Материал: patrakeev_im_geoprostranstvennye_tekhnologii_v_modelirovanii
находятся в состоянии ожидания процессов развития городской территории.
Для иллюстрации степени развития городской системы в пространстве и во времени, рассмотрим понятия урбанизированной и не урбанизированной территории на основе теории нечетких множеств.
Пусть X это совокупность ячеек (однородных клеточных автоматов), представляющих некоторую территорию, где xij есть элементарная ячейка с координатами i, j и принадлежит множеству X.
Нечеткое множество , которое характеризует урбанизированную территорию, может быть представлено как множество упорядоченных пар
Surban = { ( xi, j , μSurban ( xi, j )) | xi, j X } ,
где μSurban ( xi, j ) функция принадлежности, которая характеризует принадлежность участка xi, j нечеткому множеству Surban .
Такая функция принадлежности представляет степень развития
городской территории. Таким же образом, нечеткое множество 
представляет неразработанную, то есть не урбанизированную территорию, и может быть представлено в виде:
Snon _ urban = { ( xi, j , μS non _ urban ( xi, j )) | xi, j X } ,
где μS non _ urban ( xi, j ) другая функция принадлежности, которая указывает на степень принадлежности элемента городской территории (участка) xi, j нечеткому множеству Snon _ urban .
Функция принадлежности или иными словами характеристическая функция показывает, как и в какой степени элемент нечеткого множества принадлежит пространству рассуждений. Это традиционный способ представления информации о том, какие объекты являются элементами множества. Если некоторый объект является элементом множества, то его функция принадлежности равна 1, если объект не является элементом множества, то его функция принадлежности равна 0.
Применение функции принадлежности позволяет описывать ситуации, которые складываются в реальном мире.
На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Это упрощает не только соответствующие численные расчеты, но и сокращает вычислительные
111
ресурсы, необходимые для хранения отдельных значений этих функций принадлежности.
В контексте городского или регионального развития функция принадлежности характеризует потенциал, с которым участвует каждый единичный элемент ОС-пространства в процессе градостроительного развития.
На рис. 4.3 показаны две линейные функции принадлежности, одна характеризует степень принадлежности ОС-пространства к урбанизированной территории, другая функция принадлежности характеризует степень принадлежности ОС-пространства к не урбанизированной территории.
Например, если участок территории соответствует значению функции принадлежности 0,7, то такая территория будет иметь уровень разработанности и уровень урбанизации выше, чем участок, который соответствует значению функции принадлежности 0,3. Соответственно, для участка территории со значением функции принадлежности 0,8, уровень урбанизации будет меньше, чем для территории с соответствующим значением функции принадлежности 0,4. Используя данную терминологию, граница между этапами развития территории может быть представлена не как четкая линия, а как область территории с непрерывно изменяющимся значением функции принадлежности рассматриваемого нечеткого множества.
Как видно из вышеизложенных рассуждений, функция принадлежности является ключевой компонентой нечеткого множества. Различные функции принадлежности представляют различные нечеткие множества, даже несмотря на их относительную похожесть.
112
Рис. 4.3 – Линейные функции принадлежности, характеризующие различные процессы урбанизации городского пространства
На рис. 4.4 показаны три функции принадлежности, одна из которых имеет линейную зависимость, вторая – экспоненциальную зависимость и третья – имеет логарифмическую зависимость. Этапы развития градостроительной системы на рисунке представлены от этапа s0 до этапа s10. Каждая из функций принадлежности характеризует различные нечеткие множества, хотя и похожие по своему содержанию: множество единичных элементов ОС-пространства, принимающие участие в процессе развития градостроительной системы. Сам процесс развития градостроительной системы на рисунке происходит между этапами s1 и s9. Степень и интенсивность процесса урбанизации полностью характеризуется видом функции принадлежности.
Прежде чем приступить к рассмотрению операций над нечеткими множествами следует привести некоторые важные соображения, которые необходимо принимать во внимание при определении нечетких аналогов обычных теоретико-множественных понятий.
Во-первых, следует иметь в виду, что то или иное нечеткое множество является обобщением классического множества. Поскольку в общем случае можно предложить самые различные варианты подобного обобщения, это приводит к принципиальной неоднозначности тех или иных определений, имеющих аналогию в классической теории множеств и представляющих практический интерес. Применительно к операциям над нечеткими множествами это означает, что любое определение той или
113
иной операции должно быть справедливым в том частном случае, когда вместо нечетких множеств используются обычные множества.
Другими словами, подобные определения должны превращаться в известные определения теоретико-множественных операций, если участвующие в них функции принадлежности заменить характеристическими функциями множеств.
Во-вторых, если при рассмотрении классических множеств понятие универсума можно мыслить в форме «все что угодно», то сравнение нечетких множеств и выполнение над ними различных операций становится возможным, только когда соответствующие нечеткие множества определены на одном и том же универсуме.
Наконец, в-третьих, поскольку каждое нечеткое множество вполне определяется своей функцией принадлежности, последнее понятие зачастую используется как синоним нечеткого множества. При этом следует помнить, что в общем случае одна и та же функция принадлежности может описывать качественно различные нечеткие множества. С другой стороны, хотя одно и то же нечеткое множество или точнее — то или иное свойство в форме нечеткого множества, может быть представлено различными функциями принадлежности, отражающими неоднозначность субъективных или иных представлений, с формальной точки зрения, все из них следует различать и говорить о различных нечетких множествах.
Поэтому, говоря о соответствии нечетких множеств и функций принадлежности, мы будем понимать это соответствие в форме математического изоморфизма.
Именно наличие подобного изоморфизма нечетких множеств, заданных одной и той же функцией принадлежности, позволяет рассматривать формальные определения на требуемом уровне строгости.
Применение операции объединения нечетких множеств Surban и Snon _ urban позволяет получить новое нечеткое множество, определяемое как
Surban _ or _ non _ urban |
в соответствии |
с выражением 4.1. |
Функция |
принадлежности |
μurban _ or _ non _ urban |
нового множества |
принимает |
максимальные значения двух функций принадлежности соответствующих нечетких множеств Surban и Snon _ urban в соответствии с выражением 4.2.
Surban _ or _ non _ urban = Surban U Snon _ urban |
(4.1) |
114
Объединение
μSurban _ or _ non _ urban ( xi, j ) = max ( μSurban ( xi, j ), μS |
( xi, j )) |
(4.2) |
|
non _ urban |
|
Таким же образом, используя оператор AND, можно получить нечеткое множество Sint er sec tion в соответствии с выражением 4.3. Функция принадлежности μint er sec tion нового множества принимает минимальные значения двух функций принадлежности соответствующих нечетких
множеств Surban |
и Snon _ urban |
в соответствии с выражением 4.4. |
|
||||||||
|
Sint er sec tion = Surban |
I Snon _ urban |
|
|
(4.3) |
||||||
Пересечение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
( x |
) = max ( μ |
Surban |
( x |
, j |
), |
μ |
S non _ urban |
( x |
)) |
(4.4) |
|
Sint er sec tion i, j |
|
i |
|
|
i, j |
|
|
|||
И наконец, используя унарный логический оператор NOT, можно
получить дополнение к нечеткому множеству S urban в соответствии с
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражением (4.5). Функция принадлежности |
μcomplement множества S urban |
|||||||||||||
определяется в соответствии с выражением 4.6. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Scomplement |
= |
S urban |
|
|
|
|
(4.5) |
||||||
Дополнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μS |
complement |
( x |
|
) = |
1 – |
μS |
urban |
( x |
) |
(4.6) |
||||
|
i, j |
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
||||
В рассматриваемом примере пересечение нечетких множеств Surban и |
||||||||||||||
Snon _ urban позволяет получить |
новое |
|
нечеткое |
множество, |
которое |
|||||||||
характеризует частичный уровень урбанизации исследуемой территории, так как она обладает свойствами как первого, так и второго нечеткого
множества. В результате объединения двух нечетких множеств Surban и Snon _ urban получается нечеткое множество, характеризующее особенности
как урбанизированной территории так и не урбанизированной, причем каждая единичная ячейка ОС-пространства получает тем большее значение функции принадлежности, чем большей степени территория соответствует урбанизированному или не урбанизированному состоянию и единичная ячейка ОС-пространства принимает тем меньшее значение, чем в большей
115