Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

5.56. Согласно полуквантовой теории Бора, полная энергия электрона, радиус круговой орбиты и скорость электрона соответственно равны:

E = −

∙

, где k =

, n=1,2….;

(1)

Угловые скорости

вращения электрона по орбитам n и n+1 равны:

; υ

∙

Ω

υn

k2mZ2e4

Ω

υn+1

k2mz2e4

(2)

ħ3n3

n+1

rn+1

ħ3(n+1)3

Частота фотона,

испущенного

результате

перехода

энергетического уровня En 1

на уровень En , равна

(

−

) =

−( n

)

2(=n 1)ħ2

( (

) , )

(3)

Сравним

с ω :

(4)

n(2n 1)

n 1

2n2

(5)

(n 1)(2n 1)

Из (4) и (5), имеем:	n	1,	n 1	1, n , n 1 .

Итак, получили: n 1 n

5.57. Сила, действующая на частицу в центральном поле

сил, равна	F	dU	d	(	r2	) r.
		dr	dr
				2

Далее напишем уравнение движения и условие квантования

		m 2
момента импульса частицы:			r,

		r
	= , = 1,2,…

(1)

(2)

(3)

Из (2) имеем		=		; кинетическая энергия частицы =		.

Полная энергия частицы

(4)

Выражая из (3) скорость и

подставляя ее в (2), получаем:

где

= 1,2,…

(5)

Соотношения (4) и (5) дают:

= .

(6)

Итак, энергетический спектр частицы определяется формулой (6),

т.е.		5.58.=Характеристики, = 1,2,движения…				и энергетический спектр
электрона водородоподобного иона следует из уравнений:
	m 2		kZe2
				(1),	m r n , где n 1,2,...		(2)
			r2
	r

Радиус n-й круговой орбиты электрона и его скорость на этой орбите определяются следующими выражениями:

Ф ,

(3)

(4)

атома

= 9 10 м

для

Здесь

. Вычислим значения

этих величин

водорода и иона гелия

= 1

(м) = 0,529Å,

атом H:

Z=1,

n=1.

−34 2

1,05 10

1,6 10−19 2

9 109 0,91 10−30

9 109(1,6 10−19)2

= 2,18 10 м/ .

1,05 10

−34

= , = 0,265Å, = 2 2,18 10

ион

Z=2,

n=1.

4,36 10 м/ .

5.59. Круговая частота обращения электрона на n-ой орбите водородоподобного иона n n /rn . Привлекая формулы

(3) и (4) задачи 5.58, получим: n mk2Z2e4 /( 3n3). Для иона He (Z=2, n=2)

			0,91 10 30							(9 109)2			22		(1,6 10					19 )4						16			1/c.
	2																							2,07 10
	2									(1,05 10 34 )3 23														2,07 10
	5.60.Энергия электрона на n-й орбите водородоподобного
атома равна										En	mk2Z2e4					1													(1)
										En		2 2						n2	,
Основному состоянию электрона																соответствует n=1. Формулу (1)
Основному состоянию электрона																				= 1,2,…
можно		переписать								в виде				(для					n=1)					E RZ2					(2), где
																						1
R	mk2e4			16	1				Энергия связи иона,											определяемая работой по
R	2 3	2,07 10				c		.
разъединению электрона и ядра															Ecв Eвз							RZ2				(3). Потенциал
ионизации				i Eсв /e RZ2 /e												(4).				Длина волны									головной
линии серии Лаймана
															2 c						8 c				.				(5)
																									.				(5)
										21				R(1 1/4)							3R
Первый потенциал возбуждения
			(E				2		E )/e			RZ			2		(1 1/4)						3 RZ			2	.		(6)
			(E						E )/e								(1 1/4)										.		(6)
			1							1				e											4e
														e											4e
Результаты расчета ионных величин по формулам (2) (6)
предоставлены в таблице.

					Eвз , эВ								i , В									1, В						,нм

	Н						13,6						13,6									10,2						121,5

	He						54,5						54,3									40,8							30,4

													43

5.61.Энергия электрона водородоподобного иона n-го

порядка En	mk2Z2e4	RZ	2	/n	2		R	mk2e4	16
						, где			2,07 10
	2 2n2					, где		2 3	2,07 10
	2 2n2							2 3

1/с –постоянная Ридберга. Энергия фотона, испускаемого ионом

при переходе электрона с уровня E3	на уровень					E2	(головной
	2				1	1		2
линии серии Бальмера) равна E E RZ							5 RZ		/36.
линии серии Бальмера) равна E E RZ							5 RZ		/36.
3	2			22		32
Из формулы (4) задачи 5.60 имеем Z 2		4e 1	.
Из формулы (4) задачи 5.60 имеем Z 2			.
		3R

Тогда 5e 1 /27(Дж) 5 1 /27(эВ) 5 40,8/27 7,6эВ.

5.62. Чтобы возбужденный ион гелия He мог изменить фотон, соответствующей головной спектральной линии серии Бальмера, он должен иметь дополнительную энергию E по

отношению

основному

состоянию,

не

меньшую

чем

min

т.е.

E RZ2 (1 1/32 ) 8 RZ2 /9

где

R 2,07 1016 1/с –постоянная Ридберга.

Отсюда получаем минимальную энергию, сообщаемую

водородоподобному иону He :

Emin

8 RZ2

Z 2 32 R/9 32 0,66 10 15 2,07 1016

/9эВ 48,5эВ.

5.63. Частота искомой линии спектра водорода по условию

отсюда

ее

длина

волны

w w

2 w1 2 c

1 2 /( 1 2) 486,1 410,2/(486,1 410,2)нм 2630нм 2,63мкм

Эта линия расположена в интервальной области спектра излучения водорода.

Определим	границы				линии спектра		серии Брэкета по
	1		1
формуле 2 c/ R						, где n=4, m=5,6,…:
формуле 2 c/ R		2	m	2		, где n=4, m=5,6,…:
	4		m
1) m , 32 c/ R 1,46мкм ; 2) m=5, max							800 c/9R 4мкм.
						44

Линия 2,63мкм принадлежит серии Брэкета.

5.64. По формуле

2 c

вычислим длины

волн

первых

трех

линий

спектра

серии

Бальмера:

1 32

72 c 5R 657нм,

32 c

487нм,

200 c

434нм.

При увеличении порядка m линии спектра той или иной серии длина волны уменьшается, поэтому наиболее близкими линиями в серии Бальмера при заданном числе N первых линий, воспринимаемых раздельно, будут линии

2 c 1

N 2,2

(N 2)

R 2

2 c

8 c

(N 3)

(1)

N 1

3,2

(N 3)

R (N 3)

Представим, что параметр N является непрерывным и

возьмём от обеих частей равенства (1) дифференциалы:

8 c

(N 3)2

64 c

N 3

dN .

(2)

R dN (N 3)4 4

R (N 3)2 4 2

Переходя к конечным разностям и принимая N 1,

получим

64 c

N 3

(знак

минус

отброшен).

Для

(N 3)2

4 2

разрешающей способности спектрального прибора получаем:

		8 c (N 3)2	R (N 3)			2 4 2			(N 3) (N 3)	2 4 2
											,
	x	R (N 3)2 4	64 c(N 3)						8		,
	x	R (N 3)2 4	64 c(N 3)						8
при больших значениях N					(N 3)		3	.
при больших значениях N						8		.
						8
				45

Смотрите также:

kibalnik
Искусство переговоров как условие успешного бизнеса
Маркетинговое исследование предприятий Apple и Samsung
Преподаватель и студент, как равноправные субъекты образовательной программы
Психологическая подготовка дзюдоисток в тренировочном процессе