Материал: Прикладная теория систем массового обслуживания

С учетом нормировочного условия, получаем [1]:

                                       (4.4)

где .

Для сокращения дальнейшей записи введем обозначение [1]

                                            (4.5)

Формулы расчетных характеристик для нашего случая будут выглядеть так:

) Вероятность обслуживания заявки (вероятность поражения самолёта):

,                      (4.6)

) Среднее число занятых каналов обслуживания:

                  (4.7)

) Вероятность занятости канала:

.                                                    (4.8)

4.2 Расчет параметров СМО

Рассмотрим граф состояний для нашего конкретного случая, т.е. количество каналов обслуживания , а количество взаимодействующих каналов .

.        Для ,

 - граф состояний

Рис. 4.2 Граф состояний 3-х канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

система уравнений

                                                                        (4.9)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.3 Граф состояний 4-х канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 3 канала, вторая заявка обслуживается одним прибором);

система уравнений

                                                                   (4.10)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.4 Граф состояний 5-и канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 5 каналов одна обслуживается двумя каналами другая тремя);

система уравнений

                                                                 (4.11)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

. Для , :

граф состояний

Рис. 4.5 Граф состояний 6-и канальной системы ПРО

где Х₀ - заявки в системе отсутствуют;

Х₁ - в системе находится одна заявка (занято 3 канала);

Х₂ - в системе находится две заявки (занято 6 каналов каждая заявка обслуживается 3-мя приборами);

система уравнений

                                                        (4.12)

Вероятность обслуживания:

Вероятность занятости канала:

Среднее число занятых каналов:

При решении системы уравнений вероятностных состояний используем программу для расчета аналитической модели (листинг программы см. Приложение 1). Результаты вычислений представлены в табл.1

4.3 Анализ полученных результатов моделирования

Была исследована зависимость вероятностных характеристик системы от числа обслуживающих приборов. При увеличении числа обслуживающих приборов от 3 до 6 наблюдаем:

·        уменьшение вероятности занятости канала;

·        неизменность среднего времени занятости канала;

·        увеличение среднего времени простоя канала.

В результате аналитического моделирования получены интересующие нас вероятностные характеристики системы. При аналитическом моделировании система ПРО рассматривалась в виде графа гибели и размножения, что позволило определить вероятности состояний из системы уравнений. Также эти характеристики могут быть посчитаны по заранее известным формулам. Расчет по эти формулам произведен в программе, листинг которой представлен в Приложении 2. Результаты аналитического моделирования представлены также в Приложении 3. А требуемые графики в Приложении 4.

5. Сопоставление полученных результатов для разработанных моделей

Что бы убедиться в адекватности применяемых моделей СМО, воспользуемся статистическим критерием , который служит для проверки однородности двух независимых выборок.

Если выборки однородны, то считают, что они извлечены из одной генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения  и .

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента функции распределения равны между собой: .

Для того чтобы при заданном уровне значимости  и количестве степеней свободы  проверить нулевую гипотезу  об однородности двух независимых выборок объемов  и  () при конкурирующей гипотезе  необходимо найти величину  по формуле [2]:

,                                 (5.1)

и сравнить полученное значение с табличным  для данных  и .

Если , нулевую гипотезу отвергают.

Если , гипотеза об однородности выборок принимается.

Зададимся уровнем значимости  (число степеней свободы ), при объеме выборки .

Значение  для данных параметров равно 0,004.

В качестве  выберем вероятность занятости канала обслуживания для аналитической модели, а - для имитационной модели.

Результаты расчетов сведем в таблицу.

Таблица 5.1.                        

Расчет значения

Из таблицы получили , поэтому принимаем нулевую гипотезу об однородности выборок. Таким образом, результаты сравнения показывают адекватность моделей.

Заключение

В процессе выполнения данной индивидуальной работы была рассмотрена система массового обслуживания на примере системы ПРО с отказами и частичной взаимопомощью. Данная система ПРО была рассмотрена как система массового обслуживания с отказами и частичной взаимопомощью между каналами обслуживания.

Для заданной системы были построены две модели: аналитическая модель и имитационная модель. Обе системы рассматриваются при следующих упрощениях: рассматривается простейший пуассоновский поток входящих заявок, простейший пуассоновский поток обслуживания, а также система работает в стационарном режиме. В аналитической модели можно путем решения алгебраической системы уравнений можно определить вероятностные характеристики системы - вероятность обслуживания, вероятность занятости канала, среднее время простоя канала и др.

Имитационная модель строилась с учетом всех особенностей функционирования реальной системы и поэтому она достаточно точно описывает все вероятностные процессы. В основу имитационной модели положено рассмотрение работы системы на некотором отрезке времени. В результате этого можно определить вероятностные характеристики системы. Листинг программы имитационного моделирования приведен в Приложении 1.

На этапе сравнения двух построенных моделей с помощью критерия  были сделаны следующие вывод - с точки зрения вычисления такой характеристики системы как вероятность отказа модели (аналитическая и имитационная) адекватны.

Также была выявлена зависимость вероятностных характеристик системы от числа обслуживающих приборов, были получены следующие закономерности. Проводя моделирование при увеличении числа обслуживающих приборов от 3 до 6, наблюдаем:

·    увеличение вероятности обслуживания;

·        уменьшения вероятности занятости канала;

·        увеличение среднего времени простоя канала.

Соответствующие зависимости в виде графиков представлены в Приложении 4.

Список используемой литературы

1.  Южаков А.А. Прикладная теория систем массового обслуживания: Учеб. пособие, Пермь, Перм. гос. техн. ун-т, 2010.

2.      Овчаров Л. А., Прикладные задачи теории массового обслуживания, Москва, Машиностроение, 2009.

.        Гмурман В. Е., Теория вероятностей и математическая статистика. М: Высшая школа, 2009.

.        ГОСТ 19.105-78. ЕСПД. Общие требования к программным документам.

Приложение 1

Листинг программы имитационного моделирования

program SMO_im;

uses crt;=4.52; {Интенсивность простейшего входящего потока}=0.975; {Интенсивность простейшего потока обслуживания}=0.703;    {Параметр нетерпимости заявки}_t=1000000; {Время моделирования}_kanalov=3; {Число каналов обслуживания}=3; {Параметр взаимопомощи}_svob,p:integer; {кол-во свободных в данный момент приборов}:real; {Количество выполненных заявок},otkaz:longint; {Кол-во заявок, кол-во отказов},ok:integer;:longint; {Текущее время при моделировании}_z0,t_z,t_obs:real; {Интервалы обслуживания и занятости заявки}:array[1..n_kanalov] of real;{Массив, в котором хранится время занятости текущего канала}_zan:array[1..n_kanalov] of real;{Массив, в котором хранится общее время занятости каждого канала во время моделирования}_vyp:array[1..n_kanalov] of integer; {Массив, в котором хранится кол-во заявок, выполненных каждым каналом}

n_l_z:array[1..n_kanalov] of integer;

Pobs:real;                               {Вероятность обслуживания},tpk,ksr:real; {Среднее число занятых каналов и плотность потока обслуживающих заявок}_zero:array[1..l] of integer; {Номера свободных в данный момент каналов обслуживания}

pobs,pzk:real; {Вероятность занятости канала}

begin;_z0:=0;:=0;:=0;:=0;i:=0 to n_kanalov do                     {Начальное обнуление параметров}_vyp[i]:=0;_zan[i]:=0;; t:=0 to time_t do {Основной цикл моделирования}i:=1 to n_kanalov do  {Цикл проверки окончания обслуживания заявки}

begin((t>=n[i])AND(n[i]<>0)) then {Если текущее время больше, чем}[i]:=0;:=vypolneno+1/n_l_z[i];_l_z[i]:=0;

end;

продолжение Приложения 1

end;

if (t>=t_z0) then                      {Генерации прихода новой заявки}

begin

t_z:=-100/lambda*ln((random(1000)+1)/1000);{генерация случайного интервала между заявками}_z0:=t_z0+t_z;(kolvo); {Счётчик числа пришедших заявок увеличивается на единицу}_svob:=0;i:=1 to l do n_zero[i]:=0; {Обнуляется массив номеров свободных каналов}:=1;i:=1 to n_kanalov do {Цикл поиска свободных каналов}

begin(n[i]=0) then(n_svob);_zero[p]:=i;

inc(p);;;(n_svob>=l) then begin {если число свободных каналов больше, чем l, то поступившая заявка обслуживается l}_obs:=-100/(l*mu+eta)*ln((random(1000)+1)/1000);{Генерация времени обслуживания заявки}i:=1 to l do {Распределяем обслуживание заявки по l каналам}[n_zero[i]]:=t+t_obs; {Записываем время окончания обслуживания заявки}

n_l_z[n_zero[i]]:=l;_zan[n_zero[i]]:=t_zan[n_zero[i]]+t_obs;{Общее время занятости i-го канала}_vyp[n_zero[i]]:=n_vyp[n_zero[i]]+1; {Число заявок, выполненных i-тым каналом}

ok:=1; {Заявка поставлена на обслуживание};(n_svob>0)AND(n_svob<l) then begin {если число свободных каналов меньше, чем l, то поступившая заявка обслуживается}_obs:=-100/(n_svob*mu+eta)*ln((random(1000)+1)/1000); {Генерация времени обслуживания заявки}i:=1 to n_svob do {Распределяем обслуживание заявки по оставшимся свободным каналам}[n_zero[i]]:=t+t_obs; {Записываем время окончания обслуживания заявки}

n_l_z[n_zero[i]]:=n_svob;_zan[n_zero[i]]:=t_zan[n_zero[i]]+t_obs;{Общее время занятости i-го

канала}_vyp[n_zero[i]]:=n_vyp[n_zero[i]]+1; {Число заявок, выполненных i-тым каналом}

продолжение Приложения 1ok:=0; {иначе заявка не поставлена на обслуживание}(ok<>1) then inc(otkaz); {Если заявка не поставлена на обслуживание, то увеличивается счётчик отказов на единицу};; {Окончание основного цикла моделирования}

{Вычисление интересующих параметров по результатам моделирования}

pzk:=0;i:=1 to n_kanalov do pzk:=pzk+t_zan[i]/time_t;:=pzk/n_kanalov; {Вычисление вероятности занятости канала}

tpk:=0;i:=1 to n_kanalov do if (n_vyp[i]<>0) then tpk:=tpk+(time_t-t_zan[i])/n_vyp[i];

ksr:=pzk*n_kanalov;                       {Вычисление среднего числа занятых каналов}:=(kolvo-otkaz)/kolvo; {Вычисление вероятности обслуживания}('Число заявок ',kolvo);('Выполнено ',vypolneno:5:0);('Вероятность обслуживания ',Pobs:5:3); {Вывод результатов моделирования}('Вероятность занятости канала ',pzk:5:3);('Среднее число занятых каналов ',ksr:5:3);

readln;.

Приложение 2

Листинг программы аналитического моделирования

program SMO_an;crt;l=4.52;=0.703;=6;=3;=2000;faktorial(a:integer):integer;ii,fak:integer;:=1;a=0 then fak:=1;ii:=1 to a do fak:=fak*ii;:=fak;;: array [0..n] of real;,h,ns:integer;:real;:=n div ll;:=h;:=0;n mod ll <>0 then ns:=ns+1;i:=0 to ns do p[i]:=0;i:=0 to ns-1 do c:=c+exp(i*ln(l))/(faktorial(i)*exp(i*ln(ll*m)));:=c+exp(ns*ln(l))/(faktorial(ns-1)*n*m*exp((ns-1)*ln(ll*m)));[0]:=1/c;i:=1 to ns-1 do p[i]:=(p[i-1]*l)/(i*ll*m);