Документ: Основы сопромата, страницы 1-5

Основы сопромата

1. Расчет стержня

Исходные данные:

Материал стержня - сталь 50Г (нормализация)

Коэффициент запаса n_т =1,4

Нагрузка: Р₁= 3,5Р Длина участков стержня: ℓ₁ = 2ℓ

Р₂= 2Р ℓ₂ = ℓ

Р₃= 7Р ℓ₃ = 1,5ℓ

При расчете принимаем Р = 20кН, ℓ = 0,3 м

Механические свойства стали 50Г берем из таблицы 1 приложения 1:

σ_т = 400 МПа δ = 13%

σ_в = 660 МПа Е = 200 ГПа

τ_т = 230 МПа μ = 0,3

Решение:

1. Построение эпюры нормальных сил.

Делаем произвольное сечение на участке АВ, отбрасываем правую часть стержня (с заделкой). Для оставшейся части стержня вводим нормальную силу N₁ в полученном сечении.

ΣFz = 0:

N₁ = 2P (растяжение)

Аналогичные операции метода сечений на участке ВС и СД

N₂ = 2P - 7Р = - 5Р (сжатие)

N₃ = 2P - 7Р - 3,5Р = - 8,5Р (сжатие)

Подставив численные значения, получим:

N₁ = 40кН N₂ = - 100кН N₃ = - 170кН

На каждом участке откладываем от оси эпюры полученные значения нормальной силы, проводим горизонтальные линии и делаем штриховку (рис. 1).

«Правило скачков» выполняется.

. Построение эпюры нормальных напряжений.

Вычисляем значения нормальных напряжений на каждом участке стержня:

Участок АВ

Участок ВС

Участок CД

На каждом участке откладываем от оси эпюры полученные значения напряжений, проводим горизонтальные линии и делаем штриховку (рис. 1).

. Построение эпюры осевых перемещений

На каждом участке стержня выполняются условия N_i = const, EF_i = const, поэтому функция W(z) является линейной, а ее график представляет наклонную прямую линию.

Для построения эпюры перемещений поперечных сечений стержня на каждом участке воспользуемся формулой в виде:

Определение перемещений по этой формуле и построение эпюры следует начинать с того участка, где известно перемещение какого-либо поперечного сечения. В данном случае начинаем вычисления с участка СД, т.к. в заделке осевое перемещение равно нулю (W_Д = 0). Для построения эпюры перемещений удобно принять за положительное направление осевых перемещений такое: от заделки во внутрь стержня. В данном примере - от сечения Д влево от оси стержня.

Участок СД

;

Участок ВС

;

Участок АВ

;

Откладываем полученные значения перемещения как ординаты графика W(z) от оси в выбранном масштабе и соединяем прямыми линиями соответствующие значения на каждом участке (рис. 1).

. Проектировочный расчет на прочность.

Стержень выполнен из пластичного материала.

Условие прочности будет иметь вид:

Из эпюры нормальных напряжений следует, что

Поскольку по условию задачи требуется определить значение параметра F, запишем неравенство в форме:

Подставив численные значения, получим:

Отсюда:

F₁ = F = 3см²

F₂ = 1,5F = 1,5 × 3 = 4,5 см²

F₃ = 2F =2 × 3 = 6 см²

. Определение величины удлинения ∆L (или укорочения) стержня.

В данном случае, при наличии заделки на одном конце стержня, изменение длины стержня равно перемещению свободного конца ∆L = W_А

(укорочение)

Подставив численные значения получим

Рис. 1

Рис. 2

2. Расчет статически неопределимого стержня

Исходные данные:

Материал стержня - ВТ20

Коэффициент запаса n_т =2,5

Нагрузка: Р₁= 1,8Р

Р₂= Р

Площади сечений: F₁ = 1,2F

F₂ = 2F

F₃ = 1,5F

Длина участков стержня: ℓ₁ = 1,3ℓ ℓ₂ = 1,2ℓ

ℓ₃ = 1,5ℓ

При расчете принимаем F = 2cм², ℓ = 0,3 м

Механические свойства ВТ20 берем из таблицы 3 приложения 1:

σ_0,2 = 840 МПа δ = 11%

σ_в = 1050 МПа Е = 105 ГПа

τ_т = 470 МПа μ = 0,35

Решение:

1. Раскрытие статической неопределимости.

Стержень статически неопределим, так как в заделках возникают две реакции

R_A и R_D, которые не могут быть найдены из одного уравнения равновесия. Перейдем к схеме статически определимого стержня, удалив заделку А и введя неизвестную реакцию R_A.

Получим выражения для нормальной силы в поперечных сечениях стержня на каждом участке. Для этого применяем метод сечений, и для каждой левой отсеченной части стержня составляем уравнение равновесия.

Участок АВ: N₁ = R_A

Участок ВС: N₂ = R_A- 1,8P

Участок СД: N₃ = R_A - 1,8P - P = R_A - 2,8P

Составим дополнительное уравнение для нахождения реакции R_A_, используя условие совместности перемещений в виде:

;

; ;

Откуда:

. Построение эпюры нормальных сил.

Используя полученное значение реакции R_A, вычисляем значения нормальных сил:

N₁ = R_A= 1,45Р₂ = R_A- 1,8P = 1,45Р - 1,8Р = -0,35Р₃ = R_A - 2,8P = 1,45Р - 2,8Р = - 1,35Р

Используя эти значения, строим эпюру нормальных сил (рис. 3).

«Правило скачков» соблюдается.

. Построение эпюры нормальных напряжений.

Вычисляем значения напряжений на участках стержня по формуле:

Участок АВ

Участок ВС

Участок CД

На каждом участке откладываем от оси эпюры полученные значения напряжений, проводим горизонтальные линии и делаем штриховку (рис. 3).

. Построение эпюры осевых перемещений.

Для построения эпюры перемещений поперечных сечений стержня на каждом участке воспользуемся формулой в виде:

Участок АВ

;

Участок ВС

;

Участок СД

;

Поскольку все вычисления проводились с округлением до третьей значащей цифры, отличие значения осевого перемещенияот нуля получили в третьем знаке, что закономерно для приближенного вычисления.

Относительную погрешность вычисления (в процентах) осевого перемещения можно определить таким образом:

Откладываем полученные значения перемещения как ординаты графика W(z) от оси в выбранном масштабе и соединяем прямыми линиями соответствующие значения на каждом участке (рис. 3).

. Расчет на прочность.

Выполняем расчет стержня на прочность для определения допускаемой нагрузки. Материал стержня пластичный, поэтому задано только одно значение допускаемого напряжения.

Из эпюры нормальных напряжений следует, что

Поскольку по условию задачи требуется определить значение параметра Р, запишем неравенство в форме:

Подставив численные значения, получим:

Рис. 3

Рис. 4

3. Расчет вала при кручении

Исходные данные:

Материал - Сталь 45 (н)

Коэффициент запаса n_т =4

Передаваемые мощности: N₁= 2,6N₀

N₂= 1,5N₀

N₃= 3,4N₀

N₀= 20 кВт

Диаметры участков: D₁ = 1,55d

D₂ = 2,1d

Длина участков: ℓ₁ = 0,25 ℓ₂ = 0,35 м

Частота вращения вала n = 800 об/мин

[φ’] = 1,1º/м

Механические свойства стали 45 (н) берем из таблицы 1 приложения 1:

σ_Т = 360 МПа δ = 17%

σ_в = 610 МПа Е = 200 ГПа

τ_т = 210 МПа μ = 0,29

Решение:

1. Построение эпюры крутящих моментов Мк.

Разбиваем вал на 2 участка - АВ и ВС, границами которых являются те сечения, где приложены внешние моменты. Для определения крутящих моментов на каждом участке применяем метод сечений.

Определяем нормальную силу N на каждом участке

N₁= 2,6×20 = 52 кВт

N₂= 1,5×20 = 30 кВт

N₃= 3,4×20 = 68 кВт

Определяем моменты М на каждом участке