Материал: пиапп

  или

где U – силовая функция. Рассмотрим частный случай этого уравнения, когда из массовых сил действует только сила тяжести:  X = Y = 0; Z = – g. Подставляя эти значения, получим:

, или

Для идеальной жидкости плотность r = const, так как эта жидкость абсолютно несжимаемая. Поэтому предыдущее уравнение можно переписать в виде

Следовательно,             то есть мы получили уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости.

7. Энергетический смысл и геометрическая интерпретация уравнения д. Бернулли для идеальной жидкости.

Уравнение Д.Бернулли является уравнением энергетического баланса потока. Для потока идеальной жидкости полная удельная энергия потока для различных его сечений остается величиной постоянной.

Как известно, полная энергия потока складывается из потенциальной энергии положения Е_Z энергии давления Е_P, а также кинетической энергии движения Е_K. В свою очередь: потенциальная энергия положения определяется как Е_Z=mgz; энергия давления ; кинетическая энергия . Если энергией обладает единица веса перекачиваемой жидкости ( , при м³/с , Н/с), то в этом случае говорят об удельной энергии жидкости. Тогда удельная потенциальная энергия (УПЭ) положения будет выражена:

(5.1)

Рисунок 5.1 – Графическое представление уравнения Бернулли

Удельная энергия давления :

(5.2)

Удельная кинетическая энергия потока (УКЭ) идеальной жидкости будет равна:

(5.3)

Для двух различных сечений потока идеальной жидкости, приведенного на рисунке 5.1, уравнение Бернулли примет вид:

(5.4)

Слогаемые уравнения (5.4) поясняются схемой на рисунке 5.2.

Рисунок 5.2 – К определению удельной энергии потока

Как следует из уравнения (5.4), все его слагаемые имеют размерность длины. Поэтому уравнению Бернулли наряду с энергетическим толкованием дается и его геометрическое толкование (см. рисунок 5.3).

Рисунок 5.3 – Геометрическое толкование уравнения Бернулли для идеальной жидкости. В потоке идеальной жидкости ( ) произвольно выберем сечениея 1-1, 2-2 и 3-3. В этих сечениях установим прямые трубки (пьезометры) «а» и трубки с изогнутым устьем навстречу потоку – трубки «b», называемые трубками (пьезометрами) полного напора. Жидкость в обоих трубках поднимется на некоторую высоту. Причем в трубках «b» высота подъема будет больше ввиду того, что трубка показывает помимо статического давления в каждом сечении еще и учитывает динамическое воздействие частиц набегающей жидкости на жидкость находящуюся в трубках. Линия, проведенная по отметкам b₁,b₂ и b₃ ,будет называться линией полных напоров, а линия а₁,а₂ и а₃ – линией пьезометрических напоров. Расстояние от плоскости сравнения 0-0 до центров выбранных сечений z₁, z₂ и z₃ представляет собой геометрический напор, или нивелирную высоту. Высоту равную – соответствующую гидростатическому давлению в рассматриваемом живом сечении называют пьезометрическим напором. Слогаемое – динамический, или скоростной напор. Из приведенного рисунка 5.3 ясно, что трубка «b» измеряет полную удельную энергию потока, а трубка «а» – только потенциальную. Поэтому разность высот подъема жидкости в пьезометрах «b» и «а» указывает на удельную кинетическую энергию потока.Здесь же стоит отметить и тот факт, что при перемещении потока от сечения 1-1 где его площадь S₁, до сечения 2-2, площадь которого S₂, скорость движения частиц соответственно меняется от до . Причем , а следовательно, скоростной напор в первом сечении больше скоростного напора во втором сечении . При z₁=z₂ налицо переход кинетической энергии потока во втором сечении в потенциальную. Взаимный переход одного вида энергии в другой и обратно называют трансформацией Бернулли. Разность показаний пьезометров «а» и «b» положена в основу принципа действия прибора для определения скорости движения потока. Этот прибор называется трубкой Пито-Прантля.

8. Уравнение Д. Бернулли для потока реальной жидкости и его геометрическое и энергетическое представление. Корректив кинетической энергии потока. Коэффициент Кориолиса. Вследствие наличия у реальной жидкости свойства вязкости ( , а следовательно и ) при ее движении возникают силы трения. Они действуют как между соседними слоями жидкости, так и на границе соприкосновения жидкости со стенкой. Поэтому реальное распределение скоростей в потоке реальной жидкости существенно отличается от распределения скорости по сечению потока идеальной жидкости. На компенсацию сил трения из потока расходуется механическая энергия, которая переходит в тепловую и рассеивается (диссипируется) в потоке жидкости. Следовательно, при движении реальной жидкости полная энергия потока в направлении его движения должна уменьшаться на величину рассеиваемой (диссипируемой) энергии ∑h_п

Для двух сечений потока вязкой жидкости при плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:

(5.5)

где ∑h_п – гидравлические потери. . Здесь потери энергии на преодоление сил трения (потери по длине трубопровода) и потери энергии на преодоление местных сопротивлений.

α – называется коррективом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса. .

Рисунок 5.4 – Геометрическое представление уравнения Бернулли для реальной жидкости. 1– трубка статического напора (пьезометрического);

2–трубка полного напора (гидродинамическая трубка); а₁–а₂ пьезометрическая линия; b₁–b₂ линия полных напоров.

Коэффициент Кориолиса учитывает неравномерность распределения скоростей (кинетических энергий) по живому сечению потока и представляет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, посчитанной по его средней скорости. Значение этого коэффициента зависит от режима движения. Для турбулентного α=1,05÷1,15, для ламинарного α=2,0. Более точно, для переходного режима, коэффициент Кориолиса может быть определен из уравнения:

(5.6)

где λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси).

В соответствии с уравнением (5.5) полная удельная энергия потока реальной жидкости для двух сечений 1–1 и 2–2 запишется в виде:

(5.7)

Из последнего уравнения следует, что энергия потока реальной жидкости уменьшается при ее перемещении от одного сечения к другому на величину гидравлических потерь . Геометрическое толкование уравнения Бернулли для потока реальной жидкости приведено на рисунке 5.4.

Для прямого трубопровода ( т.к. ), постоянного диаметра ( следовательно по уравнению секундного расхода и, следовательно, будут равны скоростные напоры в рассматриваемых сечениях ). Если принять во внимание что трубопровод горизонтально расположен в пространстве ( ), то уравнение (5.5) упростится до вида: (5.8)

Для газов уравнение Бернулли представляется через давления (5.11) т.к. газы являются сжимаемыми средами у которых изменяется плотность при изменении давления. (5.11)

Как ранее отмечалось расход подвижной среды в трубах и каналах определяется по величине средней скорости потока, которая, в свою очередь, может быть установлена по показаниям прибора в состав которого входят два пьезометра: прямой и пьезометр с устьем загнутым на встречу потоку и устанавливаемый, как правило, по оси потока ( см. рисунок 5.6).

Прямая трубка 1 фиксирует статический напор: а трубка 2 с устьем загнутым на встречу потоку и установленная в непосредственной близости от пьезометра 1 будет фиксировать не только статическое давление р_СТвыраженное через напор но и динамическое р_СК от набегающего потока. Величина этого давления выражается через удельную кинетическую энергию потока: . Поэтому данная трубка называется трубкой полного давления и она фиксирует полный напор потока:

или (5.11)

Рисунок 5.6 – Определение местной скорости потока

Трубки 1 и 2 обычно объединяются в прибор, который называется трубкой Пито – Прандтля и который, в свою очередь, свободными концами присоединяется к плечам дифференциального U – образного манометра 3 (рисунок 5.7).Разность уровней жидкости в плечах манометра характеризует скоростной напор, по которому возможно определить скорость потока в месте установки трубки 2.

Из равенства давлений в сечении С – С определяется скоростное давление в потоке в месте установки трубки:

(5.12)

9. Дифференциальное уравнение движения реальных жидкостей (уравнение Навье-Стокса). Критерии гидродинамического подобия.

В простейшем случае движение несжимаемой и нетеплопроводной среды Навье-Стокса в векторной форме имеет вид:

Здесь v скорость частицы жидкости. T время. F внешняя удельная сила. P давление. Коэффициенты вязкости зависят от температуры и для жидкости определяются экспериментально.

Рассмотрим условия, которые должны быть выполнены для динамического подобия потоков жидкости. Движение жидкости в природе совершается под действием различных сил, которые можно приближенно классифицировать на три группы:

1) внешние силы по отношению к жидкости, например, силы тяжести, инерции, силы, обусловленные перепадом давления;

2) силы, связанные с физическими свойствами самой жидкости, такие, как силы вязкости или силы поверхностного натяжения;

3) результирующие силы типа силы сопротивления воды движению тела или силы воздействия жидкости на гидротехническое сооружение.

Каждая из этих сил выражается через физические величины (размерные коэффициенты), характеризующие природу сил и жидкости. Влияние указанных сил проявляется в неодинаковой степени в различных явлениях. Одни явления протекают под преобладающим действием сил тяжести и сопротивления, другие – сил тяжести, сопротивления и поверхностного натяжения или только сил тяжести и поверхностного натяжения и т.д.

Условия гидродинамического подобия модели и натуры требуют равенства на модели и в натуре отношений всех сил, под действием которых протекает явление.

Для установления условий (критериев) гидродинамического подобия необходимо рассмотреть дифференциальные уравнения движения, описывающие изучаемое явление. Предполагая, что два потока, обтекающие тело, будут гидродинамически подобны, эти потоки должны принадлежать к одному классу уравнений, т.е. описываться однотипными уравнениями.

10. Опыты о. Рейнольдса. Критерий Рейнольдса. Ламинарный, турбулентный и переходный режимы движения жидкости.

Рейнольдс проводил эксперименты на установке, представлявшей собой бак с водой, к которому в нижней части была присоединена выходная стеклянная трубка с краном на конце. Бак постоянно наполнялся водой, а расход воды мерился при помощи мерного бачка и секундомера. Над баком находился сосуд с краской, которая попадала в воду по тонкой трубочке с краном.

Первый опыт. Немного приоткрывался кран на выходе из бака и в трубке начиналось движение воды при небольшой скорости. При добавлении краски в выходной трубке появлялась резко очерченная цветная струйка, которая не смешивалась с остальной водой. Фиксировался ламинарный режим течения.

Второй опыт. При дальнейшем открывании крана и увеличении скорости потока струйка краски начинала изгибаться, превращалась в отдельные вихри и перемешивалась с остальной водой. Ламинарный режим переходил в турбулентный.

Реальная жидкость по трубам и каналам движется в определенном режиме. Существуют два режима движения потоков подвижных сред – ламинарный и турбулентный (см рисунок 4.4). При ламинарном режиме движения жидкость или газ движется отдельными, параллельными слоями, пульсации скорости и давления отсутствуют. Турбулентный (развитый турбулентный) режим движения характеризуется неупорядоченным, хаотичным движением частиц, интенсивным перемешиванием в поперечном направлении.

Рисунок 4.4–Схема режимов движения подвижных сред

Критерием для установления режима движения является безразмерное число Рейнольдса (критерий Рейнольдса):

, (4.10)

где –средняя скорость потока. Определяется из уравнения (4.8), м/c;