Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А
T( )max |
W 5,52МэВ , |
поскольку |
me |
1 ; по условию |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mат(B) |
|
|
|
|||
T( ) |
1 |
T( )max 1,84МэВ. |
|
0,511 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В |
= |
|
|
|
( |
) |
|
|
∙5,52 МэВ = 125 эВ. |
||||||||
|
ат( |
) |
24∙939 |
||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Na |
|
|||||
|
|
)количестве |
|
1,0 |
мг |
радиоактивного |
24 |
|
содержится |
||||||||
N (m/A)N |
A |
(1,0 10 3 /24) 6,02 1023 0,25 1020 атомов. По истече- |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нию времени t=1 |
сут. |
Число |
распавшихся |
ядер |
24Na равно |
||||||||||||
N N0(1 e t) 0,25 1020(1 e 0.047) 0,25 1020 0,047 1,18 1018 ( ядер ).
сут
Количество тепла, которое выделяется в калориметре за одни сутки, равно
4 18 18
Q T( ) T(Mg) N (1,84 1,25 10 ) 1,18 10 МэВ 2,17 10 МэВ
2,17 1018 106 1,6 10 19 Дж 0,35МДж.
5.267. Предлагается β - распад 116 C 115 B . Требуется вычислить суммуэнергий позитрона и нейтрино. Выделяющаяся при
β - распаде ядра 11C равна: W c2 Mат 116C Mат 115 B 2me |
(1) |
|
(см. формулу (6) задача 5.264). |
|
|
|
Из таблицы 21 сборника имеем: |
|
Mат 11С 11 0,01143 аем, Mат 11В 11 0,00930 аем. По форму- |
||
ле (1) находим: W 2,13 10 3 931,4МэВ 2 0,511МэВ 0,96МэВ. |
|
|
|
По закону сохранения энергии W T 11B T , где |
|
Т – |
кинетическая энергия, - энергия нейтрино. По условию |
|
( |
|
|
) 0, тогда искомая величинаT 0,96МэВ. |
|
|
|
176 |
|
Поскольку нейтрино - безмассовая частица, то ее импульс
p /c . По |
|
закону сохранения импульса p |
p , |
следова- |
|||||||||||||||||
тельно, кинетическая энергия β - частицы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p2 |
|
|
p2 |
|
2 |
. В результате получаем: |
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2m |
|
2m |
2c2m |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в МэВ) |
|
|
|
2 |
|
|
+ |
= |
|
|
2∙0,511 |
+ |
|
= |
|
|
|||||||
|
|
+ |
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
= − |
|
+ |
1⁄4+1 |
= 0,62 (МэВ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Кинетическая энергия β - частицы 0,96 0,62 0,34 (МэВ). |
|||||||||||||||||||||
5.268. Рассматривается позитронный распад |
|
||||||||||||||||||||
при |
|
→ |
|
+ |
+ |
. Требуется найти энергию отдачи ядра |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
условии, что энергия позитрона максимальна. |
|
|||||||||||||||||||
Выделяющаяся при распаде энергия равна: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
[ |
|
ат |
( |
|
) − |
ат |
( |
) −2 |
] |
. |
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычитание удвоенной массы β - частицы |
|
|
в выражении (1) |
||||||||||||||||||
обусловлено |
|
вычислением |
|
|
дефекта |
массы |
через |
массы |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
соответствующих атомов (в данном распаде испускается одна |
|||||||||||||||||||||
β - частица). |
Из таблицы 21 сборника имеем: |
|
|
||||||||||||||||||
Mат (13N) (13 0,00574)аем, Mат (13C) (13 0,00335)аем.
По формуле (1) находим:
Q 2,39 10 3 931,4МэВ 2 0,511МэВ 1,20МэВ.
Поскольку кинематическая энергия β+ - частицы максимальна, энергия и импульс нейтрино 0, 0.
177
Выделившаяся энергия Q равна сумме кинетических энергий
ядра 13C T и β – частицы |
т.е. |
|
|
Q |
|
(2) |
||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
По закону сохранения импульса |
|
|
pc p |
(3) |
||||||||
Скорость отдачи ядра |
|
, тогда как скорость β - частицы |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
равенство (3) напишем в виде: |
|
||||||
велика. Благодаря этому, |
, |
= |
|
|
|
= |
|
|||||
|
≡ = |
⁄ |
≡ |
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
, |
|
|
|
|
- масса электрона. |
|
||
|
Квадрат импульса |
β - частицы |
|
|
|
|
||||||
|
|
≡ |
= |
= 2 |
∙ |
|
= 2 |
, ≡ |
(4) |
|||
|
|
|
||||||||||
Вернемся к энергетическому соотношению (2) и представим его в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а затем= +сделаем+ряд преобразований− = +: |
√2 |
+ |
|
− |
, (5) |
||||||||||
Если принять |
с (2 |
( |
+ |
|
) = () |
+ |
|
( − ) |
) . |
(6) |
|||||
во− 2внимание+ , |
+что |
|
+ |
+2 |
, то=уравнение0 |
||||||||||
(6) можно написать так: |
|
2 |
2Mc( |
2T Q(Q 2mc2 ) 0 |
(7) |
||||||||||
|
|
+ |
|
) |
|
|
|
||||||||
Физическому содержанию отвечает следующий корень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (7): |
= |
− |
|
− |
( |
+2 ) = |
||||
|
|
= |
1 − |
1− |
( |
) |
. |
|
||
Величина |
( |
) |
1 и, следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
178 |
|
|
|
|
|
= |
∙ |
( |
) |
= |
( |
) |
. |
= |
|
( |
) |
|
|
Итак, кинетическая энергия ядра отдачи |
равна |
|
, |
|||||||||||
где m - масса нейтрона, |
|
бериллия |
- масса ядра. |
|
|
|
|
|||||||
5.269. K - захват ядром= |
: |
+основном→ |
|
|
|
. |
|
|||||||
Поскольку дочернее ядро оказывается в |
состоянии+ , |
|||||||||||||
испускания |
- кванта |
не |
происходит. Процесс |
|
может |
|||||||||
сопровождаться излучением рентгеновских квантов, энергиями которых пренебрежем.
При K - захвате высвобождается энергия |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
где |
и |
- массы атомов Be и Li. Из |
таблицы 21 сборника |
|||||||||||||
|
= |
( |
|
− ) |
|
|||||||||||
Тогда |
= |
(7+0,01693) |
|
МэВ = (7+0,01601) |
аем. |
|
||||||||||
имеем: |
= 0,92∙10 |
|
аем, |
= 0,857 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∙931,4 |
|
МэВ. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость дочернего ядра (ядро лития) |
|
, |
поэтому |
|||||||||||||
кинетическую |
энергию |
этого |
ядра |
можно |
определить |
|||||||||||
выражением |
|
|
, |
где |
|
- |
импульс |
ядра. |
Пусть |
энергия |
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нейтрино равна = , тогда его импульс |
= |
|
. |
На основании |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
законов сохранения энергии и импульса можем написать:
|
= + = |
|
|
+с = |
|
+с , |
= ≡ . |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
Получаем уравнение: |
+2 |
|
|
−2 |
∙ |
= 0. |
|||||||
Решение уравнения: = − |
+ |
|
|
|
+2 |
∙ = |
|||||||
= |
( |
1+ |
|
|
− 1). |
Величина |
|
|
1, |
тогда |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
179 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1+ |
|
|
|
−1 = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скорость ядра отдачи |
= ⁄ |
= |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
( |
− |
) ( |
|
− |
) |
|
0,92∙10 |
|
||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= ∙ |
7 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= 0,13∙10 |
40∙10 м/с = 40км⁄с. |
|
||||||||||||
5.270. Cделав предварительно оценку энергии отдачи при переходе возбужденного ядра 109 Ag в основное состояние с испусканием либо γ – кванта, либо конверсионного К – электрона, убедимся, что эта величина очень мала и ею можно пренебречь. Это будет означать, что после превращения ядро может считаться практически неподвижным, а энергия перехода затрачивается на удаление электрона из К – оболочки атома и сообщение ему кинетической энергии. Это дает основание написать: св K ,
где - энергия γ – кванта, св - энергия связи К – электрона и
|
|
|
|
mec2 |
|
|
m c2 |
- кинетическая |
|
энергия |
конверсионного |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 2 /с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
электрона. |
Отсюда |
|
|
получаем |
1 |
|
|
1 |
|
|
, где в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mec2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
св ) |
|
|
|
|
1 2 /с2 |
|
|
|
|
|||||||||||
числовом выражении |
|
87 26 |
|
|
61 |
. Далее, |
св |
1 |
572 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m c2 |
511 |
511 |
|
|
|
m c2 |
511 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
511 |
|
|
|
|
511 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и |
|
; c |
|
|
c |
|
0,45с (с – скорость света). |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0,2 |
|||||||||||||||||||||||||
c2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
572 |
|
|
|
|
572 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Итак, скорость конверсионного электрона 0,45 с.
5.271. Если бы после перехода в основное состояние ядро
191 r оставалось неподвижным, то энергия испущенного γ – кванта ε=Е. Однако имеет место отдача ядра, в результате которой ядро получает кинетическую энергию Т, а γ – квант
180