Материал: Ответы 1курс 1сем модуль 1 теор. вероят

Вопросы и задачи к модулю «основы биологической физики» для студентов 1 курса всех факультетов на 1 семестр тема: Элементы теории вероятностей.

Теоретические вопросы

1. Сформулируйте определение события с точки зрения теории вероятностей.

* Pезультат испытаний

2. Что называют абсолютной частотой случайного события?

* Предел, к которому стремится относительная частота события при числе опытов, стремящихся к бесконечности

3. Что называют относительной частотой событий?

* Отношение общего числа опытов к числу испытаний, которые благоприятствуют наступлению интересующего события

4. Дайте определение случайного события.

* Которое может произойти, но может и не произойти в результате данного опыта

5. Дайте определение достоверного события.

* Которое обязательно наступит в результате испытания

6. Дайте определение невозможного события.

* Никогда не может произойти в результате данного опыта

7. Чему равна вероятность достоверного события?

*1

8. Чему равна вероятность невозможного события?

*0

9. Какие события называются совместными?

* Которые могут наступать одновременно в результате данного испытания.

10. Какие события называются несовместными?

* Которые никогда не могут наступать одновременно в результате данного опыта

11. Какие события называются зависимыми?

* Зависимыми называются события А и В, если вероятность наступления события В изменяется в зависимости от того, произошло ли событие А

12. Какие события называются независимыми?

* Независимыми называются события А и В, если вероятность наступления события В не изменяется в зависимости от того, произошло ли событие А

13. Какие события называются противоположными?

* Под противоположным событием понимается событие Ā, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие А

14. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

*0

15. Какие события образуют полную группу несовместных событий?

* Которые несовместны и в результате каждого испытания появляется только одно из этих событий

16. Чему равна сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу событий?

*1

17. Сформулируйте классическое определение вероятности случайного события.

* Отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных совместных событий

18. Сформулируйте статистическое определение вероятности случайного события.

* Предел, к которому стремится относительная частота встречаемости событий при неограниченном увеличении числа испытаний

19. Дайте определение условной вероятности

* События В при условии, что событие А состоялось

20. Как записывается формула теоремы сложения вероятностей?

* Р (А или В)=Р(А)+Р(В)

21. Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

*Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий (А или В) равнаР(А)+Р(В)

22. В каких случаях применяется теорема сложения вероятностей?

* Когда необходимо рассчитать вероятность одновременного появления нескольких независимых событий

23. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий.

* Вероятность одновременного появления в результате опыта двух и более независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

24. Как записывается формула теоремы умножения вероятностей для независимых событий?

* Р (А и В)=Р(А)*Р(В)

25. В каких случаях применяется теорема умножения вероятностей для независимых событий?

27. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых событий.

* Вероятность одновременного появления в результате опыта двух и более независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

27. В каких случаях применяется теорема умножения вероятностей для независимых событий?

*Когда требуется вычислить вероятность одновременного появления нескольких независимых событий

27. Как записывается формула теоремы умножения вероятностей для зависимых событий?

* Р (А и В)=Р(В)*Р(А/В)

27. В каких случаях применяется теорема умножения вероятностей для зависимых событий?

* Когда необходимо рассчитать вероятность одновременного появления нескольких зависимых событий

27. Как записывается формула теоремы полной вероятности?

* 

27. В каких случаях применяется формула полной вероятности?

* Когда событие А наст только при усл появления одного из событий образующих полн группу

27. В каких случаях применяется формула Байеса?

* Когда событие А появляющееся совместно с каким-либо из событий образующих полную группу произошло и требуется произвести количественную переоценку вероятностей гипотез В_1, В_2, В_n.

Тема: Элементы теории вероятностей

Задачи

1. Из 900 больных, поступивших в хирургическое отделение больницы, 150 человек имели травмы. Какова относительная частота поступления травмированных больных? (Ответ: 0,17.)

2. В институт было подано 1250 заявлений о приеме от девушек и 1050 - от юношей. Какова относительная частота подачи заявлений от девушек? (Ответ: 0,54)

3. Грани правильного тетраэдра пронумерованы: 1,2,3,4. Какова вероятность того, что при бросании тетраэдр станет на грань с цифрой 2? Предполагается, что тетраэдр сделан из однородного материала. (Ответ: 0,25)

4. Студент подготовил к экзамену 25 билетов из 40. Какова вероятность того, что он "вытащит" выученный билет? (Ответ: 0,625)

5. В урне находится 10 шаров: 3 белых, 5 черных и 2 красных. Из урны извлекается черный шар и в урну не возвращается. Какова вероятность извлечь после этого черный шар? (Ответ: 0,44)

6. В коробке находятся 5 синих, 10 черных и 15 красных карандашей. Какова вероятность того, что первый наугад вынутый карандаш окажется синим или красным? (Ответ: 0,67)

7. Стрелок стреляет по мишени, имеющей 3 области. Вероятность попасть в первую область равна 0,3, вероятности попасть во вторую и третью области равны, соответственно, 0,25 и 0,45. Найти вероятность того, что, выстрелив один раз, стрелок попадет в первую или во вторую область. (Ответ: 0,55)

8. Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,6. Найти вероятность того, что день будет ясным. (Ответ: 0,4)

9. Три врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что первый врач установит верный диагноз, равна 0,8. Для второго и третьего врачей эти вероятности соответственно, равны 0,7 и 0,9. Определить вероятность того, что все врачи поставят правильный диагноз. (Ответ: 0,5)

10. Два врача независимо друг от друга осмотрели одного и того же больного. Вероятность того, что первый врач установит верный диагноз, равна 0,8. Для второго врача эта вероятность равна 0,7. Определить вероятность того, что оба врача поставят ошибочный диагноз. (Ответ: 0,06)

11. Дальтоник воспринимает красный и зеленый цвет как серый. В корзине находятся два красных, 4 зеленых, 2 белых и 2 черных шара. Какова вероятность того, что наугад вытянутый дальтоником шар окажется для него "серым"? (Ответ: 0,6)

12. На приеме у врача находятся 15 больных. Пятеро из них больны ветрянкой. Определить вероятность того, что два наугад вызванных пациента не больны ветрянкой? (Ответ: 0,43)

13. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что студент не знает предложенные экзаменатором два вопроса. (Ответ: 0,03)

14. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно шести. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет пасмурно.(Ответ: 0,032)

15. Найдите вероятность того, что в семьях с двумя детьми оба ребенка - мальчики. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. (Ответ: 0,265)

* Когда требуется вычеслить вероятность одновременного появления нескольких независимых событий

26. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для зависимых событий.

* Вероятность совместного появления в результате опыта двух (или более) зависимых событий равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго (третьего и т.д.)

Тема: Формула полной вероятности

Задачи

1. На приеме у врача 10 пациентов, четверо из которых больны гриппом. Вероятность повышения температуры в группе с гриппом равна 0,8, а в другой группе - 0,6. Определить вероятность того, что у наугад выбранного пациента повышена температура. (Ответ: 0,68)

2. На участке у врача 40 человек, у которых с вероятностью 0,3 встречается инфекционно-аллергический полиартрит. На другом участке 60 человек, и данное заболевание встречается с вероятностью 0,5. Определить вероятность того, что наугад выбранный пациент болен инфекционно-аллергическим полиартритом. (Ответ: 0,42)

3. На участке у врача находятся 2 группы больных. В 1-й группе 6 человек, у которых с вероятностью 0,3 встречается инфекционно-аллергический полиартрит. 2-я группа состоит из 10 человек, и данное заболевание встречается с вероятностью 0,5. Определить вероятность того, что наугад выбранный пациент болен инфекционно-аллергическим полиартритом. (Ответ: 0,425)

4. В поликлинике принимают два врача стоматолога. Вероятность попасть на прием к первому врачу - 0,4, ко второму - 0,6. Вероятность повторного обращения к стоматологу для первого врача равна 0,2; для второго - 0,15. Определите вероятность того, что наугад выбранному пациенту придется обращаться к врачу повторно. (Ответ: 0,17)

5. Вероятность того, что при работе ЭВМ возникнет сбой в АЛУ - 0,4; в ОЗУ - 0,6. Вероятность обнаружения сбоя в АЛУ - 0,9; в ОЗУ - 0,85. Определить вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. (Ответ: 0,87)

6. Студент может заболеть гриппом только в результате либо переохлаждения, либо контакта с другим больным. Вероятность переохлаждения равна 0,2, вероятность контакта с другим больным- 0,8. Вероятность заболеть гриппом при переохлаждении составляет 0,3, а при контакте - 0,1. Определить вероятность того, что наугад выбранный студент заболеет гриппом. (Ответ: 0,14)

На приеме у врача находится 10 пациентов, 3 из которых страдает гипертонической болезнью. Вероятность головной боли при гипертонии - 0,99, а в других случаях - 0,65. Определить вероятность того, что у наугад выбранного пациента головная боль. (Ответ: 0,752)

1. На приеме у врача 10 пациентов, четверо из которых больны гриппом. Вероятность повышения температуры в группе с гриппом - 0.81, во второй - 0,6. Определить вероятность того, что у наугад выбранного пациента повышена температура. (Ответ: 0,684)

2. В поликлинике принимают два врача стоматолога. Вероятность попасть на прием к первому врачу - 0,3, ко второму - 0,7. Вероятность повторного обращения к стоматологу для первого врача - 0,15, для второго - 0,1. Определите вероятность повторного обращения к стоматологу, если врач был выбран наугад. (Ответ: 0,115)

Тема: Случайные величины и законы их распределения

Теоретическое вопросы

1. Дайте определение случайной непрерывной величины.

* Случайная величина, которая может принимать любые значения внутри некоторого интервала

2. Приведите примеры величин, которые можно отнести к случайным непрерывным величинам.

* Температура тела человека, артериальное давление, масса тела

3. Дайте определение случайной дискретной величины.

*Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений

4. Приведите примеры величин, которые можно отнести к случайным дискретным величинам.

*Число больных на приеме у врача, частота пульса

5. Перечислите основные характеристики случайных величин.

*Математическое ожидание,дисперсия, моменты

6. По какой формуле вычисляется математическое ожидание для случайной дискретной величины?

* 

7. Какая формула используется для расчета дисперсии случайной дискретной величины?

* 

8. Какая формула используется для расчета среднего квадратического отклонения случайной дискретной величины?

* Ϭ=

9. Какую размерность имеет значение дисперсии случайной величины?

* Размерность квадрата случайной величины.

10. Какую размерность имеет значение математического ожидания случайной величины?

*Размерность случайной величины

11. Какую размерность имеет значение среднего квадратического отклонения случайной величины?

* Размерность квадратного корня случайной величины

12. Почему при описании случайной величины чаще пользуются средним квадратическим отклонением, чем дисперсией?

*Для приведения в соответствие размерности разброса случайной величины с размерностью самой случайной величины

13. Случайную величину X увеличили в "а" раз. Как при этом изменится математическое ожидание этой случайной величины?

* Увеличится в "а" раз

14. Случайную величину X уменьшили в "а" раз. Как при этом изменится дисперсия этой случайной величины?

* Уменьшится в "а " раз