Материал: Основы сопромата

Записываем выражения для относительных углов закручивания на каждом участке вала

Строим эпюры относительных углов закручивания (рис. 5).

. Построение эпюры угловых перемещений поперечных сечений φ.

За неподвижное принимаем сечение А (левое)

Строим эпюры угловых перемещений поперечных сечений (рис. 5).

Рис. 5

4. Расчет консольной балки

Исходные данные:

Коэффициент запаса: n_т =1,8

Р₁ = q×ℓ₁=2Р/ℓ ×2,2ℓ =4,4Р

М = 2,5Pℓ

ℓ₁ = 2,2ℓ

ℓ₂ = 2,5ℓ

σ_Т = 250 МПа     

Р = 10кН

ℓ = 0,4 м

Решение:

1. Построение эпюры поперечных сил Q

Балка консольная, поэтому можно не определять реакции в заделке, но при использовании метода сечений отбрасываем часть балки с заделкой.

Поперечная сила является постоянной, поэтому эпюра Q на участке АС ограничена горизонтальной прямой.

Подставив численные значения, получим:

Строим эпюру поперечных сил Q (рис. 7)

. Построение эпюры изгибающих моментов М

Изгибающий момент является линейной функцией (М=Рℓ), график которой (прямую линию) можно построить, используя значения момента в концевых сечениях участка балки.

Подставив численные значения, получим:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 7).

. Расчет на прочность

Балка постоянного сечения, изготовлена из пластичного материала, поэтому условие прочности имеет вид:

Опасным является сечение балки вблизи заделки (сечение С), где действует наибольший изгибающий момент

Вычисляем допускаемое напряжение:

Подбор сечения балки по сортаменту осуществляем исходя из величины момента сопротивления сечения Wх. Требуемый момент сопротивления сечения получим из условия прочности:

Для балки двутаврового сечения из таблицы 1 приложения 3 выбираем профиль №33 с моментом сопротивления , ближайшим к требуемому значению.

Для балки, имеющий сечение в виде двух швеллеров, условие прочности имеет вид:

Откуда получаем такое условие для требуемого момента сопротивления сечения:

Из таблицы 2 приложения 3 выбираем швеллер №24а с моментом сопротивления

Вычисляем значения максимальных нормальных напряжений в опасном сечении для двух рассмотренных вариантов:

Двутавровая балка:

Балка с сечением в виде двух швеллеров:

Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения двутавровой балки показана на рис. 6. Знаки нормальных напряжений в сечении определяем исходя из направления изгибающего момента в этом сечении: поскольку в сечении действует отрицательный момент, в точках сечения, расположенных выше нейтральной линии х, действуют растягивающие напряжения, в точках ниже части сечений - сжимающие напряжения.

Аналогично выглядит эпюра нормальных напряжений для балки с опасным сечением в виде двух швеллеров

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

5. Расчет двухопорной балки

Исходные данные:

Р₁ = 2Р

М = 2Pℓ

ℓ₁ = 3ℓ

ℓ₂ = 4ℓ

ℓ₃ = 3ℓ

[σ] = 160 МПа    

Р = 10кН

ℓ = 0,3 м

Решение:

1. Определение реакций опор.

Балка имеет шарнирно-неподвижную опору В и шарнирно-подвижную опору Д, в которых возникают вертикальные реакции Y_В и Y_Д. Горизонтальная реакция Х_А=0, так как на балку не действуют силы в горизонтальном направлении. Введем неизвестные реакции опор Y_В и Y_Д, направив их вниз. Для определения реакций составим два уравнения равновесия балки:

Откуда:

Подставив численные значения, получим:

Выполняем проверку правильности нахождения реакций:

;   

,     0=0

Уравнение выполняется тождественно. Следовательно, значения реакций найдены верно.

. Построение эпюры поперечных сил Q

Для построения эпюр внутренних силовых факторов балку разбиваем на три участка, на каждом из которых применяем метод сечений.

Подставив численные значения, получим:

Строим эпюру Q (рис. 10).

. Построение эпюры изгибающих моментов М

Изгибающий момент является линейной функцией (М=Рℓ), график которой (прямую линию) можно построить, используя значения момента в концевых сечениях участка балки.

Подставив численные значения, получим:

Поскольку все вычисления проводились с округлением до третьей значащей цифры, отличие значения изгибающего момента М от нуля получили в третьем знаке, что закономерно для приближенного вычисления.

Относительную погрешность вычисления (в процентах) изгибающего момента можно определить таким образом:

Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 10).

. Расчет на прочность

Балка постоянного сечения, изготовлена из пластичного материала, поэтому условие прочности имеет вид:

Подбор сечения балки по сортаменту осуществляем исходя из величины момента сопротивления сечения Wх. Требуемый момент сопротивления сечения получим из условия прочности:

Таким образом, минимальное значение момента сопротивления сечения

Рассмотрим определение размеров поперечного сечения различной формы.

Балка сплошного кругового сечения (диаметр сечения D_к)

Откуда:

Воспользовавшись таблицей приложения 2 и учитывая условие , окончательно принимаем

Площадь полученного кругового поперечного сечения

Наибольшие нормальные напряжения в балке сплошного кругового сечения

Балка прямоугольного сечения (β=h/b=2,8)

Откуда:

Воспользовавшись таблицей приложения 2 и учитывая условие , окончательно принимаем

Вычисляем площадь и момент сопротивления полученного прямоугольного сечения:

Наибольшие нормальные напряжения в балке прямоугольного сечения:

Два швеллера

Номер швеллера, имеющий момент сопротивления, наиболее близкий к требуемому , определяем по таблице 2 приложения 3 для сортамента прокатной стали. Выбираем швеллер №12, имеющий момент сопротивления  и площадь сечения

Для двух швеллеров:

Наибольшие нормальные напряжения в двух швеллерах:

Полученные значения наибольших нормальных напряжений в балке для всех рассмотренных сечений меньше допускаемого напряжения.

Эпюры нормальных напряжений в опасном сечении балки с различной формой поперечного сечения показаны на рис. 9. В опасном сечении изгибающий момент положительный, что соответствует положению сжатых волокон сверху от нейтральной линии.

Рис. 9

стержень вал балка эпюра

5. Сравнение площадей поперечных сечений

Наименьшую площадь сечения имеют два швеллера (), поэтому два швеллера обладают наименьшей материалоемкостью по сравнению с равнопрочными балками другого сечения. (Приведенные в таблице значения отношений F_i / F_min показывают выигрыш по массе двух швеллеров). В связи с этим прокатный профиль является рациональным сечением для балок.

Рациональным является то сечение, для которого большая часть площади расположена в области максимальных напряжений, так как в этом случае материал используется наиболее эффективно. Так, для двух швеллеров основная часть площади сечения находится в полках, где и действуют максимальные напряжения. Напротив, в балке сплошного круглого сечения материал используется более нерационально: большая часть площади сечения расположена вблизи нейтральной линии, где напряжения малы. Балка прямоугольного сечения всегда будет выгоднее по массе балки сплошного круглого сечения, хотя материал также распределяется в сечении нерационально.

Рис. 10

Рис. 11