Материал: пиапп

1.Классификация видов движения подвижных сред и методы описания движения жидкости (методы Эйлера и Лагранжа)

Классификацию видов движения жидкости.

1. Классификация по признаку зависимости движения жидкости от времени:Установившееся (стационарное). Неустановившееся (нестационарное).

2. Классификация по признаку учёта сил трения, вязкости и теплопроводности:Идеальная невязкая жидкость. Вязкая жидкость.

3. Классификация по виду движения жидкости (поступательное или вращательного движение): Безвихревое (потенциальное) (движение, когда вращение отсутствует), Вихревое движение.

4. Классификация по характеру изменения плотности в потоке: Несжимаемая (жидкость), r=const. Сжимаемая (газ), r¹const.

5. Классификация по скорости и её отношению к скорости расширяющихся возмущений (скорости звука).

Дозвуковое ( M<1) , где  , V - скорость потока, а – скорость звука.

Трансзвуковое (М»1). Сверхзвуковое (М>1). Гиперзвуковое (М>>1).

6. Классификация по режиму течения. Ламинарный режим, (Re£Reкр). Турбулентный режим,(Re/Reкр).

7. Вид течения: Свободное. Вынужденное.

Благодаря текучести жидкой среды отсутствуют жесткие связи между ее отдельными частицами, и общий характер движения оказывается более сложным, чем характер движения твердого тела. Изучение движения представляет значительные сложности в силу того, частицы обладают большой подвижностью и, в общем случае, в различных точках пространства и в различные моменты времени имеют различные скорости по величине и направлению. При исследовании движения жидкости применяют два основных метода: Лагранжа и Эйлера. При исследовании по методу Лагранжа рассматривается движение отдельных частиц вдоль их траекторий. Для этого замечают координаты   в начальный момент времени . Все последующие координаты точки   и составляющие скорости   будут зависеть от начальных координат, называемых переменными Лагранжа: где   - переменные Лагранжа. Если параметры   зафиксированы, то приведенное выражение устанавливает кинематические характеристики конкретной жидкой частицы, аналогично тому, как определяют соответствие характеристик материальной точки. При изменении   осуществляется переход от одной жидкой частицы к другой и таким образом можно охарактеризовать движение всей конечной массы жидкости.

Метод Эйлера состоит в определении скорости и давления жидкости в той или иной точке неподвижного пространства, т.е. изучаются поля скоростей и давлений в некоторые последующие моменты времени. Таким образом, движение описывается уравнениями:

В гидравлике обычно применяется метод Эйлера, т.к. он относительно более прост, чем метод Лагранжа (решение уравнений по Лагранжу сложны и трудноразрешимы).

2. Кинематика жидкости. Основные понятия (линия тока, элементарная струйка) и определения (живое сечение струйки, смоченный периметр). Кинематикой жидкости называют раздел гидромеханики (механики жидкости), в котором изучают виды и характеристики движений жидкости, но не рассматривают силы. под действием которых происходит движение. Жидкость представляет собой физическое тело, состоящее из бесконечно большого числа бесконечно малых частиц. С большой степенью точности мы можем рассматривать жидкое тело как сплошную среду, эта модель позволяет значительно упростить решение большинства гидравлических задач. В гидродинамике принято отвлекаться от молекулярного строения вещества, рассматривая жидкость, как непрерывную среду, сплошь заполняющую пространство (без образования пустот). Причинами, вызывающими движение жидкости, являются действующие на нее силы  (сила тяжести, центробежная сила, внешнее давление и т.п.). Под действием этих сил происходит деформация жидкости, характеризующаяся изменением взаимного положения отдельных частиц жидкости. Это существенно отличает движение жидкости от движения твердых тел, хотя движение жидкости и происходит в соответствии с общими законами механики (кинематики и динамики). Если напряженное состояние твердого тела характеризуется величиной нормальных и касательных напряжений в нем, то для характеристики деформации (движения) жидкости помимо возникающих в ней напряжений необходимо знать скорости движения отдель­ных частиц жидкости. Скорость u  какой-либо частицы жидкости может быть вполне определена, если станут известными проекции скорости на координатные оси ux, uy, uz, тогда по правилу сложения векторов имеем

Если ux, uy, uz не равны нулю,  то движение называют пространственным, если ux, или uy, или uz равны нулю, то получаем плоское движение, если два компонента равны нулю, то получаем одномерное движение.

Линия тока. Движущуюся жидкость можно рассматривать как совокупное движение материальных точек. Соединив линией все последующие по времени положения материальной точки, получим линию, которую называют линией тока

Совокупность траекторий частиц жидкости, проходящих через какой-нибудь малый замкнутый контур образуют трубку тока, а множество траекторий частиц жидкости внутри трубки тока – элементарную струйку

Живое сечение ω - это поперечное сечение потока, нормальное ко всем линиям тока его пересекающим (рис. 4.1). Смоченный периметр c - линия, по которой жидкость соприкасается с поверхностями русла (рис. 4.2).

Отметим, что при напорном движении жидкости в трубе жидкость занимает весь  внутренний объём и смоченный периметр равен геометрическому параметру трубы. Гидравлический радиус R – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру, т.е.

                                          , м                                      

При напорном движении в круглой трубе  , где  - геометрический радиус трубы, d – внутренний диаметр.

3. Поток и его характеристики: геометрические, кинематические и режимные. 4.1 Геометрические характеристики потокаПотоком подвижной среды называется движение ёе определённого количества в пространстве ограниченном системой твёрдых тел называемыми стенками. В каналах и трубах поток может быть напорным либо безнапорным. Напорным считается такое движение жидкости в закрытом канале, при котором поток не имеет свободной поверхности, а давление в потоке отличается от атмосферного(см. рисунок 4.1 б,в). При безнапорном движении жидкость имеет свободную поверхность, давление во всех точках которой равно атмосферному(см. рисунок 4.1а).Поток имеет свои геометрические характеристики: площадь живого сечения S,м2; смоченный периметр ????, м; гидравлический радиус r (эквивалентный диаметр dЭ), м. Площадью живого сечения S называется площадь сечения потока в плоскости, проведенной нормально к векторам скоростей элементарных струек, из которых состоит поток. Часть периметра живого сечения, по которому поток соприкасается с ограничивающими его стенками, называется смоченным периметром ????. Отношение площади живого сечения S к смоченному периметру ???? называется гидравлическим радиусом потока r_г

4. Уравнение неразрывности для элементарной струйки и потока реальной жидкости. Понятие массового и объёмного расхода Уравнение расхода для потока Q = υ_ср * F, где Q – расход; υ_ср – средняя скорость потока F – площадь сечения потока. Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.

Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный Q1 = υ₁ * F1, а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный Q2 = υ₂ * F2. Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы. Таким образом Q1 = Q2 или υ₁ * F1 = υ₂ * F2

Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки Q = υ * F = const.

Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что υ₁ / υ₂ = F2 / F1 т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения. Формула расчета объемного расхода:

Q = S·w (м³/c),

Формула расчета массового расхода:

w₁/w₂ = S₁/S₂

5. Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости( уравнений л. Эйлера)

Идеальная жидкость — воображаемая жидкость, обладающая следующими свойствами: 1. Она не оказывает сопротивления движению, то есть она не обладает внутренним трением (  0). 2. Она абсолютно несжимаема, то есть её объём, а значит, и плотность не зависят от давления   (p). 3. Она не изменяет объём с изменением температуры   (Т). Так как идеальная жидкость не обладает внутренним трением, то в её потоке поля скоростей и давлений будут описываться системой дифференциальных уравнений:

где проекции ускорений записаны в «сжатой» форме.Эти уравнения впервые были получены в 1755 году Леонардом Эйлером и называются дифференциальными уравнениями Эйлера движения идеальной жидкости.Если жидкость неподвижна, то уравнения (8.1) упрощаются до вида:

 (8.2)

Уравнения (8.2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера покоя (статики) жидкости.

6. Вывод уравнения д. Бернулли для установившегося движения идеальной жидкости и анализ его составляющих.

В потоке идеальной жидкости возьмем точку M с координатами x, y, z и выделим возле нее элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка M была одной из его вершин. Ребра параллелепипеда параллельны координатным осям и равны dx, dy, dz. Составим уравнение движения этого элемента жидкости. Пусть на жидкость внутри него действует результирующая единичная массовая сила с составляющими X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем будут равны этим составляющим, умноженным на массу элемента. Поверхностные силы будут равны давлениям, умноженным на площади граней параллелепипеда.

Согласно второму закону Ньютона, уравнения движения вдоль координатных осей примут вид: 

Приведя подобные и разделив уравнения на массу элемента rdxdydz, получим

Эта система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости носит название уравнений Эйлера. Все члены этих уравнений имеют размерность ускорений, а смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.Эти уравнения справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой жидкости, как для стационарного, так и нестационарного течения. Для стационарного течения умножим каждое из уравнений на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx = Vxdt; dy = Vydt;   dz = Vzdt, и сложим уравнения. Получим

Выражение в скобках – это полный дифференциал давления dp, выражения в правых частях – дифференциалы от половин квадратов проекций скорости: