Материал: Практика Матрицы и определители

1. Операции над матрицами

1.1. Найдите линейную комбинацию 2A 3B матриц

1

2

3

A

0

1

1

2

3

0

и B

.

2

1

1

2

7

3

1.2. Вычислите матрицу A

2Е , где A

4

1

0

,

Е – единичная

0

5

6

матрица третьего порядка.

2

1

1.3. Найдите произведения

AB

и

BА

матриц

и

A

1

1

B

1

1

.

2

1

2

1

3

ABТ

1.4. Найдите произведения

и

BА матриц

A

0

4

2

и

1

1

1

B 1

2

0 .

1.5. Найдите произведения АAТ и AТ А матрицы

1

2

0

A

.

0

1

2

1

0 1 1

0 1 1

3

а) А

3 2

1

0

;

б)

А

1 2 4

7

.

5

5 0 10

5

3 2 1

____________________________

1.7. Вычислите

матрицу

2A Е B ,

где

1

3

,

A

2

0

0

2

2

Е – единичная матрица второго порядка.

B

,

1

1

0

2

произведение ABС Т

1

0

1

1.8. Найдите

матриц A

,

2

1

2

0

0

1

В

0

1 0

1

1

3

и С

.

2

0

1

0

0

1

2

2

3

1.9. Проверьте коммутативность умножения матриц A

1

1

0

2

1

1

1

4

3

и B

1

5

3 .

1

6

4

2

3

2

1

1.10.

Приведите к ступенчатому виду матрицу А

2

2

3

4

.

3

4

1

1

а)

3 2

;

б)

tg

1

;

в)

a 2 ab b2

a b

.

4

5

1

tg

a 2 ab b2

a b

1

2

4

2

3

4

3

2

1

а)

3

1 0

;

б)

5

2

1

;

в)

1

2 4

.

5

2

1

1

2

3

2

4 3

2.3. Вычислите

определитель третьего

порядка

разложением по

какой-нибудь строке или столбцу:

6

3

1 0

1

3 2

1

5

а)

0

2

0

;

б)

2

1 0

;

в)

2

2

3

.

7

4

5

2

1 3

4

2

3

3

2.4. Вычислите определитель:

1

a

b c

2

4

1

1

2

2

3

1

0

1

3 5

3

1

4

6

а)

1

b a c

;

б)

;

в)

.

1

c

a b

0

0

2

1

1

0

0

1

0

0

0

3

1

2

1

3

2.5. Решите уравнение:

а)

x 2

y 3

0;

б)

cos 3x

sin x

0 ;

в)

3

x 1

0 .

6

2x

1

0

y 3

x 2

sin 3x

cos x

4

x 2

2

2 3 1

0 2

1

1 1 1

а)

6 6 2

;

б)

1

4

5

;

в)

3 1 2

.

2 1 2

2 6

9

2 1 0

2.7. Вычислите

определитель

третьего

порядка

разложением по

какой-нибудь строке или столбцу:

2 0

2

3

5

1 2 3

1

а)

3

4 0

;

б)

4

0

1

;

в)

2 5

4

.

5

6 7

1 3

2

0 7 1

2.8. Вычислите определитель:

a a 2 1 a 1 2

0

0

4

1

2

3

4

0

0 0

1 5

1 0

1

2

а)

b b2 1 b 1 2

;

б)

;

в)

.

c c2 1 c 1 2

0

2

3

1

3

1

1

0

1

4

1

2

1

2

0

5

2.9. Решите уравнение:

x 2

y 3

4;

sin 2x

sin 3x

0

3

x 1

1

а)

б)

; в)

x 2

2

3

6 .

1 y

x 2

cos 2x

cos 3x

0

1

x

3

1

4

1

3

1

а)

б) A

1 1 1

;

в) A

2

5 1 .

А

;

7

1

1

2

0

1

3.2. Используя

алгебраические

дополнения,

найдите

обратную

матрицу для матрицы:

1

1

1

2

1

2

2

а)

0

б)

A

2

1 2

;

в)

A

2

1 2

.

A

;

2

5

4

1 4

2

2

1

3.3. Используя

элементарные

преобразования, найдите

обратную

матрицу для матрицы:

2

2

3

3

0

1

а)

1

2

б)

A

1

1 0

;

в)

A

2

1 0

.

A

;

2

3

1

4

1

2 1

1

3.4. Решите матричное уравнение:

1 2

7

1

1

1

1

1

1

3

а)

б) X

2

1

0

X

;

;

0

4

3

2

3

3

0

1

1

1

1

1

5

6

1

1

в)

X

.

2

3

4

5

2

3

1

1

1

1

2

3

а)

0

2

;

б) A

3

1 2

;

в) A

3

2 4

.

A

3

5

2

1

0

2

1

0

3.6. Решите матричное уравнение:

3

1

1 2

1

1

0

4

3

а)

1 0

;

б)

3

2

2

X

2

2

.

X

1

1

3

1

2

3

2

1

1

1

2

3 1

2

1

3

2

4

а)

3

2

4

;

б)

4

2 5

1 7

А

3

А

.

5

2

2

4

2

1

1

8

2

2

0

3

3

2

1

а)

А

1

7

3

;

б)

А

1 0

7

.

5

3

6

2

1

3

4.3. Найдите ранг матрицы

1

2

0

АAТ , где A

.

0

1

2

____________________________

4.4. Найдите ранг матрицы:

2 3

2

3

1 2

1

1 3

а)

3 1

1 2

б)

3 1

А

;

А

1 6 11 .

1 5

5 4

1 1

1 4

3

4.5. Определите, при каких

значениях λ

ранг

матрицы

1

0

2

3

1

0

равен 3.

А

4

1

5. Дополнительные задачи

5.1. Найдите произведения АВТ