, вполне определенное значение. Говоря о делении, мы всегда будем предполагать делитель отличным от нуля.
Определение 1. Пусть . Говорят, что a делится на b (или b делит a), если найдется такое целое число k, для которого выполняется равенство a = bk: .
Число a называется делимым, число b - делителем, число k (если оно существует) - частным.
Таким образом, о любой паре целых чисел a и b можно сказать, что a делится на b, либо a не делится на b. Это означает, что на множестве целых чисел определено бинарное отношение. Это отношение называют отношением делимости.
Свойства отношения делимости
10. Отношение делимости рефлексивно: .
Доказательство.
20. Отношение делимости транзитивно: .
Доказательство.
30. Отношение делимости сохраняется при изменении знаков делимого и (или) делителя:
.
Доказательство
40. Если все слагаемые делятся на некоторое число, то и вся сумма делится на это число:
.
Доказательство приведем для двух слагаемых, но, в силу ассоциативности сложения целых чисел, утверждение справедливо для любого конечного числа слагаемых.
50. Если один из сомножителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число:
.
Доказательство.
Следствие
.
60. Если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, а одно не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число:
Доказательство.
Обозначим , . Докажем, что .
Предположим, . По условию, , следовательно , так как . Тогда (свойство 60). Но . Следовательно, , что противоречит условию. Полученное противоречие доказывает, что .
70. Нуль делится на любое целое число: .
Доказательство.
80. Любое целое число делится на единицу:.
Доказательство
90. Ни одно целое число, отличное от нуля, не делится на нуль: .
Доказательство. Предположим, . Тогда . Но , а . Полученное противоречие говорит о том, что исходное предположение неверно, следовательно, .
100. Модуль делителя не превышает модуля отличного от нуля делимого: .
Доказательство.
Умножим обе части последнего неравенства с положительными членами на положительное число : . Отсюда , что и требовалось доказать.
Следствие 1.
.
Следствие 2.
.
Сумма, разность и произведение четных чисел всегда четны. Вместе с тем деление одного четного числа на другое не всегда выполнимо, а если и выполнимо, то частное не обязательно четно. Поэтому можно ввести понятие четной делимости четных чисел.
Определение. Четное число а четно делится на четное число b, если существует такое четное число с, что а = b·с.
Для четной делимости теорема 1 неверна, так как, например, не существует такого четного числа с, для которого а = а·с.
Пример четной делимости показывает, что можно строить различные теории делимости с различными свойствами, и теоремы, верные для одних таких теорий, могут оказаться неверными для других.
Нельзя утверждать, что делимость числа напрямую связана с его величиной. Существуют как большие, так и малые числа, имеющие одинаково много делителей. Так, например, делителями числа 24 являются , 2, 3, 4, 6, 12, 24; число 96 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Наряду с ними существуют и достаточно большие числа, имеющие всего два делителя.
Сама делимость позволяет установить среди чисел некоторый порядок, отличающийся от их обычного порядка по величине, но имеющий с ним много общего.
Под этой возможностью понимается то, что для некоторых пар чисел а и b имеет место отношение "больше или равно": , которое означает, что разность неотрицательна (т. е. должно существовать такое натуральное число с, что ). Явление делимости состоит в том, что некоторые пары чисел а и b подчиняются некоторому условию (существует такое целое с, что ). Таким образом, отношение делимости и отношение "больше или равно" представляют собой понятия одной природы, и потому можно говорить об их общих свойствах или противопоставлять их друг другу.
Отношение ? обладает следующими свойствами:
1° (рефлексивность).
2° Если и , то (антисимметричность).
3° Если и , то (транзитивность).
4° Во всякой последовательности натуральных чисел все члены которой отличны друг от друга, найдется последнее число (полная упорядоченность).
5° Каково бы ни было число а, существует отличное от а число b, для которого (неограниченность в смысле отношения).
6° Каково бы ни было число а, не являющееся минимальным, существует такое b, что , , и для любого числа с из следует либо , либо (среди всех чисел, меньших данного, есть наибольшее).
7° Либо , либо (дихотомичность).
Отношение делимости обладает всеми свойствами отношения порядка за исключением 7°. В связи с этим отношение делимости упорядочивает натуральные числа не в виде линейной цепочки, а иным, более сложным образом (см. рисунок 1).
Заметим, что числа, близкие по величине, могут оказаться довольно "далекими" друг от друга в смысле делимости. Наглядно демонстрируют это числа 4 и 5 или 7 и 8 [1, c. 17].
Рисунок 1
Деление целых чисел выполнимо не всегда. Поэтому целесообразно наряду с действием деления рассматривать и другое, более общее действие, которое всегда выполнимо. Таким действием является деление с остатком.
Деление с остатком
Определение 2. Пусть , . Говорят, что a делится на b с остатком если существуют такие целые числа q и r, что выполняется равенство , причем .
Число a называется делимым, число b - делителем, число q - неполным частным, r - остатком от деления.
Теорема о делении с остатком. На множестве целых чисел деление с остатком выполнимо, причем единственным образом: , , .
Доказательство.
Случаи и очевидны, поэтому будем рассматривать и .
1. .
а) :
б) .
Рассмотрим множество - множество натуральных чисел, кратных b и не превосходящих а: . Очевидно, М - подмножество множества натуральных чисел, ограниченное сверху. Следовательно, оно имеет наибольший элемент. Обозначим его . Это означает, что , но . Таким образом, . Из этого неравенства, очевидно, следует, что . Обозначив , получим: , причем .
2. . Так как , то и по доказанному выше,
.
Тогда
(1)
Преобразуем правую часть равенства (1):
(2)
, .
Обозначив , получим: .
3. . Так как , то и по доказанному выше, . Но тогда . Обозначив , получим: .
4. Докажем единственность неполного частного и остатка. Предположим, .
Тогда . Левая часть равенства делится на b, следовательно, на b должна делиться и правая часть, т.е. . Но , поэтому . Но тогда (свойство 100) , т.е. , откуда . Тем самым доказана единственность деления с остатком.
Теорема доказана. [1, c. 10].
Определение. Число р, не равное единице, называется простым, если оно делится только на себя и на единицу. Число, отличное от единицы и не являющееся простым, называется составным.
Теорема 8. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство (ведется от противного): Предположим, что простых чисел конечное число, так что все они могут быть выписаны: p1, p2, p3,....., pn (Д.1)
Произведение всех этих чисел обозначим через Р и рассмотрим разность Р - 1. Эта разность больше каждого из простых чисел, перечисленных в списке (Д.1), и потому не может быть простым числом. Следовательно, она делится хотя бы на одно простое число pk. Но Р также делится на pk. Следовательно, на основании следствия теоремы 6, должно быть и 1 ? pk, откуда следует, что pk = 1, а это противоречит простоте числа pk.