Автореферат: Применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения задач оптимизации и проектирования гальванических процессов

В нашем подходе вводится обобщённая функция состояния гальванического процесса. Исходные параметры связываются системой уравнений с обобщённой функцией посредством уравнений математической модели. Затем, с помощью функции состояния, определяются необходимые характеристики электрохимического процесса, такие как микротвёрдость, равномерность и другие, что является второй ступенью разработанной схемы. Если обозначить за - обобщённую функцию состояния гальванического процесса, зависящую от набора параметров , то в общем виде характеристики электрохимического процесса в гальванической ванне будут определяться таком образом:

k=К(F(P),Pк), (1)

где К(*) - соответствующая искомой характеристике функциональная зависимость, Рк - набор дополнительный параметров для этой зависимости.

В качестве обобщённой функции состояния выбран двумерный вектор функции распределения потенциалов по объёму гальванической ванны и функции электрической проводимости среды в объёме ванны. Подобный выбор позволяет, с одной стороны, тривиально и единообразно определять плотность тока на любом участке и по справочникам получить значение необходимых критериев, а с другой стороны легко связывается уравнениями математической модели.

Одним из главных отличий предложенной математической является отказ от уравнения Лапласа

;; (2)

где Sи - поверхность изолятора, Sj - поверхность j-того электрода, Uj - его потенциал, F()- функция катодной или анодной поляризации электролита, x, y, z -- координаты точки в объёме электролита.

Предлагаемая математическая модель строилась при следующих допущениях:

Проводимость среды в объёме гальванической ванны известна;

Применяемый токовый режим - постоянный ток;

Свойства электролита не меняются во времени проведения процесса;

Формы электродов не меняются с течением времени.

Вместо уравнения Лапласа в новом подходе предложено использовать уравнение непрерывности токов, которое будет соблюдаться во всём объёме гальванической ванны. Согласно уравнению непрерывности токов для любой замкнутой поверхности в объёме гальванической ванны имеем:

, (3)

где S - поверхность; - векторная функция плотности тока; - единичная нормаль к поверхности; Iвнеш - внешний ток, входящий в объём, например от подключённых источников тока.

Выразив плотность тока через градиент функции распределения потенциала и проводимость среды, получим итоговое уравнение:

(4)

Для учёта поляризации в приведённой математической модели необходимо скорректировать градиент потенциала на границе электролит-электрод на величину потенциала поляризации.

Тогда уравнение математической модели может быть переписано в следующем виде:

(5)

где - скорректированное значение градиента потенциала, рассчитываемое из следующего условия:

(6)

где - используемое значение потенциала электрода, - действительный потенциал электрода, - величина поляризации (учитывающая, в том числе, концентрации различных добавок в электролиты, включая нанодисперсные).

Предложенное автором уравнение не нуждается в краевом условии на границе с изолятором, так как в силу условно бесконечного сопротивления изоляторов перенос зарядов через их границу осуществляться не будет, а изменение потенциалов по направлению нормали к границе будет равно нулю. Последнее утверждение говорит о возможности описания токонепроводящих экранов в гальванической ванне посредством определения нулевого значения функции проводимости в их объёме, а также на стенках гальванической ванны.

Задавая значение функции проводимости ч(x,y,z) в объёме электродов, соответствующее реальной проводимости материалов их изготовления, можно произвести расчёт изменения потенциала в их объёме, что решает вопрос использования протяжённых электродов с существенным изменением потенциала на их поверхности. Заметим, что предложенный подход подходит для описания потенциала биполярного электрода в гальванической ванне. При этом не требуются дополнительные вычислительные методы для определения этого потенциала, который получается непосредственно в виде части решения уравнения математической модели. Используя нулевые значения удельного электрического сопротивления, определяется условие равенства потенциала в объёме всего электрода.

Вариант подключения к аноду или катоду источника тока описывается в рамках имеющегося уравнения математической модели с помощью определения Iвнеш для областей подключения источника. В случае подключения к электроду источника напряжения соответствующие области исключаются из рассчитываемого поля потенциалов, для них задается краевое условие вида:

, (7)

где - поданный с источника потенциал.

После определения функции состояния в виде комбинаций функции распределения потенциалов и функции проводимости среды, определим плотность тока на любом участке электрода из соотношения:

. (8)

В третьей главе предложено усовершенствование численного метода решения системы уравнений, полученной во второй главе, приведено обоснование и тестирование разработанного математического аппарата. Получение точного решения системы уравнений математической модели аналитическим методом не представляется возможным в силу нелинейности краевых условий и сложности участвующих в уравнениях функций. По этой причине применение численного расчёта является обоснованным. Алгоритм решения строится на конечно-разностном методе, в котором дифференциал функции потенциала заменяется разностным выражением. Непрерывная функция потенциалов заменяется дискретным сеточным аналогом, определённым в узлах некоторой пространственной сетки. Функция проводимости определяется на рёбрах между смежными узлами сетки, при этом принимается, что на каждом ребре функция проводимости постоянна. Также для конечно-разностного аналога принимается, что перенос заряда будет осуществляться только между соседними узлами по рёбрам сетки. Для формирования системы уравнений необходимо в разработанной математической модели перейти от градиента потенциала к его конечно-разностному аналогу, а интеграл заменить суммой. Для этого опишем вокруг каждой точки параллелепипед с центром в точке и размерами, равными шагу сетки, и ориентированный осями симметрии параллельно рёбрам сетки. Заменяя интеграл суммой, а градиент потенциала его конечно-разностным аналогом, получим следующее выражение:

, (9)

где - потенциал в центре рассматриваемого узла, - потенциал в центре смежного узла, - потенциал поляризации, R - сопротивление между ними.

Таким образом, получаем систему уравнений, связывающих потенциалы в объёме гальванической ванны. Процесс вычисления корней полученной системы осложняется неизвестными нелинейными членами в уравнениях, описывающими влияние поляризационных явлений. Классический подход, применяемый в подобных случаях, выглядит следующим образом: выбирается некоторое начальное приближение поляризации, затем рассчитываются корни системы уравнений без учета изменения поляризации. Определяется новое приближение, и если оно значительно отличается от предыдущего, то расчет повторяется, иначе полученное на текущей итерации решение принимается за решение системы уравнений.

Для сокращения количества необходимых итераций и уменьшения времени работы в работе предложено усовершенствование существующего численного метода. Для этого построим кусочно-линейную интерполяцию для использующейся поляризационной функции. В таком случае потенциал поляризации для некоторой пары точек на границе электролит-электрод может быть записан следующим образом:

, (10)

где , - члены интерполяционного выражения, - границы участка интерполяции.

Обратим внимание, что получение выражение не содержит нелинейных членов. Таким образом, получим систему линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена любым подходящим методом. После решения полученной системы необходимо провести уточнение значений поляризации только для тех пар точек, где разница потенциалов вышла за пределы используемого на предыдущей итерации интерполяционного выражения. Если для всех пар значения разности потенциалов остались в прежних пределах, или изменение поля распределения потенциалов незначительно, то итерационных процесс заканчивается.

С учётом предложенного усовершенствования вычислительный алгоритм выглядит следующим образом:

Шаг 1. Произвести расчет поля потенциалов без учета влияния поляризационных явлений , где ц - вектор потенциалов, R- матрица коэффициентов уравнений (9), I- внешний ток, по отношению к узлу (9);

Шаг 2. Построить линейную аппроксимацию функции поляризации для значений разности потенциалов больших нуля и меньших нуля (10);

Шаг 3. Пересчитать значения корней системы уравнений с использованием «глобального» аппроксимационного выражения , где - скорректированная матрица коэффициентов;

Шаг 4. Построить кусочно-линейную интерполяцию поляризационной функции с необходимой степенью точности (10);

Шаг 5. Рассчитать новое приближение корней системы уравнений с учётом полученных интерполяционных выражений (9,10);

Шаг 6. Если новое приближение корней системы уравнений близко к предыдущему , то процесс расчета закончен, иначе возвращаемся к шагу 5.

Для проверки адекватности математической модели проводился численный эксперимент по моделированию толщины гальванического покрытия, результаты которого сравнивались с экспериментально полученными данными. При этом использовалась следующая конфигурация гальванической ванны: Используется электролитическая ячейка размером 150x100x100 мм, заполненная электролитом Уоттса до уровня 90мм. Прямоугольная плоская анодная секцияи деталь-катод в виде плоского уголка погружены в электролит на 30 и 20 мм, соответственно. Расположение электродов показано на рис. 1, а их геометрические формы на рисунках 2 и 3.

Рис. 1. Расположение электродов Рис.2. Форма катода Рис. 3. Форма анода

Катодная и анодная кривые поляризации используемого электролита изображены на рис.4,5 соответственно.

Рис.4. Катодная поляризация Риc.5. Анодная поляризация

Погрешность Ф математической модели вычислялась по формуле:

,

где дР- толщина покрытия по расчетным данным, дЭ - толщина по экспериментальным данным, N - количество точек. Для эксперимента погрешность составила 17.04 %, что доказывает корректность предложенной математической модели и алгоритма расчёта.

Результаты экспериментов и расчётные значения показаны на рис. 6, 7.

Усовершенствованный численный метод тестировался на ПК AMD Athlon II 7750 c 4Gb оперативной памяти в задачах расчёта толщины покрытия при применении стандартного электролита хромирования, электролита Уоттса и биполярного электрода. Использовалась трехмерное разбиение объема гальванической ванны с количеством узлов 50x50x100. Фиксировалось время работы сравниваемых алгоритмов. Процесс расчётов останавливался при достижении шага изменения потенциалов в 0.5%, результаты испытаний отражены в таблице 1.

Рис.6. Экспериментальное распределение покрытия

Рис.7. Рассчитанное по математической модели распределение покрытия

Из анализа результатов тестирования можно сделать вывод о том, что предложенный численный метод обладает более высокой скоростью расчёта и позволяет решать новые классы задач гальванотехники.

В четвёртой главе разработан комплекс программ ЭВМ для проведения вычислительного эксперимента по моделированию электрохимических процессов, осуществляемых в гальванических ваннах.

Программный комплекс состоит из четырёх основных частей, изображённых на рис. 8.

вычислительный сервер, осуществляющий общее управление процессом расчёта;

набор библиотек, обеспечивающих различные функциональные аспекты работы программного комплекса;

база данных, предназначенная для хранения различных справочников, настроек, полученных на обработку заданий и результатов;

Рис. 8. Организация комплекса программ

клиентского приложения, обеспечивающего графический интерфейс пользователя.

Вычислительный сервис осуществляет общее управление процессом расчёта.

Набор библиотек содержит программные классы, реализующие необходимую функциональность, например описание форм электродов, определение сетки разбиения объёма гальванической ванны, определение поляризационных кривых. Расширение программного комплекса осуществляется с помощью создания и подключения новых библиотек, содержащих требуемые классы.

Центральным объектом при расчёте является экземпляр класса «Контекст расчёта». Контекст расчёта является контейнером для остальных программных объектов, осуществляет их загрузку и использование. В контекст расчёта могут вкладываться следующие функциональные объекты:

«Электрод», предназначен для обработки различных геометрических объектов в гальванической ванне, например анодов, катодов, биполярных электродов и токонепроводящих экранов;

«Электролит», предназначен для отображения свойств электролита при формировании системы уравнений и её расчёте;

«Расчёт» реализующий численный метод для определения корней сформированного уравнения;

«Критерий расчёта», выполняющий расчёт требуемых характеристик по полученной функции состояния гальванической ванны. Осуществляет запись результата в базу данных.

Центральные объекты данных программного комплекса представляются вектором структур типа «Точка», отображающих состояние некоторой точки в объёме ванны, и вектором структур типа «Связь», отражающих состояние электрической связи между точками. В совокупности вектор точек и вектор связей описывают систему уравнений, корни которой определяют функцию состояния гальванической ванны.