Материал: основы проектирования хим произв дворецкий
ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 231
ограничения (7.63)–(7.64). Кроме того, в алгоритме используем вспомогательную задачу нелинейного программирования вида (В):
I (a, d, zi , ξ) = |
min |
α; |
||
g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0, |
a,d ,zi ,α |
(В) |
||
|
|
, i I (ν) . |
||
j J |
||||
Решение задачи (В) заключается в нахождении типа аппаратурного оформления ТС a , значений векторов конструктивных d и режимных (заданий регу-
ляторам САС) переменных zi , при которых достигается минимальное значение скалярной переменной α при условии выполнения всех ограничений задачи (В)
в заданном наборе точек ξi , i I (ν) .
Алгоритм 7.7. |
|
|
|
|
|
|
Шаг 1. Принимаем |
μ =1 , число альтернативных типов |
аппаратурного |
||||
оформления ТС μзад и начальное приближение для конструкции ТС a(μ) . |
||||||
Шаг 2. Принимаем ν =1, задаем начальное множество S(ν−1) |
={ξi : i I(ν−1)} |
|||||
из условия наилучшей аппроксимации функций z(ξ) |
и начальные приближения |
|||||
d (ν−1) , zi,(ν−1) , ξi , i I (ν−1) . |
|
|
|
|
|
|
Шаг 3. Решаем вспомогательную задачу (В) |
|
|
||||
|
I (a(μ) , d (ν) , zi(ν) , ξ) = min |
α; |
|
|||
|
|
a,d ,zi ,α |
|
|
||
g j (a(μ) , d, zi , ξi ) ≤ 0, |
j |
|
, i I (ν−1) |
|
||
J |
|
|||||
и пусть a(μ) , d (ν) , zi,(ν) есть решение этой задачи. |
|
|
||||
Шаг 4. Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
Prξ{g j (a, d, z(ξ), ξ) ≤ 0}≥ ρj , |
j J1. |
(7.65) |
||||
Для аппроксимации функции z = z(ξ) |
используем значения этих функций |
|||||
в дискретных точках ξi , |
i I (ν−1) . |
|
|
|
|
|
Если условие (7.65) выполняется, то переходим к шагу 6, в противном случае – к шагу 5.
Шаг 5. Вычисляем значение функции гибкости ТС a(μ) , d (ν) |
|
χ(a(μ) , d (ν) ) = max min max g j (a(μ) , d (ν) , α(ν) , z, ξ), |
(7.66) |
ξ Ξ z j J |
|
с использованием алгоритма внешней аппроксимации.
232 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…
Обозначим через ξ(ν) решение задачи (7.66) и дополним точкой ξ(ν) множество точек S(ν−1) , в которых нарушаются мягкие ограничения (7.63)–(7.64):
S (ν) = S (ν−1) U ξ(ν) , I (ν) = I (ν−1) U(n +1),
увеличиваемчисло критических точек n на 1, т.е. n = n +1 , ипереходим кшагу 3. Шаг 6. Решение для μ-го типа конструкции ТС получено a(μ) , d (μ) = d (ν) ,
z(μ) = zi,(ν) .
Шаг 7. Проверяем выполнение условия «Множество альтернативных типов аппаратурного оформления ТС исчерпано?», т.е. μ ≥ μзад . Если «да», то получа-
ем окончательное решение a = a(μ) , d = d (μ) , z = zi,(μ) (ξi ), i I (ν) , и алго-
ритм заканчивает свою работу. В противном случае переходим к альтернативному типу аппаратурного оформления, т.е. увеличиваем число μ на единицу,
μ = μ +1 , ипереходим кшагу 2.
Дадим некоторые пояснения алгоритму 5.
На шаге 4 осуществляется многомерная интерполяция с помощью функций z = z(ξ) по известным дискретным точкам ξi , zi , i I (ν) . Это можно сделать
с помощью многомерных кубических сплайнов или с использованием процедуры приближенной аппроксимации, суть которой заключается в следующем. При реализации математической модели для каждого полученного случайного значе-
ния ξ в качестве соответствующего z(ξ) используем значение zl (ξl ), l I (ν) , которое соответствует точке ξi , наиболее близкой к точке ξ, т.е.
ri (ξ, ξi ) =
ξl = min
i I (ν)
∑nξ (ξj −ξij )2 , i I (ν) , nξ = dim ξ;
j=1
ri (ξ, ξi ) l = arg min ri (ξ, ξi ).
i I (ν)
Фактически в описанной процедуре используем кусочно-постоянную аппроксимацию функций z = z(ξ).
На шаге 5 неравенство χ(a(μ) , d (ν) ) ≤ 0 означает, что мягкие ограничения выполняются с вероятностью 1. Поэтому, если не выполняется условие (7.65), то заведомо не выполняется условие χ2 (a(μ) , d (ν) ) ≤ 0 и, следовательно, получим
точку ξ(k ) , в которой нарушаются мягкие ограничения.
При использовании дополнительной переменной α проводим масштабирование поисковых переменных, чтобы диапазоны их изменения были примерно одинаковы.
ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 233
Двухэтапная задача оптимизации со смешанными ограничениями
Предположим, что на этапе функционирования ХТС можно определить точные значения всех неопределенных параметров, при этом имеются смешанные ограничения: ограничения с номерами j J1 = {1, ..., m1} являются мягкими, а
ограничения с номерами j J2 = {m1 +1, ..., m} – жесткими и должны быть удов-
летворены с заданной вероятностью ρ.
В качестве критерия оптимизации в задаче ДЗИП3 как и в задачах ДЗИП1, ДЗИП2 используем математическое ожидание исходной целевой функции
С(a, d, z, ξ)
I = |
min |
Mξ{C(a, d, z, ξ} ; |
|
||||
|
a,d , z(ξ),α |
|
|
|
|
|
|
Prξ{g j (a, d, z(ξ), ξ) ≤ 0}≥ ρ j , |
j J1 ; |
|
|||||
χ1(a, d, J2 ) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 |
|
||||||
|
ξ Ξ z j J 2 |
|
|
|
|
|
|
или верхнюю границу α исходной целевой функции С(a, d, z, ξ) : |
|
||||||
|
I = |
min |
α ; |
|
|
|
(7.67) |
|
|
a,d , z(ξ),α |
|
|
|
|
|
Prξ{g0 = С(a, d, z(ξ), ξ) − α ≤ 0}≥ ρ0 ; |
(7.68) |
||||||
Prξ{g j (a, d, z(ξ), ξ) ≤ 0}≥ ρ j , |
j J1 ; |
(7.69) |
|||||
χ1(a, d, J2 ) = max min max g j (a, d, z, ξ) ≤ 0 . |
(7.70) |
||||||
|
ξ Ξ |
z j J2 |
|
|
|
|
|
В задаче (7.67) – (7.70) χ1(d) − функция гибкости ТС. Введем обозначения |
|||||||
g j (a, d, z, ξ) − α , |
j = 0 , |
|
|
|
|
||
j J1 = 0 U J1 |
|
||||||
g j (a, d, z, ξ) = |
(a, d, z, |
ξ) , j J1 , |
|
||||
g j |
|
|
|
|
|||
и множество S (ν) = {ξi : i I (ν) }накопления точек ξ с индексами i I (ν) , в которых нарушаются ограничения (7.69)–(7.70), причем во множестве точек S1(ν) накапливаются точки, в которых нарушаются мягкие ограничения, а во множестве S2(ν) – точки, в которых нарушаются жесткие ограничения.
Кроме того, в алгоритме используем вспомогательную задачу нелинейного программирования вида (Г):
|
|
I (a, d, zi , ξ) = |
min |
α; |
|
||
|
|
|
a,d ,zi ,α |
|
|||
g |
|
(a, d, zi , ξi ) ≤ 0, |
|
|
, i I (ν); |
(Г) |
|
j |
j J |
||||||
|
|
1 |
|
|
|||
g j (a, d, zi , ξi ) ≤ 0, |
j J2 |
, i I (ν). |
|
||||
234 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…
Решение задачи (Г) заключается в нахождении типа аппаратурного оформления ТС a , значений векторов конструктивных d и режимных (заданий регуляторам САС) переменных zi , при которых достигается минимальное значение
скалярной переменной |
|
α при условии выполнения всех ограничений задачи в |
|||||||||||
заданном наборе точек ξi , |
i I (ν) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Алгоритм 7.8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Шаг 1. Принимаем |
μ =1 , число |
альтернативных типов |
аппаратурного |
||||||||||
оформления ТС μзад и начальное приближение для конструкции ТС a(μ) . |
|||||||||||||
Шаг 2. |
Принимаем |
ν =1, |
|
задаем |
начальные |
множества |
|||||||
S (ν−1) = S (ν−1) |
+ S (ν−1) , |
|
I (ν−1) |
из условия наилучшей аппроксимации функций |
|||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(ξ) , число |
n |
номеров |
точек |
ξi , i I (ν−1) и |
начальные |
приближения |
|||||||
d (ν−1) , zi,(ν−1) |
, i I (ν−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Шаг 3. Решаем вспомогательную задачу (Г) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
I (a(μ) , d (ν) , zi(ν) , ξ) = min |
α; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a,d ,zi ,α |
|
|
|||
|
|
g |
|
(a(μ) , d, zi , ξi ) ≤ 0, |
|
|
, i I (ν−1) ; |
|
|||||
|
|
j |
j J |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
g j (a(μ) , d, zi , ξi ) ≤ 0, |
j J2 , i I (ν−1) , |
|
|||||||||
и пусть a(μ) , d (ν) |
есть решение этой задачи. |
|
|
|
|
||||||||
Шаг 4. Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
χ (a(μ) , d (ν) ) = max min max g |
j |
(a(μ) , d (ν) , z, ξ) |
(7.71) |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
ξ Ξ |
z |
j J2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
с использованием алгоритма внешней аппроксимации. |
Обозначим через |
|
(ν) |
ξ |
|||
решение задачи (7.71) и проверяем выполнение условия |
|
|
|
χ (a(μ) , d (ν) ) ≤ 0 |
(7.72) |
||
1 |
|
|
|
в точке решения ξ(ν) задачи (7.71). Если условие (7.72) не выполняется, то переходим к шагу 5, в противном случае – к шагу 6.
Шаг 5. Дополним множество точек S2(ν) , в которых нарушаются ограниче-
ния (7.72), точкой ξ(ν) , т.е.
S2(ν) = S2(ν−1) U |
|
(ν) , |
I1(ν) = I1(ν−1) U (n +1) , |
ξ |
|||
увеличиваем число критических точек |
n на 1, n = n +1 , p = a5 и переходим |
||
к шагу 9. |
|
||
ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 235
Шаг 6. Проверяем выполнение мягких (вероятностных) ограничений |
|
Pr{g j (a(μ) , d (ν) , z(ξ), ξ) ≤ 0}≥ ρ j , j J1 . |
(7.73) |
Для аппроксимации функции z = z(ξ) используем значения этих функций
в дискретных точках ξi , i I (ν−1) .
Если условие (7.72) выполняется, а условие (7.73) не выполняется, то переходим к шагу 8.
Если условия (7.72), (7.73) выполняются, то решение для заданного типа аппаратурного оформления найдено: a(μ) , d (μ) = d (ν) , z(μ) = zi,(ν) .
Шаг 7. Проверяем выполнение условия «Множество альтернативных типов аппаратурного оформления ТС исчерпано?», т.е. μ ≥ μзад . Если «да», то получа-
ем окончательное решение a = a(μ) , d = d (μ) , z = zi,(μ) , i I (ν) , и алгоритм заканчивает свою работу. В противном случае переходим к альтернативному типу аппаратурного оформления, т.е. увеличиваем число μ на единицу и переходим к шагу 2.
Шаг 8. Вычисляем
χ2 |
(a(μ) , d (ν) ) = max min max g j (a(μ) , d (ν) , α(ν) , z, ξ), |
(7.74) |
|
ξ Ξ z j J1 |
|
где J1 = (0, 1, 2,…, m1), с использованием алгоритма внешней аппроксимации.
Обозначим через ξ(ν) решение задачи (7.74) и дополним точкой ξ(ν) множество точек S1(ν) , в которых нарушаются мягкие ограничения (7.73), т.е.
|
|
S (ν) = S (ν−1) |
U |
|
|
|
(ν) , I (ν) = I (ν−1) |
U (n +1) , p = a8 |
||||
|
|
ξ |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
||||
и увеличиваем число критических точек n на 1, |
n = n +1 . |
|
|
|||||||||
Шаг 9. |
Если |
p = a5, |
то переобозначим |
множества |
S2(ν−1) , I2(ν−1) , т.е. |
|||||||
S (ν) |
= S (ν−1) |
, I (ν) |
= I (ν−1) , если p = a8, то – S (ν) = S (ν−1) |
, I (ν) = I (ν−1) . Сформи- |
||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
руем множества S(ν) = S(ν) |
US(ν) , I (ν) |
= I (ν) U I (ν) , присвоим числу итераций v |
||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
||||
значение ν +1 и переходим к шагу 3.
Результаты решения задачи (7.67) – (7.70) в соответствии с методологией интегрированного проектирования используются при определении оптимальных
значений конструктивных параметров a , d ТС и оптимальных заданий z (ξˆ) регуляторам САС автоматизированного комплекса «ТС-САУ» в зависимости от уточнения (измерения) ξˆ вектора неопределенных параметров ξ.